Relatividad general

Theory of gravitation as curved spacetime

Para el libro de texto de posgrado de Robert Wald, consulte Relatividad general (libro) .

Para obtener una introducción más accesible y menos técnica a este tema, consulte Introducción a la relatividad general .

Relatividad general
${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }}$
Introducción Historia Formulación matemática Pruebas
Conceptos fundamentales Principio de equivalencia Relatividad especial Línea mundial Variedad pseudo-riemanniana
Fenómenos Problema de Kepler Lente gravitacional Ondas gravitacionales Arrastrar fotogramas Efecto geodésico Horizonte de eventos Singularidad Calabozo Tiempo espacial Diagramas de espacio-tiempo Espacio-tiempo de Minkowski Puente Einstein-Rosen
Ecuaciones Formalismos Ecuaciones Gravedad linealizada Ecuaciones de campo de Einstein Friedmann Geodésicas Mathisson – Papapetrou – Dixon Hamilton – Jacobi – Einstein Formalismos ADM BSSN Post-Newtoniano Teoría avanzada Teoría de Kaluza-Klein Gravedad cuántica
Soluciones Schwarzschild ( interior ) Reissner – Nordström Gödel Kerr Kerr – Newman Kasner Lemaître – Tolman Taub-NUT Milne Robertson – Walker onda de pp polvo de van Stockum Weyl-Lewis-Papapetrou
Científicos Einstein Lorentz Hilbert Poincaré Schwarzschild de Sitter Reissner Nordström Weyl Eddington Friedman Milne Zwicky Lemaître Gödel Rodador Robertson Bardeen Caminante Kerr Chandrasekhar Ehlers Penrose Hawking Raychaudhuri Taylor Hulse van Stockum Taub Hombre nuevo Yau Thorne otros
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Simulación por computadora en cámara lenta del sistema binario de agujeros negros GW150914 visto por un observador cercano, durante 0.33 s de su inspiración final, fusión y ringdown. El campo de estrellas detrás de los agujeros negros está muy distorsionado y parece girar y moverse, debido a las lentes gravitacionales extremas , ya que el propio espacio-tiempo es distorsionado y arrastrado por los agujeros negros en rotación . ^[1]

La relatividad general , también conocida como teoría de la relatividad general , es la teoría geométrica de la gravitación publicada por Albert Einstein en 1915 y es la descripción actual de la gravitación en la física moderna . General de la relatividad generaliza la relatividad especial y refina la ley de la gravitación universal de Newton , que proporciona una descripción unificada de la gravedad como una propiedad geométrica del espacio y el tiempo , o de cuatro dimensiones del espacio-tiempo . En particular, el La curvatura del espacio-tiempo está directamente relacionada con laenergíay elmomentode cualquiermateriayradiaciónpresentes. La relación está especificada por lasecuaciones de campo de Einstein, un sistema deecuaciones diferenciales parciales.

Algunas predicciones de la relatividad general difieren significativamente de las de la física clásica , especialmente en lo que respecta al paso del tiempo, la geometría del espacio, el movimiento de los cuerpos en caída libre y la propagación de la luz. Ejemplos de tales diferencias incluyen la dilatación del tiempo gravitacional , las lentes gravitacionales , el corrimiento al rojo gravitacional de la luz, el retardo de tiempo gravitacional y las singularidades / agujeros negros . Las predicciones de la relatividad general en relación con la física clásica se han confirmado en todas las observaciones y experimentos hasta la fecha. Aunque la relatividad general esno es la única teoría relativista de la gravedad , es la teoría más simple que es consistente con los datos experimentales . Quedan preguntas sin respuesta, la más fundamental es cómo reconciliar la relatividad general con las leyes de la física cuántica para producir una teoría completa y autoconsistente de la gravedad cuántica ; y cómo se puede unificar la gravedad con las tres fuerzas no gravitacionales: fuerzas fuertes , débiles y electromagnéticas .

La teoría de Einstein tiene importantes implicaciones astrofísicas . Por ejemplo, implica la existencia de agujeros negros (regiones del espacio en las que el espacio y el tiempo están distorsionados de tal manera que nada, ni siquiera la luz, puede escapar) como estado final para las estrellas masivas . Existe amplia evidencia de que la intensa radiación emitida por ciertos tipos de objetos astronómicos se debe a los agujeros negros. Por ejemplo, los microcuásares y los núcleos galácticos activos son el resultado de la presencia de agujeros negros estelares y agujeros negros supermasivos., respectivamente. La curvatura de la luz por gravedad puede conducir al fenómeno de lentes gravitacionales, en el que múltiples imágenes del mismo objeto astronómico distante son visibles en el cielo. La relatividad general también predice la existencia de ondas gravitacionales , que desde entonces han sido observadas directamente por la colaboración de física LIGO . Además, la relatividad general es la base de los modelos cosmológicos actuales de un universo en constante expansión .

Ampliamente reconocida como una teoría de extraordinaria belleza , la relatividad general a menudo se ha descrito como la más hermosa de todas las teorías físicas existentes. ^[2]

Historia

Artículos principales: Historia de la relatividad general y teorías clásicas de la gravitación.

Poco después de publicar la teoría especial de la relatividad en 1905, Einstein comenzó a pensar en cómo incorporar la gravedad en su nuevo marco relativista. En 1907, comenzando con un simple experimento mental que involucraba a un observador en caída libre, se embarcó en lo que sería una búsqueda de ocho años de una teoría relativista de la gravedad. Después de numerosos desvíos y comienzos en falso, su trabajo culminó con la presentación a la Academia de Ciencias de Prusia en noviembre de 1915 de lo que ahora se conoce como las ecuaciones de campo de Einstein, que forman el núcleo de la teoría general de la relatividad de Einstein. ^[3] Estas ecuaciones especifican cómo la geometría del espacio y el tiempo se ve influenciada por cualquier materia y radiación presentes.^[4] El siglo 19a matemático Bernhard Riemann 's geometría no euclidiana , llamado Riemann Geometría , habilitada para desarrollar Einstein de la relatividad general, proporcionando el marco matemático clave en el que se encaja sus ideas físicas de la gravedad. ^[5] Esta idea fue señalada por el matemático Marcel Grossmann y publicada por Grossmann y Einstein en 1913. ^[6]

Las ecuaciones de campo de Einstein no son lineales y muy difíciles de resolver. Einstein utilizó métodos de aproximación para elaborar las predicciones iniciales de la teoría. Pero en 1916, el astrofísico Karl Schwarzschild encontró la primera solución exacta no trivial a las ecuaciones de campo de Einstein, la métrica de Schwarzschild . Esta solución sentó las bases para la descripción de las etapas finales del colapso gravitacional y los objetos conocidos hoy como agujeros negros. En el mismo año, se dieron los primeros pasos hacia la generalización de la solución de Schwarzschild a los objetos cargados eléctricamente , lo que finalmente dio como resultado la solución Reissner-Nordström , que ahora se asocia con agujeros negros cargados eléctricamente.. ^[7] En 1917, Einstein aplicó su teoría al universo como un todo, iniciando el campo de la cosmología relativista. De acuerdo con el pensamiento contemporáneo, asumió un universo estático, agregando un nuevo parámetro a sus ecuaciones de campo originales, la constante cosmológica, para igualar esa presunción observacional. ^[8] En 1929, sin embargo, el trabajo de Hubble y otros había demostrado que nuestro universo se está expandiendo. Esto se describe fácilmente por las soluciones cosmológicas en expansión encontradas por Friedmann en 1922, que no requieren una constante cosmológica. Lemaître utilizó estas soluciones para formular la primera versión del Big Bang.modelos, en los que nuestro universo ha evolucionado desde un estado anterior extremadamente caliente y denso. ^[9] Einstein declaró más tarde que la constante cosmológica fue el mayor error de su vida. ^[10]

Durante ese período, la relatividad general siguió siendo una curiosidad entre las teorías físicas. Era claramente superior a la gravedad newtoniana , siendo coherente con la relatividad especial y explicando varios efectos no explicados por la teoría newtoniana. Einstein mostró en 1915 cómo su teoría explicaba el avance del perihelio anómalo del planeta Mercurio sin ningún parámetro arbitrario (" factores fudge "), ^[11] y en 1919 una expedición dirigida por Eddington confirmó la predicción de la relatividad general para la desviación de la luz de las estrellas por el Sol. durante el eclipse solar total del 29 de mayo de 1919 , ^[12] instantáneamente hizo famoso a Einstein.^[13] Sin embargo, la teoría permaneció fuera de la corriente principal de la física teórica y la astrofísica hasta los desarrollos entre aproximadamente 1960 y 1975, ahora conocida como la edad de oro de la relatividad general . ^{[14] Los} físicos comenzaron a comprender el concepto de agujero negro ya identificar a los cuásares como una de las manifestaciones astrofísicas de estos objetos. ^{[15] Las} pruebas del sistema solar cada vez más precisas confirmaron el poder predictivo de la teoría, ^[16] y la cosmología relativista también se volvió susceptible de pruebas de observación directas. ^[17]

