En matemáticas , una ecuación cuadrática es una ecuación polinomial de segundo grado . La forma general es
donde a ≠ 0.
La ecuación cuadrática de un número se puede resolver utilizando la conocida fórmula cuadrática , que se puede derivar completando el cuadrado . Esa fórmula siempre da las raíces de la ecuación cuadrática, pero las soluciones se expresan en una forma que a menudo involucra un número irracional cuadrático , que es una fracción algebraica que se puede evaluar como una fracción decimal solo aplicando un algoritmo de extracción de raíz adicional .
Si las raíces son reales , existe una técnica alternativa que obtiene una aproximación racional a una de las raíces manipulando la ecuación directamente. El método funciona en muchos casos, y hace mucho tiempo estimuló un mayor desarrollo de la teoría analítica de las fracciones continuas .
Un simple ejemplo
Aquí hay un ejemplo simple para ilustrar la solución de una ecuación cuadrática usando fracciones continuas . Empezamos con la ecuación
y manipularlo directamente. Restando uno de ambos lados obtenemos
Esto se incluye fácilmente en
del cual obtenemos
y finalmente
Ahora viene el paso crucial. Reemplazamos esta expresión por x de nuevo en sí misma, de forma recursiva, para obtener
Pero ahora podemos hacer la misma sustitución recursiva una y otra y otra vez, empujando la cantidad desconocida x tan abajo y hacia la derecha como queramos, y obteniendo en el límite la fracción continua infinita
Aplicando las fórmulas de recurrencia fundamental, podemos calcular fácilmente que los sucesivos convergentes de esta fracción continua sean 1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70, 239/169, ..., donde cada convergente sucesivo se forma tomando el numerador más el denominador del término anterior como denominador en el siguiente término, luego agregando el denominador anterior para formar el nuevo numerador. Esta secuencia de denominadores es una secuencia de Lucas particular conocida como números de Pell .
Una explicación algebraica
Podemos obtener una mayor comprensión de este simple ejemplo si consideramos los poderes sucesivos de
Esa secuencia de poderes sucesivos viene dada por
Etcétera. Observe cómo las fracciones derivadas como aproximaciones sucesivas de √ 2 aparecen en esta progresión geométrica .
Dado que 0 < ω <1, la secuencia { ω n } claramente tiende hacia cero, por propiedades bien conocidas de los números reales positivos. Este hecho puede usarse para probar, rigurosamente, que los convergentes discutidos en el ejemplo simple anterior de hecho convergen a √ 2 , en el límite.
También podemos encontrar estos numeradores y denominadores apareciendo en las sucesivas potencias de
La secuencia de potencias sucesivas { ω - n } no se acerca a cero; en cambio, crece sin límite. Pero todavía se puede usar para obtener los convergentes en nuestro ejemplo simple.
Observe también que el conjunto obtenido al formar todas las combinaciones a + b √ 2 , donde a y b son números enteros, es un ejemplo de un objeto conocido en álgebra abstracta como un anillo , y más específicamente como un dominio integral . El número ω es una unidad en ese dominio integral. Véase también campo numérico algebraico .
La ecuación cuadrática general
Las fracciones continuas se aplican más convenientemente para resolver la ecuación cuadrática general expresada en forma de polinomio mónico.
que siempre se puede obtener dividiendo la ecuación original por su coeficiente principal . A partir de esta ecuación mónica vemos que
Pero ahora podemos aplicar la última ecuación a sí misma de forma recursiva para obtener
Si esta fracción continua infinita converge , debe converger a una de las raíces del polinomio mónico x 2 + bx + c = 0. Desafortunadamente, esta fracción continua en particular no converge a un número finito en todos los casos. Podemos ver fácilmente que esto es así al considerar la fórmula cuadrática y un polinomio monico con coeficientes reales. Si el discriminante de tal polinomio es negativo, entonces ambas raíces de la ecuación cuadrática tienen partes imaginarias . En particular, si b y c son números reales y b 2 - 4 c <0, todos los convergentes de esta continua "solución" fracción serán números reales, y no pueden posiblemente converger a una raíz de la forma de u + iv (donde v ≠ 0), que no se encuentra en la recta numérica real .
Un teorema general
Aplicando un resultado obtenido por Euler en 1748 se puede demostrar que la solución de fracción continua a la ecuación cuadrática monica general con coeficientes reales
dada por
converge o no dependiendo tanto del coeficiente by del valor del discriminante , b 2 - 4 c .
Si b = 0, la solución de fracción continua general es totalmente divergente; los convergentes alternan entre 0 y. Si b ≠ 0 distinguimos tres casos.
- Si el discriminante es negativo, la fracción diverge por oscilación, lo que significa que sus convergentes deambulan de manera regular o incluso caótica, sin acercarse nunca a un límite finito.
- Si el discriminante es cero, la fracción converge a la raíz única de la multiplicidad dos.
- Si el discriminante es positivo, la ecuación tiene dos raíces reales y la fracción continua converge a la mayor (en valor absoluto ) de estas. La tasa de convergencia depende del valor absoluto de la razón entre las dos raíces: cuanto más lejos está la razón de la unidad, más rápidamente converge la fracción continua.
Cuando la ecuación cuadrática monica con coeficientes reales es de la forma x 2 = c , la solución general descrita anteriormente es inútil porque la división por cero no está bien definida. Sin embargo, siempre que c sea positivo, siempre es posible transformar la ecuación restando un cuadrado perfecto de ambos lados y siguiendo las líneas ilustradas con √ 2 arriba. En símbolos, si
simplemente elija un número real positivo p tal que
Entonces por manipulación directa obtenemos
y esta fracción continua transformada debe converger porque todos los numeradores y denominadores parciales son números reales positivos.
Coeficientes complejos
Según el teorema fundamental del álgebra , si la ecuación polinomial mónica x 2 + bx + c = 0 tiene coeficientes complejos, debe tener dos raíces complejas (no necesariamente distintas). Desafortunadamente, el discriminante b 2 - 4 c no es tan útil en esta situación, porque puede ser un número complejo. Aún así, se puede probar una versión modificada del teorema general.
La solución de fracción continua a la ecuación cuadrática monic general con coeficientes complejos
dada por
converge o no dependiendo del valor del discriminante, b 2 - 4 c , y de la magnitud relativa de sus dos raíces.
Denotando las dos raíces por r 1 y r 2 distinguimos tres casos.
- Si el discriminante es cero, la fracción converge a la raíz única de la multiplicidad dos.
- Si el discriminante no es cero, y | r 1 | ≠ | r 2 |, la fracción continua converge a la raíz del módulo máximo (es decir, a la raíz con el mayor valor absoluto ).
- Si el discriminante no es cero, y | r 1 | = | r 2 |, la fracción continua diverge por oscilación.
En el caso 2, la tasa de convergencia depende del valor absoluto de la razón entre las dos raíces: cuanto más alejada de la unidad está esa razón, más rápidamente converge la fracción continua.
Esta solución general de ecuaciones cuadráticas mónicas con coeficientes complejos generalmente no es muy útil para obtener aproximaciones racionales a las raíces, porque los criterios son circulares (es decir, las magnitudes relativas de las dos raíces deben conocerse antes de que podamos concluir que la fracción converge , en la mayoría de los casos). Pero esta solución encuentra aplicaciones útiles en el análisis posterior del problema de convergencia para fracciones continuas con elementos complejos.
Ver también
Referencias
- HS Wall, Teoría analítica de fracciones continuas , D. Van Nostrand Company, Inc., 1948 ISBN 0-8284-0207-8