A lo largo de los años, la relatividad general se ha ganado la reputación de ser una teoría de extraordinaria belleza. ^{[2] [18] [19]} Subrahmanyan Chandrasekhar ha notado que en múltiples niveles, la relatividad general exhibe lo que Francis Bacon ha llamado una "extrañeza en la proporción" ( es decir, elementos que excitan el asombro y la sorpresa). Yuxtapone conceptos fundamentales (espacio y tiempo versusmateria y movimiento) que anteriormente se había considerado completamente independiente. Chandrasekhar también señaló que las únicas guías de Einstein en su búsqueda de una teoría exacta eran el principio de equivalencia y su sentido de que una descripción adecuada de la gravedad debería ser geométrica en su base, de modo que había un "elemento de revelación" en la forma en que Einstein llegó a su teoría. ^[20] Otros elementos de la belleza asociados con la teoría general de la relatividad son su simplicidad y simetría, la manera en que incorpora invariancia y unificación, y su perfecta consistencia lógica. ^[21]

De la mecánica clásica a la relatividad general

La relatividad general puede entenderse examinando sus similitudes y desviaciones de la física clásica. El primer paso es darse cuenta de que la mecánica clásica y la ley de la gravedad de Newton admiten una descripción geométrica. La combinación de esta descripción con las leyes de la relatividad especial da como resultado una derivación heurística de la relatividad general. ^[22] Esto está muy bien explicado por el profesor Jim Al-Khalili en su programa de la BBC 'Gravity and Me: The Force that Shapes Our Lives' ^[23]

Geometría de la gravedad newtoniana

Según la relatividad general, los objetos en un campo gravitacional se comportan de manera similar a los objetos dentro de un recinto acelerado. Por ejemplo, un observador verá caer una bola en un cohete (izquierda) de la misma manera que lo hace en la Tierra (derecha), siempre que la aceleración del cohete sea igual a 9,8 m / s ² (la aceleración debida a la gravedad en la superficie de la Tierra).

En la base de la mecánica clásica se encuentra la noción de que el movimiento de un cuerpo puede describirse como una combinación de movimiento libre (o inercial ) y desviaciones de este movimiento libre. Estas desviaciones son causados por fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo, de acuerdo con el segundo de Newton ley del movimiento , que establece que la red de la fuerza que actúa sobre un cuerpo es igual a la de ese cuerpo (inercial) la masa multiplicada por su aceleración . ^[24] Los movimientos inerciales preferidos están relacionados con la geometría del espacio y el tiempo: en los marcos de referencia estándarDe la mecánica clásica, los objetos en movimiento libre se mueven a lo largo de líneas rectas a velocidad constante. En el lenguaje moderno, sus caminos son geodésicos , líneas rectas del mundo en un espacio-tiempo curvo. ^[25]

Por el contrario, uno podría esperar que los movimientos inerciales, una vez identificados mediante la observación de los movimientos reales de los cuerpos y teniendo en cuenta las fuerzas externas (como el electromagnetismo o la fricción ), se puedan utilizar para definir la geometría del espacio, así como una coordenada temporal . Sin embargo, existe una ambigüedad una vez que entra en juego la gravedad. De acuerdo con la ley de la gravedad de Newton, y verificado independientemente por experimentos como el de Eötvös y sus sucesores (ver el experimento de Eötvös ), existe una universalidad de caída libre (también conocida como el principio de equivalencia débil , o la igualdad universal de inercia y pasividad). -masa gravitacional): la trayectoria de un cuerpo de pruebaen caída libre depende solo de su posición y velocidad inicial, pero no de ninguna de sus propiedades materiales. ^[26] Una versión simplificada de esto está incorporada en el experimento del ascensor de Einstein , ilustrado en la figura de la derecha: para un observador en una pequeña habitación cerrada, es imposible para él decidir, trazando un mapa de la trayectoria de cuerpos como una caída. bola, ya sea que la habitación esté estacionaria en un campo gravitacional y la bola acelere, o en el espacio libre a bordo de un cohete que acelera a una velocidad igual a la del campo gravitacional frente a la bola que, al soltarse, tiene una aceleración nula. ^[27]

Dada la universalidad de la caída libre, no existe una distinción observable entre el movimiento inercial y el movimiento bajo la influencia de la fuerza gravitacional. Esto sugiere la definición de una nueva clase de movimiento inercial, a saber, el de los objetos en caída libre bajo la influencia de la gravedad. Esta nueva clase de movimientos preferidos también define una geometría de espacio y tiempo; en términos matemáticos, es el movimiento geodésico asociado con una conexión específica que depende del gradiente del potencial gravitacional . El espacio, en esta construcción, todavía tiene la geometría euclidiana ordinaria . Sin embargo, el espacio- tiempoen su conjunto es más complicado. Como se puede demostrar usando experimentos mentales simples siguiendo las trayectorias de caída libre de diferentes partículas de prueba, el resultado del transporte de vectores espaciotemporales que pueden denotar la velocidad de una partícula (vectores similares al tiempo) variará con la trayectoria de la partícula; matemáticamente hablando, la conexión newtoniana no es integrable . De esto se puede deducir que el espacio-tiempo es curvo. La teoría de Newton-Cartan resultante es una formulación geométrica de la gravedad newtoniana que utiliza sólo conceptos covariantes , es decir, una descripción que es válida en cualquier sistema de coordenadas deseado. ^[28] En esta descripción geométrica, los efectos de las mareas—La aceleración relativa de los cuerpos en caída libre— están relacionados con la derivada de la conexión, mostrando cómo la geometría modificada es causada por la presencia de masa. ^[29]

Generalización relativista

Cono de luz

Por intrigante que pueda ser la gravedad geométrica newtoniana, su base, la mecánica clásica, es simplemente un caso límite de la mecánica relativista (especial). ^[30] En el lenguaje de la simetría : donde la gravedad puede despreciarse, la física es invariante de Lorentz como en la relatividad especial en lugar de invariante de Galilei como en la mecánica clásica. (La simetría que define la relatividad especial es el grupo de Poincaré , que incluye traslaciones, rotaciones y aumentos). Las diferencias entre los dos se vuelven significativas cuando se trata de velocidades cercanas a la velocidad de la luz y con fenómenos de alta energía. ^[31]

Con la simetría de Lorentz, entran en juego estructuras adicionales. Están definidos por el conjunto de conos de luz (ver imagen). Los conos de luz definen una estructura causal: para cada evento A , hay un conjunto de eventos que, en principio, pueden influir o ser influenciados por A a través de señales o interacciones que no necesitan viajar más rápido que la luz (como un evento B en la imagen) y un conjunto de eventos para los que tal influencia es imposible (como el evento C en la imagen). Estos conjuntos son independientes del observador. ^[32]Junto con las líneas de mundo de las partículas que caen libremente, los conos de luz se pueden usar para reconstruir la métrica semi-Riemanniana del espacio-tiempo, al menos hasta un factor escalar positivo. En términos matemáticos, esto define una estructura conforme ^[33] o geometría conforme.

La relatividad especial se define en ausencia de gravedad. Para aplicaciones prácticas, es un modelo adecuado siempre que se pueda despreciar la gravedad. Poniendo en juego la gravedad y asumiendo la universalidad del movimiento de caída libre, se aplica un razonamiento análogo al de la sección anterior: no hay marcos inerciales globales . En cambio, hay marcos inerciales aproximados que se mueven junto con partículas que caen libremente. Traducido al lenguaje del espacio-tiempo: las líneas rectas similares al tiempo que definen un marco inercial libre de gravedad se deforman en líneas curvas entre sí, lo que sugiere que la inclusión de la gravedad requiere un cambio en la geometría del espacio-tiempo. ^[34]

A priori, no está claro si los nuevos marcos locales en caída libre coinciden con los marcos de referencia en los que se mantienen las leyes de la relatividad especial; esa teoría se basa en la propagación de la luz y, por lo tanto, en el electromagnetismo, que podría tener un conjunto diferente. de fotogramas preferidos. Pero utilizando diferentes supuestos sobre los marcos relativistas especiales (como si están fijos en la Tierra o en caída libre), se pueden derivar diferentes predicciones para el corrimiento al rojo gravitacional, es decir, la forma en que la frecuencia de la luz cambia a medida que la luz cambia. se propaga a través de un campo gravitacional (véase más adelante ). Las mediciones reales muestran que los marcos en caída libre son aquellos en los que la luz se propaga como lo hace en la relatividad especial. ^[35]La generalización de esta afirmación, a saber, que las leyes de la relatividad especial se mantienen en una buena aproximación en marcos de referencia que caen libremente (y no giran), se conoce como el principio de equivalencia de Einstein , un principio rector crucial para generalizar la física relativista especial para incluir la gravedad. . ^[36]

Los mismos datos experimentales muestran que el tiempo medido por los relojes en un campo gravitacional —el tiempo adecuado , para dar el término técnico— no sigue las reglas de la relatividad especial. En el lenguaje de la geometría del espacio-tiempo, no se mide con la métrica de Minkowski . Como en el caso newtoniano, esto sugiere una geometría más general. A pequeñas escalas, todos los marcos de referencia que están en caída libre son equivalentes, y aproximadamente Minkowskianos. En consecuencia, ahora estamos tratando con una generalización curva del espacio de Minkowski. El tensor métrico que define la geometría, en particular, cómo se miden las longitudes y los ángulos, no es la métrica de Minkowski de la relatividad especial, es una generalización conocida como semi o pseudo-riemanniana.métrico. Además, cada métrica de Riemann está naturalmente asociada con un tipo particular de conexión, la conexión Levi-Civita , y esta es, de hecho, la conexión que satisface el principio de equivalencia y hace que el espacio sea localmente Minkowskiano (es decir, en coordenadas localmente inerciales adecuadas , la métrica es Minkowskiana, y sus primeras derivadas parciales y los coeficientes de conexión desaparecen). ^[37]

Ecuaciones de Einstein

Artículos principales: Ecuaciones de campo de Einstein y Matemáticas de la relatividad general.

Habiendo formulado la versión geométrica y relativista de los efectos de la gravedad, la cuestión de la fuente de la gravedad permanece. En la gravedad newtoniana, la fuente es la masa. En la relatividad especial, la masa resulta ser parte de una cantidad más general llamada tensor de energía-momento , que incluye tanto la densidad de energía como la cantidad de momento , así como la tensión : presión y cizallamiento. ^[38] Usando el principio de equivalencia, este tensor se generaliza fácilmente al espacio-tiempo curvo. Basándose más en la analogía con la gravedad geométrica newtoniana, es natural suponer que la ecuación de campo para la gravedad relaciona este tensor y el tensor de Ricci, que describe una clase particular de efectos de marea: el cambio de volumen de una pequeña nube de partículas de prueba que inicialmente están en reposo y luego caen libremente. En relatividad especial, la conservación de energía- momento corresponde al enunciado de que el tensor de energía-momento no tiene divergencia . Esta fórmula también se generaliza fácilmente al espacio-tiempo curvo reemplazando las derivadas parciales con sus contrapartes de múltiples curvas , derivadas covariantes estudiadas en geometría diferencial. Con esta condición adicional (la divergencia covariante del tensor de energía-momento y, por lo tanto, de cualquier cosa que esté en el otro lado de la ecuación, es cero), el conjunto de ecuaciones más simple son las llamadas ecuaciones (de campo) de Einstein:

Ecuaciones de campo de Einstein

${\displaystyle G_{\mu \nu }\equiv R_{\mu \nu }-{\textstyle 1 \over 2}R\,g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }\,}$

En el lado izquierdo es el tensor de Einstein , que es simétrica y una combinación específica libres de divergencia del tensor de Ricci y la métrica. En particular,${\displaystyle G_{\mu \nu }}$${\displaystyle R_{\mu \nu }}$

${\displaystyle R=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }\,}$

es el escalar de curvatura. El tensor de Ricci en sí mismo está relacionado con el tensor de curvatura de Riemann más general como

${\displaystyle R_{\mu \nu }={R^{\alpha }}_{\mu \alpha \nu }.\,}$

En el lado derecho, está el tensor de energía-momento. Todos los tensores están escritos en notación de índice abstracto . ^{[39] Al hacer} coincidir la predicción de la teoría con los resultados de observación para las órbitas planetarias o, de manera equivalente, asegurar que el límite de baja velocidad y gravedad débil es la mecánica newtoniana, se encuentra que la constante de proporcionalidad es , donde es la constante gravitacional y la velocidad de la luz. al vacío. ^[40] Cuando no hay materia presente, de modo que el tensor de energía-momento se desvanece, los resultados son las ecuaciones de Einstein al vacío,${\displaystyle T_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle {\frac {8\pi G}{c^{4}}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle c}$

${\displaystyle R_{\mu \nu }=0.\,}$

En relatividad general, la línea del mundo de una partícula libre de toda fuerza externa no gravitacional es un tipo particular de geodésica en el espacio-tiempo curvo. En otras palabras, una partícula que se mueve o cae libremente siempre se mueve a lo largo de una geodésica.

La ecuación geodésica es:

${\displaystyle {d^{2}x^{\mu } \over ds^{2}}+\Gamma ^{\mu }{}_{\alpha \beta }{dx^{\alpha } \over ds}{dx^{\beta } \over ds}=0,}$

donde es un parámetro escalar de movimiento (por ejemplo, el tiempo adecuado ), y son símbolos de Christoffel (a veces llamados coeficientes de conexión afines o coeficientes de conexión Levi-Civita ) que son simétricos en los dos índices inferiores. Los índices griegos pueden tomar los valores: 0, 1, 2, 3 y la convención de suma se usa para índices repetidos y . La cantidad en el lado izquierdo de esta ecuación es la aceleración de una partícula, por lo que esta ecuación es análoga a las leyes del movimiento de Newton que también proporcionan fórmulas para la aceleración de una partícula. Esta ecuación de movimiento emplea la notación de Einstein${\displaystyle s}$${\displaystyle \Gamma ^{\mu }{}_{\alpha \beta }}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$, lo que significa que los índices repetidos se suman (es decir, de cero a tres). Los símbolos de Christoffel son funciones de las cuatro coordenadas del espacio-tiempo y, por lo tanto, son independientes de la velocidad o aceleración u otras características de una partícula de prueba cuyo movimiento se describe mediante la ecuación geodésica.

Fuerza total en relatividad general

Ver también: Problema de dos cuerpos en relatividad general

En la relatividad general , la energía potencial gravitacional efectiva de un objeto de masa m que gira alrededor de un cuerpo central masivo M viene dada por ^{[41] [42]}

${\displaystyle U_{f}(r)=-{\frac {GMm}{r}}+{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}-{\frac {GML^{2}}{mc^{2}r^{3}}}}$

Entonces se puede obtener una fuerza total conservadora como ^{[ cita requerida ]}

${\displaystyle F_{f}(r)=-{\frac {GMm}{r^{2}}}+{\frac {L^{2}}{mr^{3}}}-{\frac {3GML^{2}}{mc^{2}r^{4}}}}$

donde L es el momento angular . El primer término representa la fuerza de gravedad de Newton , que se describe mediante la ley del cuadrado inverso. El segundo término representa la fuerza centrífuga en el movimiento circular. El tercer término está relacionado con la fuerza de Coriolis en el marco de referencia giratorio , que incluye la inversa de la distancia a la cuarta potencia.

Alternativas a la relatividad general

Artículo principal: Alternativas a la relatividad general.

Existen alternativas a la relatividad general construidas sobre las mismas premisas, que incluyen reglas y / o restricciones adicionales, que conducen a diferentes ecuaciones de campo. Ejemplos de ello son la teoría de Whitehead , teoría Brans-Dicke , teleparalelismo , f ( R gravedad) y la teoría de Einstein-Cartan . ^[43]

Definición y aplicaciones básicas

Ver también: Matemáticas de la relatividad general y teorías físicas modificadas por la relatividad general

La derivación descrita en la sección anterior contiene toda la información necesaria para definir la relatividad general, describir sus propiedades clave y abordar una cuestión de crucial importancia en física, a saber, cómo se puede utilizar la teoría para la construcción de modelos.

Definición y propiedades básicas

La relatividad general es una teoría métrica de la gravitación. En su núcleo están las ecuaciones de Einstein , que describen la relación entre la geometría de una variedad pseudo-Riemanniana de cuatro dimensiones que representa el espacio-tiempo, y la energía-momento contenida en ese espacio-tiempo. ^[44] Fenómenos que en la mecánica clásica se atribuyen a la acción de la fuerza de la gravedad (como la caída libre , el movimiento orbital y las trayectorias de las naves espaciales ), corresponden al movimiento inercial dentro de una geometría curva del espacio-tiempo en relatividad general; no hay fuerza gravitacional que desvíe los objetos de sus trayectorias naturales y rectas. En cambio, la gravedad corresponde a cambios en las propiedades del espacio y el tiempo, que a su vez cambia los caminos más rectos posibles que los objetos seguirán naturalmente. ^[45] La curvatura es, a su vez, causada por la energía-momento de la materia. Parafraseando al relativista John Archibald Wheeler , el espacio-tiempo le dice a la materia cómo moverse; la materia le dice al espacio-tiempo cómo curvarse. ^[46]

Mientras que la relatividad general reemplaza el potencial gravitacional escalar de la física clásica por un tensor simétrico de rango dos , el último se reduce al primero en ciertos casos límite . Para campos gravitacionales débiles y velocidad lenta en relación con la velocidad de la luz, las predicciones de la teoría convergen con las de la ley de gravitación universal de Newton. ^[47]

Como se construye utilizando tensores, la relatividad general exhibe covarianza general : sus leyes —y otras leyes formuladas dentro del marco relativista general— toman la misma forma en todos los sistemas de coordenadas . ^[48] Además, la teoría no contiene ninguna estructura de fondo geométrica invariante, es decir, es independiente del fondo . Por tanto, satisface un principio general de relatividad más estricto , a saber, que las leyes de la física son las mismas para todos los observadores. ^[49] Localmente , como se expresa en el principio de equivalencia, el espacio-tiempo es Minkowskiano , y las leyes de la física exhiben invariancia de Lorentz local.. ^[50]

Construcción del modelo

El concepto central de la construcción de modelos relativistas generales es el de una solución de las ecuaciones de Einstein . Dadas tanto las ecuaciones de Einstein como las ecuaciones adecuadas para las propiedades de la materia, tal solución consiste en una variedad semi-Riemanniana específica (generalmente definida dando la métrica en coordenadas específicas) y campos de materia específicos definidos en esa variedad. La materia y la geometría deben satisfacer las ecuaciones de Einstein, por lo que, en particular, el tensor de energía-momento de la materia debe estar libre de divergencias. La materia, por supuesto, también debe satisfacer cualquier ecuación adicional que se impusiera a sus propiedades. En resumen, tal solución es un modelo de universo que satisface las leyes de la relatividad general y posiblemente leyes adicionales que gobiernan cualquier materia que pueda estar presente. ^[51]

Las ecuaciones de Einstein son ecuaciones diferenciales parciales no lineales y, como tales, difíciles de resolver con exactitud. ^[52] No obstante, se conocen varias soluciones exactas , aunque solo unas pocas tienen aplicaciones físicas directas. ^[53] Las soluciones exactas más conocidas, y también las más interesantes desde el punto de vista de la física, son la solución de Schwarzschild , la solución de Reissner-Nordström y la métrica de Kerr , cada una de las cuales corresponde a un cierto tipo de agujero negro en un lugar vacío. universo, ^[54] y los universos de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker y de Sitter , cada uno de los cuales describe un cosmos en expansión. ^[55]Las soluciones exactas de gran interés teórico incluyen el universo de Gödel (que abre la intrigante posibilidad de viajar en el tiempo en espaciotiempos curvos), la solución Taub-NUT (un universo modelo que es homogéneo , pero anisotrópico ) y el espacio anti-de Sitter (que ha cobrado relevancia recientemente en el contexto de lo que se llama la conjetura de Maldacena ). ^[56]

Dada la dificultad de encontrar soluciones exactas, las ecuaciones de campo de Einstein también se resuelven frecuentemente mediante integración numérica en una computadora o considerando pequeñas perturbaciones de soluciones exactas. En el campo de la relatividad numérica , se emplean poderosas computadoras para simular la geometría del espacio-tiempo y para resolver las ecuaciones de Einstein para situaciones interesantes como la colisión de dos agujeros negros. ^[57] En principio, tales métodos pueden aplicarse a cualquier sistema, con suficientes recursos informáticos, y pueden abordar cuestiones fundamentales como singularidades desnudas . También se pueden encontrar soluciones aproximadas mediante teorías de perturbación como la gravedad linealizada ^[58].y su generalización, la expansión post-Newtoniana , ambas desarrolladas por Einstein. Este último proporciona un enfoque sistemático para resolver la geometría de un espacio-tiempo que contiene una distribución de materia que se mueve lentamente en comparación con la velocidad de la luz. La expansión implica una serie de términos; los primeros términos representan la gravedad newtoniana, mientras que los términos posteriores representan correcciones cada vez más pequeñas a la teoría de Newton debido a la relatividad general. ^[59] Una extensión de esta expansión es el formalismo post-Newtoniano parametrizado (PPN), que permite comparaciones cuantitativas entre las predicciones de la relatividad general y las teorías alternativas. ^[60]

Consecuencias de la teoría de Einstein

La relatividad general tiene varias consecuencias físicas. Algunos se derivan directamente de los axiomas de la teoría, mientras que otros se han aclarado solo en el curso de muchos años de investigación que siguieron a la publicación inicial de Einstein.

Dilatación del tiempo gravitacional y cambio de frecuencia.

Artículo principal: dilatación del tiempo gravitacional

Representación esquemática del corrimiento al rojo gravitacional de una onda de luz que escapa de la superficie de un cuerpo masivo

Suponiendo que se mantenga el principio de equivalencia, ^{[61] la} gravedad influye en el paso del tiempo. La luz enviada hacia abajo en un pozo de gravedad se desplaza hacia el azul , mientras que la luz enviada en la dirección opuesta (es decir, saliendo del pozo de gravedad) se desplaza hacia el rojo ; colectivamente, estos dos efectos se conocen como el cambio de frecuencia gravitacional. De manera más general, los procesos cercanos a un cuerpo masivo se ejecutan más lentamente en comparación con los procesos que tienen lugar más lejos; este efecto se conoce como dilatación del tiempo gravitacional. ^[62]

El desplazamiento al rojo gravitacional se ha medido en el laboratorio ^[63] y utilizando observaciones astronómicas. ^[64] La dilatación del tiempo gravitacional en el campo gravitacional de la Tierra se ha medido en numerosas ocasiones utilizando relojes atómicos , ^[65] mientras que la validación continua se proporciona como un efecto secundario del funcionamiento del Sistema de Posicionamiento Global (GPS). ^[66] Las pruebas en campos gravitacionales más intensos se obtienen mediante la observación de púlsares binarios . ^[67] Todos los resultados están de acuerdo con la relatividad general. ^[68]Sin embargo, con el nivel actual de precisión, estas observaciones no pueden distinguir entre la relatividad general y otras teorías en las que el principio de equivalencia es válido. ^[69]

Desviación de la luz y retardo gravitacional

Artículos principales: geodésicas de Schwarzschild , problema de Kepler en relatividad general , lente gravitacional y retardo de Shapiro

Desviación de luz (enviada desde la ubicación que se muestra en azul) cerca de un cuerpo compacto (que se muestra en gris)

La relatividad general predice que la trayectoria de la luz seguirá la curvatura del espacio-tiempo a medida que pasa cerca de una estrella. Este efecto se confirmó inicialmente al observar cómo la luz de las estrellas o cuásares distantes se desvía a medida que pasa el Sol . ^[70]

Esta y otras predicciones relacionadas se derivan del hecho de que la luz sigue lo que se llama una geodésica nula o similar a la luz, una generalización de las líneas rectas a lo largo de las cuales viaja la luz en la física clásica. Tales geodésicas son la generalización de la invariancia de la velocidad de la luz en la relatividad especial. ^[71] Cuando se examinan los espacios-tiempos del modelo adecuado (ya sea la solución de Schwarzschild exterior o, para más de una masa, la expansión post-Newtoniana), ^[72] surgen varios efectos de la gravedad sobre la propagación de la luz. Aunque la curvatura de la luz también se puede derivar extendiendo la universalidad de la caída libre a la luz, ^[73]el ángulo de deflexión resultante de tales cálculos es sólo la mitad del valor dado por la relatividad general. ^[74]

Estrechamente relacionado con la desviación de la luz está el retardo de tiempo gravitacional (o retardo de Shapiro), el fenómeno de que las señales de luz tardan más en moverse a través de un campo gravitacional de lo que lo harían en ausencia de ese campo. Ha habido numerosas pruebas exitosas de esta predicción. ^[75] En el formalismo post-Newtoniano parametrizado (PPN), las mediciones tanto de la deflexión de la luz como del retardo gravitacional determinan un parámetro llamado γ, que codifica la influencia de la gravedad en la geometría del espacio. ^[76]

Ondas gravitacionales

Artículo principal: Onda gravitacional

Anillo de partículas de prueba deformadas por una onda gravitacional pasante (linealizada, amplificada para una mejor visibilidad)

Previsto en 1916 ^{[77] [78]} por Albert Einstein, existen ondas gravitacionales: ondas en la métrica del espacio-tiempo que se propagan a la velocidad de la luz. Ésta es una de las varias analogías entre la gravedad de campo débil y el electromagnetismo en el sentido de que son análogas a las ondas electromagnéticas . El 11 de febrero de 2016, el equipo de Advanced LIGO anunció que habían detectado directamente ondas gravitacionales de un par de agujeros negros que se fusionaban . ^{[79] [80] [81]}

El tipo más simple de tal onda se puede visualizar por su acción sobre un anillo de partículas que flotan libremente. Una onda sinusoidal que se propaga a través de un anillo de este tipo hacia el lector distorsiona el anillo de una manera rítmica característica (imagen animada a la derecha). ^[82] Dado que las ecuaciones de Einstein no son lineales , las ondas gravitacionales arbitrariamente fuertes no obedecen a la superposición lineal , lo que dificulta su descripción. Sin embargo, las aproximaciones lineales de ondas gravitacionales son lo suficientemente precisas para describir las ondas extremadamente débiles que se espera que lleguen a la Tierra desde eventos cósmicos lejanos, que típicamente resultan en distancias relativas que aumentan y disminuyen en${\displaystyle 10^{-21}}$o menos. Los métodos de análisis de datos utilizan habitualmente el hecho de que estas ondas linealizadas pueden descomponerse en Fourier . ^[83]

Algunas soluciones exactas describen ondas gravitacionales sin ninguna aproximación, por ejemplo, un tren de ondas que viaja a través del espacio vacío ^[84] o universos Gowdy , variedades de un cosmos en expansión lleno de ondas gravitacionales. ^[85] Pero para las ondas gravitacionales producidas en situaciones astrofísicamente relevantes, como la fusión de dos agujeros negros, los métodos numéricos son actualmente la única forma de construir modelos apropiados. ^[86]

Efectos orbitales y relatividad de dirección

Artículo principal: Problema de dos cuerpos en relatividad general

La relatividad general se diferencia de la mecánica clásica en una serie de predicciones relativas a los cuerpos en órbita. Predice una rotación general ( precesión ) de las órbitas planetarias, así como la desintegración orbital causada por la emisión de ondas gravitacionales y efectos relacionados con la relatividad de dirección.

Precesión de ábsides

La órbita newtoniana (roja) frente a la einsteiniana (azul) de un planeta solitario que orbita una estrella. Se ignora la influencia de otros planetas.

Artículo principal: precesión apsidal

En relatividad general, los ábsides de cualquier órbita (el punto de aproximación más cercana del cuerpo en órbita al centro de masa del sistema ) precesarán ; la órbita no es una elipse , sino similar a una elipse que gira sobre su foco, lo que resulta en una forma de curva rosa (ver imagen). Einstein primero obtuvo este resultado utilizando una métrica aproximada que representa el límite newtoniano y tratando el cuerpo en órbita como una partícula de prueba . Para él, el hecho de que su teoría diera una explicación sencilla del desplazamiento anómalo del perihelio de Mercurio, descubierto anteriormente por Urbain Le Verrier.en 1859, era una prueba importante de que por fin había identificado la forma correcta de las ecuaciones del campo gravitacional. ^[87]

El efecto también se puede derivar utilizando la métrica exacta de Schwarzschild (que describe el espacio-tiempo alrededor de una masa esférica) ^[88] o el formalismo post-Newtoniano mucho más general . ^[89] Se debe a la influencia de la gravedad en la geometría del espacio ya la contribución de la energía propia a la gravedad de un cuerpo (codificada en la no linealidad de las ecuaciones de Einstein). ^[90] Se ha observado precesión relativista para todos los planetas que permiten mediciones precisas de precesión (Mercurio, Venus y la Tierra), ^[91] así como en sistemas de púlsar binarios, donde es más grande en cinco órdenes de magnitud . ^[92]

En relatividad general, el desplazamiento del perihelio , expresado en radianes por revolución, está aproximadamente dado por ^[93]${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \sigma ={\frac {24\pi ^{3}L^{2}}{T^{2}c^{2}(1-e^{2})}}\ ,}$

donde:

• ${\displaystyle L}$es el semi-eje mayor
• ${\displaystyle T}$es el período orbital
• ${\displaystyle c}$ es la velocidad de la luz en el vacío
• ${\displaystyle e}$es la excentricidad orbital

Decaimiento orbital

Decaimiento orbital para PSR1913 + 16: cambio de tiempo (en s ), seguido durante 30 años. ^[94]

Según la relatividad general, un sistema binario emitirá ondas gravitacionales, perdiendo energía. Debido a esta pérdida, la distancia entre los dos cuerpos en órbita disminuye, al igual que su período orbital. Dentro del Sistema Solar o para las estrellas dobles ordinarias , el efecto es demasiado pequeño para ser observable. Este no es el caso de un púlsar binario cercano, un sistema de dos estrellas de neutrones en órbita , una de las cuales es un púlsar.: desde el púlsar, los observadores en la Tierra reciben una serie regular de pulsos de radio que pueden servir como un reloj de alta precisión, lo que permite mediciones precisas del período orbital. Debido a que las estrellas de neutrones son inmensamente compactas, se emiten cantidades significativas de energía en forma de radiación gravitacional. ^[95]

La primera observación de una disminución en el período orbital debido a la emisión de ondas gravitacionales fue realizada por Hulse y Taylor , utilizando el púlsar binario PSR1913 + 16 que habían descubierto en 1974. Esta fue la primera detección de ondas gravitacionales, aunque indirectas, para las cuales fueron galardonados con el Premio Nobel de Física de 1993 . ^[96] Desde entonces, se han encontrado varios otros púlsares binarios, en particular el púlsares doble PSR J0737-3039 , en el que ambas estrellas son púlsares. ^[97]

Precesión geodésica y arrastre de cuadros

Artículos principales: precesión geodésica y arrastre de cuadros

Varios efectos relativistas están directamente relacionados con la relatividad de la dirección. ^[98] Uno es la precesión geodésica : la dirección del eje de un giroscopio en caída libre en el espacio-tiempo curvo cambiará cuando se compara, por ejemplo, con la dirección de la luz recibida de estrellas distantes, aunque tal giroscopio representa la forma de mantener una dirección lo más estable posible (" transporte paralelo "). ^[99] Para el sistema Luna-Tierra, este efecto se ha medido con la ayuda del rango láser lunar . ^[100] Más recientemente, se ha medido para masas de prueba a bordo del satélite Gravity Probe B con una precisión de mejor del 0,3%.^{[101] [102]}

Cerca de una masa en rotación, hay efectos gravitomagnéticos o de arrastre de fotogramas . Un observador distante determinará que los objetos cercanos a la masa son "arrastrados". Esto es más extremo para los agujeros negros en rotación donde, para cualquier objeto que ingrese a una zona conocida como ergosfera , la rotación es inevitable. ^[103] Estos efectos se pueden probar nuevamente a través de su influencia en la orientación de los giroscopios en caída libre. ^[104] Se han realizado pruebas algo controvertidas utilizando los satélites LAGEOS , lo que confirma la predicción relativista. ^[105] También se ha utilizado la sonda Mars Global Surveyor alrededor de Marte. ^[106]

Interpretaciones

Interpretación neorentziana

Ejemplos de físicos prominentes que apoyan las explicaciones neorentzianas de la relatividad general son Franco Selleri y Antony Valentini . ^[107]

Aplicaciones astrofísicas

Lente gravitacional

Artículo principal: lente gravitacional

Cruz de Einstein : cuatro imágenes del mismo objeto astronómico, producidas por una lente gravitacional

La desviación de la luz por gravedad es responsable de una nueva clase de fenómenos astronómicos. Si un objeto masivo está situado entre el astrónomo y un objeto objetivo distante con masa y distancias relativas apropiadas, el astrónomo verá múltiples imágenes distorsionadas del objetivo. Estos efectos se conocen como lentes gravitacionales. ^[108] Dependiendo de la configuración, escala y distribución de masa, puede haber dos o más imágenes, un anillo brillante conocido como anillo de Einstein o anillos parciales llamados arcos. ^[109] El ejemplo más antiguo se descubrió en 1979; ^[110] desde entonces, se han observado más de cien lentes gravitacionales. ^[111]Incluso si las múltiples imágenes están demasiado cerca entre sí para ser resueltas, el efecto aún puede medirse, por ejemplo, como un brillo general del objeto de destino; Se han observado varios de estos " eventos de microlentes ". ^[112]

La lente gravitacional se ha convertido en una herramienta de astronomía observacional . Se utiliza para detectar la presencia y distribución de materia oscura , proporcionar un "telescopio natural" para observar galaxias distantes y obtener una estimación independiente de la constante de Hubble . Las evaluaciones estadísticas de los datos de las lentes proporcionan información valiosa sobre la evolución estructural de las galaxias . ^[113]

Astronomía de ondas gravitacionales

Artículos principales: ondas gravitatorias y de la astronomía de ondas gravitacionales

Impresión artística del detector de ondas gravitacionales espacial LISA

Las observaciones de púlsares binarios proporcionan una fuerte evidencia indirecta de la existencia de ondas gravitacionales (ver Desintegración orbital , más arriba). La detección de estas ondas es un objetivo importante de la investigación actual relacionada con la relatividad. ^[114] Actualmente se encuentran en funcionamiento varios detectores terrestres de ondas gravitacionales , entre los que destacan los detectores interferométricos GEO 600 , LIGO (dos detectores), TAMA 300 y VIRGO . ^[115] Varias matrices de temporización de púlsar están utilizando púlsares de milisegundos para detectar ondas gravitacionales en los 10 ⁻⁹ a 10 ⁻⁶ Hertz.rango de frecuencia, que se origina a partir de agujeros negros supermasivos binarios. ^[116] Actualmente se está desarrollando un detector espacial europeo, eLISA / NGO , ^[117] y en diciembre de 2015 se lanzó una misión precursora ( LISA Pathfinder ). ^[118]

Las observaciones de ondas gravitacionales prometen complementar las observaciones en el espectro electromagnético . ^[119] Se espera que proporcionen información sobre agujeros negros y otros objetos densos como estrellas de neutrones y enanas blancas, sobre ciertos tipos de implosiones de supernovas y sobre procesos en el universo muy temprano, incluida la firma de ciertos tipos de cuerdas cósmicas hipotéticas. . ^[120] En febrero de 2016, el equipo de Advanced LIGO anunció que habían detectado ondas gravitacionales de una fusión de agujeros negros. ^{[79] [80] [81]}

Agujeros negros y otros objetos compactos

Artículo principal: Agujero negro

Simulación basada en las ecuaciones de la relatividad general: una estrella colapsa para formar un agujero negro mientras emite ondas gravitacionales

Siempre que la relación entre la masa de un objeto y su radio se vuelve lo suficientemente grande, la relatividad general predice la formación de un agujero negro, una región del espacio de la que nada, ni siquiera la luz, puede escapar. En los modelos actualmente aceptados de evolución estelar , se cree que las estrellas de neutrones de alrededor de 1,4 masas solares y los agujeros negros estelares con unas pocas o unas pocas docenas de masas solares son el estado final de la evolución de las estrellas masivas. ^[121] Por lo general, una galaxia tiene un agujero negro supermasivo con unos pocos millones a unos pocos miles de millones de masas solares en su centro, ^[122] y se cree que su presencia jugó un papel importante en la formación de la galaxia y estructuras cósmicas más grandes. ^[123]

Astronómicamente, la propiedad más importante de los objetos compactos es que proporcionan un mecanismo sumamente eficiente para convertir la energía gravitacional en radiación electromagnética. ^[124] Se cree que la acreción , la caída de polvo o materia gaseosa sobre agujeros negros estelares o supermasivos, es responsable de algunos objetos astronómicos espectacularmente luminosos, notablemente diversos tipos de núcleos galácticos activos en escalas galácticas y objetos de tamaño estelar como microcuásares. ^[125] En particular, la acreción puede conducir a chorros relativistas , haces enfocados de partículas altamente energéticas que son lanzadas al espacio casi a la velocidad de la luz. ^[126] La relatividad general juega un papel central en el modelado de todos estos fenómenos,^[127] y las observaciones proporcionan una fuerte evidencia de la existencia de agujeros negros con las propiedades predichas por la teoría. ^[128]

Los agujeros negros también son objetivos buscados en la búsqueda de ondas gravitacionales (cf. Ondas gravitacionales , arriba). La fusión de binarios de agujeros negros debería llevar a que algunas de las señales de ondas gravitacionales más fuertes lleguen a los detectores aquí en la Tierra, y la fase directamente antes de la fusión ("chirrido") podría usarse como una " vela estándar " para deducir la distancia a los eventos de fusión. y, por tanto, sirven como sonda de expansión cósmica a grandes distancias. ^[129] Las ondas gravitacionales producidas cuando un agujero negro estelar se sumerge en uno supermasivo deberían proporcionar información directa sobre la geometría del agujero negro supermasivo. ^[130]

Cosmología

Artículo principal: cosmología física

Esta herradura azul es una galaxia distante que ha sido magnificada y deformada en un anillo casi completo por la fuerte atracción gravitacional de la masiva galaxia roja luminosa en primer plano .

Los modelos actuales de cosmología se basan en las ecuaciones de campo de Einstein , que incluyen la constante cosmológica, ya que tiene una influencia importante en la dinámica a gran escala del cosmos.${\displaystyle \Lambda }$

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\textstyle 1 \over 2}R\,g_{\mu \nu }+\Lambda \ g_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\,T_{\mu \nu }}$

donde es la métrica del espacio-tiempo. ^{[131] Las} soluciones isotrópicas y homogéneas de estas ecuaciones mejoradas, las soluciones de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker , ^[132] permiten a los físicos modelar un universo que ha evolucionado durante los últimos 14  mil millones de  años a partir de una fase temprana del Big Bang. ^[133] Una vez que un pequeño número de parámetros (por ejemplo, la densidad de materia media del universo) han sido fijados por observación astronómica, ^[134] se pueden usar más datos de observación para poner a prueba los modelos. ^{[135] Las} predicciones, todas exitosas, incluyen la abundancia inicial de elementos químicos formados en un período de nucleosíntesis primordial.${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ , ^[136] la estructura a gran escala del universo, ^[137] y la existencia y propiedades de un " eco térmico " del cosmos temprano, la radiación cósmica de fondo . ^[138]

Las observaciones astronómicas de la tasa de expansión cosmológica permiten estimar la cantidad total de materia en el universo, aunque la naturaleza de esa materia sigue siendo un misterio en parte. Aproximadamente el 90% de toda la materia parece ser materia oscura, que tiene masa (o, de manera equivalente, influencia gravitacional), pero no interactúa electromagnéticamente y, por lo tanto, no se puede observar directamente. ^[139] No existe una descripción generalmente aceptada de este nuevo tipo de materia, dentro del marco de la física de partículas conocida ^[140] o de otro modo. ^[141]La evidencia observacional de los estudios de desplazamiento al rojo de supernovas distantes y las mediciones de la radiación cósmica de fondo también muestran que la evolución de nuestro universo está significativamente influenciada por una constante cosmológica que resulta en una aceleración de la expansión cósmica o, de manera equivalente, por una forma de energía con una ecuación inusual. de estado , conocida como energía oscura , cuya naturaleza sigue sin estar clara. ^[142]

En 1980 se planteó la hipótesis de una fase inflacionaria , ^[143] una fase adicional de expansión fuertemente acelerada en tiempos cósmicos de alrededor de ^10-33 segundos, para explicar varias observaciones desconcertantes que no fueron explicadas por los modelos cosmológicos clásicos, como la homogeneidad casi perfecta de la Radiación cósmica de fondo. ^[144] Las mediciones recientes de la radiación cósmica de fondo han dado como resultado la primera evidencia de este escenario. ^[145] Sin embargo, existe una asombrosa variedad de posibles escenarios inflacionarios, que no pueden ser restringidos por las observaciones actuales. ^[146]Una cuestión aún mayor es la física del universo más antiguo, antes de la fase inflacionaria y cerca de donde los modelos clásicos predicen la singularidad del Big Bang . Una respuesta autorizada requeriría una teoría completa de la gravedad cuántica, que aún no se ha desarrollado ^[147] (véase la sección sobre gravedad cuántica , más adelante).

Viaje en el tiempo

Kurt Gödel mostró ^[148] que existen soluciones a las ecuaciones de Einstein que contienen curvas cerradas de tipo temporal (CTC), que permiten bucles en el tiempo. Las soluciones requieren condiciones físicas extremas que es poco probable que ocurran en la práctica, y sigue siendo una pregunta abierta si nuevas leyes de la física las eliminarán por completo. Desde entonces, se han encontrado otras soluciones de GR que contienen CTC, igualmente poco prácticas, como el cilindro de Tipler y los agujeros de gusano atravesables .

Conceptos avanzados

Simetrías asintóticas

Artículo principal: Grupo Bondi – Metzner – Sachs

El grupo de simetría del espacio-tiempo para la Relatividad Especial es el grupo de Poincaré , que es un grupo de diez dimensiones de tres impulsos de Lorentz, tres rotaciones y cuatro traslaciones del espacio-tiempo. Es lógico preguntar qué simetrías, si es que alguna, podrían aplicarse en la Relatividad General. Un caso manejable podría ser considerar las simetrías del espacio-tiempo como lo ven los observadores ubicados lejos de todas las fuentes del campo gravitacional. La expectativa ingenua de simetrías espaciotemporales asintóticamente planas podría ser simplemente extender y reproducir las simetrías del espaciotiempo plano de la relatividad especial, a saber. , el grupo de Poincaré.

En 1962, Hermann Bondi , MG van der Burg, AW Metzner ^[149] y Rainer K. Sachs ^[150] abordaron este problema de simetría asintótica para investigar el flujo de energía en el infinito debido a la propagación de ondas gravitacionales . Su primer paso fue decidir sobre algunas condiciones de contorno físicamente sensibles para colocar en el campo gravitacional en el infinito similar a la luz para caracterizar lo que significa decir que una métrica es asintóticamente plana, sin hacer a priorisupuestos sobre la naturaleza del grupo de simetría asintótica, ni siquiera el supuesto de que tal grupo exista. Luego, después de diseñar lo que consideraron las condiciones de contorno más sensibles, investigaron la naturaleza de las transformaciones de simetría asintóticas resultantes que dejan invariante la forma de las condiciones de contorno apropiadas para campos gravitacionales asintóticamente planos. Lo que encontraron fue que las transformaciones de simetría asintótica en realidad forman un grupo y la estructura de este grupo no depende del campo gravitacional particular que esté presente. Esto significa que, como era de esperar, se puede separar la cinemática del espacio-tiempo de la dinámica del campo gravitacional al menos en el infinito espacial.La desconcertante sorpresa en 1962 fue su descubrimiento de un rico grupo de dimensión infinita (el llamado grupo BMS) como el grupo de simetría asintótica, en lugar del grupo de Poincaré de dimensión finita, que es un subgrupo del grupo BMS. Las transformaciones de Lorentz no solo son transformaciones de simetría asintótica, también hay transformaciones adicionales que no son transformaciones de Lorentz, sino transformaciones de simetría asintótica. De hecho, encontraron una infinidad adicional de generadores de transformación conocidos comoencontraron una infinidad adicional de generadores de transformación conocidos comoencontraron una infinidad adicional de generadores de transformación conocidos comosupertraducciones . Esto implica la conclusión de que la Relatividad General (GR) no se reduce a la relatividad especial en el caso de campos débiles a largas distancias. Resulta que la simetría BMS, adecuadamente modificada, podría verse como una reafirmación del teorema del gravitón blando universal en la teoría cuántica de campos (QFT), que relaciona QFT infrarrojo (blando) universal con simetrías espaciotemporales asintóticas GR. ^[151]

Estructura causal y geometría global

Artículo principal: estructura causal

Diagrama de Penrose-Carter de un universo infinito de Minkowski

En la relatividad general, ningún cuerpo material puede alcanzar o superar un pulso de luz. Sin la influencia de un evento A puede llegar a cualquier otra localización X antes de la luz enviado en una de X . En consecuencia, una exploración de todas las líneas del mundo de luz ( geodésicas nulas ) arroja información clave sobre la estructura causal del espacio-tiempo. Esta estructura se puede mostrar usando diagramas de Penrose-Carter en los que regiones infinitamente grandes del espacio e intervalos de tiempo infinitos se encogen (" compactan ") para que quepan en un mapa finito, mientras que la luz aún viaja a lo largo de las diagonales como en los diagramas espaciotemporales estándar . ^[152]

Roger Penrose y otros, conscientes de la importancia de la estructura causal, desarrollaron lo que se conoce como geometría global . En geometría global, el objeto de estudio no es una solución particular (o familia de soluciones) a las ecuaciones de Einstein. Más bien, las relaciones que son válidas para todas las geodésicas, como la ecuación de Raychaudhuri , y suposiciones adicionales no específicas sobre la naturaleza de la materia (generalmente en forma de condiciones energéticas ) se utilizan para derivar resultados generales. ^[153]

Horizontes

Artículos principales: Horizonte (relatividad general) , Teorema sin pelo y Mecánica del agujero negro.

Usando geometría global, se puede mostrar que algunos espaciotiempo contienen límites llamados horizontes , que demarcan una región del resto del espaciotiempo. Los ejemplos más conocidos son los agujeros negros: si la masa se comprime en una región del espacio suficientemente compacta (como se especifica en la conjetura del aro , la escala de longitud relevante es el radio de Schwarzschild ^[154] ), ninguna luz del interior puede escapar al exterior . Dado que ningún objeto puede superar un pulso de luz, toda la materia interior también está aprisionada. El paso del exterior al interior todavía es posible, lo que demuestra que el límite, el horizonte del agujero negro , no es una barrera física. ^[155]

La ergosfera de un agujero negro en rotación, que juega un papel clave a la hora de extraer energía de un agujero negro de este tipo.

Los primeros estudios de los agujeros negros se basaron en soluciones explícitas de las ecuaciones de Einstein, en particular la solución de Schwarzschild esféricamente simétrica (utilizada para describir un agujero negro estático ) y la solución de Kerr axisimétrica (utilizada para describir un agujero negro estacionario y giratorio , y la introducción de características interesantes como la ergosfera). Utilizando geometría global, estudios posteriores han revelado propiedades más generales de los agujeros negros. Con el tiempo, se convierten en objetos bastante simples caracterizados por once parámetros que especifican: carga eléctrica, masa-energía, momento lineal , momento angular y ubicación en un momento específico. Esto lo establece el teorema de unicidad del agujero negro.: "los agujeros negros no tienen pelo", es decir, no tienen marcas distintivas como los peinados de los humanos. Independientemente de la complejidad de un objeto gravitacional que colapsa para formar un agujero negro, el objeto resultante (habiendo emitido ondas gravitacionales) es muy simple. ^[156]

Aún más notable, existe un conjunto general de leyes conocidas como mecánica de los agujeros negros , que es análoga a las leyes de la termodinámica . Por ejemplo, según la segunda ley de la mecánica de los agujeros negros, el área del horizonte de sucesos de un agujero negro general nunca disminuirá con el tiempo, de forma análoga a la entropía de un sistema termodinámico. Esto limita la energía que se puede extraer por medios clásicos de un agujero negro en rotación (por ejemplo, mediante el proceso de Penrose ). ^[157] Existe una fuerte evidencia de que las leyes de la mecánica de los agujeros negros son, de hecho, un subconjunto de las leyes de la termodinámica, y que el área del agujero negro es proporcional a su entropía. ^[158]Esto conduce a una modificación de las leyes originales de la mecánica de los agujeros negros: por ejemplo, a medida que la segunda ley de la mecánica de los agujeros negros se convierte en parte de la segunda ley de la termodinámica, es posible que el área del agujero negro disminuya, siempre que otros procesos lo aseguren. que, en general, aumenta la entropía. Como objetos termodinámicos con temperatura distinta de cero, los agujeros negros deberían emitir radiación térmica . Los cálculos semiclásicos indican que de hecho lo hacen, con la gravedad de la superficie jugando el papel de la temperatura en la ley de Planck . Esta radiación se conoce como radiación de Hawking (véase la sección de teoría cuántica , más adelante). ^[159]

Hay otros tipos de horizontes. En un universo en expansión, un observador puede encontrar que algunas regiones del pasado no pueden ser observadas (" horizonte de partículas ") y algunas regiones del futuro no pueden ser influenciadas (horizonte de eventos). ^[160] Incluso en el espacio plano de Minkowski, cuando lo describe un observador acelerado ( espacio de Rindler ), habrá horizontes asociados con una radiación semiclásica conocida como radiación de Unruh . ^[161]

Singularidades

Artículo principal: singularidad del espacio - tiempo

Otra característica general de la relatividad general es la aparición de límites espaciotemporales conocidos como singularidades. El espacio-tiempo se puede explorar siguiendo las geodésicas similares a la luz y al tiempo, todas las formas posibles en que la luz y las partículas en caída libre pueden viajar. Pero algunas soluciones de las ecuaciones de Einstein tienen "bordes irregulares", regiones conocidas como singularidades del espacio-tiempo , donde los caminos de la luz y las partículas que caen llegan a un final abrupto y la geometría se vuelve mal definida. En los casos más interesantes, se trata de "singularidades de curvatura", donde las cantidades geométricas que caracterizan la curvatura del espacio-tiempo, como el escalar de Ricci , adquieren valores infinitos. ^[162]Ejemplos bien conocidos de espacio-tiempo con singularidades futuras —donde terminan las líneas de mundo— son la solución de Schwarzschild, que describe una singularidad dentro de un agujero negro estático eterno, ^[163] o la solución de Kerr con su singularidad en forma de anillo dentro de un agujero negro giratorio eterno. ^[164] Las soluciones de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker y otros espaciotiempos que describen universos tienen singularidades pasadas en las que comienzan las líneas de mundo, a saber, singularidades del Big Bang, y algunas también tienen singularidades futuras ( Big Crunch ). ^[165]

Dado que todos estos ejemplos son muy simétricos y, por tanto, están simplificados, es tentador concluir que la aparición de singularidades es un artefacto de idealización. ^[166] Los famosos teoremas de la singularidad , probados usando los métodos de la geometría global, dicen lo contrario: las singularidades son una característica genérica de la relatividad general, e inevitables una vez que el colapso de un objeto con propiedades de materia realistas ha pasado de cierta etapa ^[167] y también al comienzo de una amplia clase de universos en expansión. ^[168] Sin embargo, los teoremas dicen poco acerca de las propiedades de las singularidades, y gran parte de la investigación actual se dedica a caracterizar la estructura genérica de estas entidades (hipotetizada, por ejemplo, por la conjetura de BKL). ^[169] La hipótesis de la censura cósmica establece que todas las singularidades futuras realistas (sin simetrías perfectas, materia con propiedades realistas) están ocultas de forma segura detrás de un horizonte y, por lo tanto, invisibles para todos los observadores distantes. Si bien aún no existe una prueba formal, las simulaciones numéricas ofrecen evidencia de apoyo de su validez. ^[170]

Ecuaciones de evolución

Artículo principal: Formulación de valor inicial (relatividad general)

Cada solución de la ecuación de Einstein abarca toda la historia de un universo; no es solo una instantánea de cómo son las cosas, sino un espacio-tiempo completo, posiblemente lleno de materia. Describe el estado de la materia y la geometría en todas partes y en cada momento de ese universo en particular. Debido a su covarianza general, la teoría de Einstein no es suficiente por sí misma para determinar la evolución temporal del tensor métrico. Debe combinarse con una condición de coordenadas , que es análoga a la fijación de calibre en otras teorías de campo. ^[171]

Para entender las ecuaciones de Einstein como ecuaciones diferenciales parciales, es útil formularlas de una manera que describa la evolución del universo a lo largo del tiempo. Esto se hace en formulaciones "3 + 1", donde el espacio-tiempo se divide en tres dimensiones espaciales y una dimensión temporal. El ejemplo más conocido es el formalismo ADM . ^[172] Estas descomposiciones muestran que las ecuaciones de evolución del espacio-tiempo de la relatividad general se comportan bien: las soluciones siempre existen , y se definen de forma única, una vez que se han especificado las condiciones iniciales adecuadas. ^[173] Tales formulaciones de las ecuaciones de campo de Einstein son la base de la relatividad numérica. ^[174]

Cantidades globales y cuasi-locales

Artículo principal: Masa en relatividad general.

La noción de ecuaciones evolutivas está íntimamente ligada a otro aspecto de la física relativista general. En la teoría de Einstein, resulta imposible encontrar una definición general para una propiedad aparentemente simple, como la masa (o energía) total de un sistema. La razón principal es que al campo gravitacional, como a cualquier campo físico, se le debe atribuir una determinada energía, pero resulta fundamentalmente imposible localizar esa energía. ^[175]

No obstante, existen posibilidades de definir la masa total de un sistema, ya sea utilizando un hipotético "observador infinitamente distante" ( masa ADM ) ^[176] o simetrías adecuadas ( masa de Komar ). ^[177] Si se excluye de la masa total del sistema la energía que las ondas gravitacionales llevan al infinito, el resultado es la masa de Bondi en el infinito nulo. ^[178] Al igual que en la física clásica , se puede demostrar que estas masas son positivas. ^[179] Existen definiciones globales correspondientes para el momento y el momento angular. ^[180] También ha habido varios intentos de definir cuasi-localescantidades, como la masa de un sistema aislado formulado utilizando únicamente cantidades definidas dentro de una región finita del espacio que contiene ese sistema. La esperanza es obtener una cantidad útil para enunciados generales sobre sistemas aislados , como una formulación más precisa de la conjetura del aro. ^[181]

Relación con la teoría cuántica

Si se considerara que la relatividad general es uno de los dos pilares de la física moderna, entonces la teoría cuántica, la base para comprender la materia desde las partículas elementales hasta la física del estado sólido , sería el otro. ^[182] Sin embargo, cómo conciliar la teoría cuántica con la relatividad general sigue siendo una cuestión abierta.

Teoría cuántica de campos en el espacio-tiempo curvo

Artículo principal: Teoría cuántica de campos en el espacio-tiempo curvo.

Las teorías de campos cuánticos ordinarios , que forman la base de la física de partículas elementales moderna, se definen en el espacio plano de Minkowski, que es una excelente aproximación cuando se trata de describir el comportamiento de partículas microscópicas en campos gravitacionales débiles como los que se encuentran en la Tierra. ^[183] Con el fin de describir situaciones en las que la gravedad es lo suficientemente fuerte como para influir en la materia (cuántica), pero no lo suficientemente fuerte como para requerir la cuantificación en sí, los físicos han formulado teorías de campos cuánticos en el espacio-tiempo curvo. Estas teorías se basan en la relatividad general para describir un espacio-tiempo de fondo curvo y definen una teoría de campo cuántica generalizada para describir el comportamiento de la materia cuántica dentro de ese espacio-tiempo. ^[184]Usando este formalismo, se puede demostrar que los agujeros negros emiten un espectro de partículas de cuerpo negro conocido como radiación de Hawking, lo que lleva a la posibilidad de que se evaporen con el tiempo. ^[185] Como se mencionó brevemente anteriormente , esta radiación juega un papel importante para la termodinámica de los agujeros negros. ^[186]

Gravedad cuántica

Artículo principal: gravedad cuántica

Ver también: Teoría de cuerdas , Relatividad general canónica , Gravedad cuántica de bucle , Triangulaciones dinámicas causales y Conjuntos causales

La demanda de coherencia entre una descripción cuántica de la materia y una descripción geométrica del espacio-tiempo, ^[187] así como la aparición de singularidades (donde las escalas de longitud de curvatura se vuelven microscópicas), indican la necesidad de una teoría completa de la gravedad cuántica: para una adecuada descripción del interior de los agujeros negros, y del universo muy temprano, se requiere una teoría en la que la gravedad y la geometría asociada del espacio-tiempo se describan en el lenguaje de la física cuántica. ^[188] A pesar de los grandes esfuerzos, actualmente no se conoce una teoría completa y consistente de la gravedad cuántica, a pesar de que existen varios candidatos prometedores. ^{[189] [190]}

Proyección de una variedad Calabi-Yau , una de las formas de compactar las dimensiones extra planteadas por la teoría de cuerdas

Los intentos de generalizar las teorías de campos cuánticos ordinarios, utilizadas en la física de partículas elementales para describir interacciones fundamentales, con el fin de incluir la gravedad, han dado lugar a serios problemas. ^[191] Algunos han argumentado que a bajas energías, este enfoque resulta exitoso, ya que da como resultado una teoría de campo (cuántica) efectiva aceptable de la gravedad. ^[192] Sin embargo, a energías muy altas, los resultados perturbativos son muy divergentes y conducen a modelos desprovistos de poder predictivo (" no renormalizabilidad perturbativa "). ^[193]

Simple spin network of the type used in loop quantum gravity

One attempt to overcome these limitations is string theory, a quantum theory not of point particles, but of minute one-dimensional extended objects.^[194] The theory promises to be a unified description of all particles and interactions, including gravity;^[195] the price to pay is unusual features such as six extra dimensions of space in addition to the usual three.^[196] In what is called the second superstring revolution, it was conjectured that both string theory and a unification of general relativity and supersymmetry known as supergravity^[197] form part of a hypothesized eleven-dimensional model known as M-theory, which would constitute a uniquely defined and consistent theory of quantum gravity.^[198]

Another approach starts with the canonical quantization procedures of quantum theory. Using the initial-value-formulation of general relativity (cf. evolution equations above), the result is the Wheeler–deWitt equation (an analogue of the Schrödinger equation) which, regrettably, turns out to be ill-defined without a proper ultraviolet (lattice) cutoff.^[199] However, with the introduction of what are now known as Ashtekar variables,^[200] this leads to a promising model known as loop quantum gravity. Space is represented by a web-like structure called a spin network, evolving over time in discrete steps.^[201]

Depending on which features of general relativity and quantum theory are accepted unchanged, and on what level changes are introduced,^[202] there are numerous other attempts to arrive at a viable theory of quantum gravity, some examples being the lattice theory of gravity based on the Feynman Path Integral approach and Regge Calculus,^[189] dynamical triangulations,^[203] causal sets,^[204] twistor models^[205] or the path integral based models of quantum cosmology.^[206]

All candidate theories still have major formal and conceptual problems to overcome. They also face the common problem that, as yet, there is no way to put quantum gravity predictions to experimental tests (and thus to decide between the candidates where their predictions vary), although there is hope for this to change as future data from cosmological observations and particle physics experiments becomes available.^[207]

Current status

Observation of gravitational waves from binary black hole merger GW150914

General relativity has emerged as a highly successful model of gravitation and cosmology, which has so far passed many unambiguous observational and experimental tests. However, there are strong indications the theory is incomplete.^[208] The problem of quantum gravity and the question of the reality of spacetime singularities remain open.^[209] Observational data that is taken as evidence for dark energy and dark matter could indicate the need for new physics.^[210] Even taken as is, general relativity is rich with possibilities for further exploration. Mathematical relativists seek to understand the nature of singularities and the fundamental properties of Einstein's equations,^[211] while numerical relativists run increasingly powerful computer simulations (such as those describing merging black holes).^[212] In February 2016, it was announced that the existence of gravitational waves was directly detected by the Advanced LIGO team on September 14, 2015.^{[81][213][214]} A century after its introduction, general relativity remains a highly active area of research.^[215]

See also

• Alcubierre drive (warp drive)
• Alternatives to general relativity
• Center of mass (relativistic)
• Contributors to general relativity
• Derivations of the Lorentz transformations
• Ehrenfest paradox
• Einstein–Hilbert action
• Einstein's thought experiments
• General relativity priority dispute
• Introduction to the mathematics of general relativity
• Nordström's theory of gravitation
• Ricci calculus
• Tests of general relativity
• Timeline of gravitational physics and relativity
• Two-body problem in general relativity
• Weak Gravity Conjecture

References

1. "GW150914: LIGO Detects Gravitational Waves". Black-holes.org. Retrieved 18 April 2016.
2. Landau & Lifshitz 1975, p. 228 "...the general theory of relativity...was established by Einstein, and represents probably the most beautiful of all existing physical theories."
3. O'Connor, J.J.; Robertson, E.F. (May 1996). "General relativity]". History Topics: Mathematical Physics Index, Scotland: School of Mathematics and Statistics, University of St. Andrews, archived from the original on 4 February 2015, retrieved 4 February 2015
4. Pais 1982, ch. 9 to 15, Janssen 2005; an up-to-date collection of current research, including reprints of many of the original articles, is Renn 2007; an accessible overview can be found in Renn 2005, pp. 110ff. Einstein's original papers are found in Digital Einstein, volumes 4 and 6. An early key article is Einstein 1907, cf. Pais 1982, ch. 9. The publication featuring the field equations is Einstein 1915, cf. Pais 1982, ch. 11–15
5. Moshe Carmeli (2008).Relativity: Modern Large-Scale Structures of the Cosmos. pp.92, 93.World Scientific Publishing
6. Grossmann for the mathematical part and Einstein for the physical part (1913). Entwurf einer verallgemeinerten Relativitätstheorie und einer Theorie der Gravitation (Outline of a Generalized Theory of Relativity and of a Theory of Gravitation), Zeitschrift für Mathematik und Physik, 62, 225–261. English translate
7. Schwarzschild 1916a, Schwarzschild 1916b and Reissner 1916 (later complemented in Nordström 1918)
8. Einstein 1917, cf. Pais 1982, ch. 15e
9. Hubble's original article is Hubble 1929; an accessible overview is given in Singh 2004, ch. 2–4
10. As reported in Gamow 1970. Einstein's condemnation would prove to be premature, cf. the section Cosmology, below
11. Pais 1982, pp. 253–254
12. Kennefick 2005, Kennefick 2007
13. Pais 1982, ch. 16
14. Thorne 2003, p. 74
15. Israel 1987, ch. 7.8–7.10, Thorne 1994, ch. 3–9
16. Sections Orbital effects and the relativity of direction, Gravitational time dilation and frequency shift and Light deflection and gravitational time delay, and references therein
17. Section Cosmology and references therein; the historical development is in Overbye 1999
18. Wald 1984, p. 3
19. Rovelli 2015, pp. 1–6 "General relativity is not just an extraordinarily beautiful physical theory providing the best description of the gravitational interaction we have so far. It is more."
20. Chandrasekhar 1984, p. 6
21. Engler 2002
22. The following exposition re-traces that of Ehlers 1973, sec. 1
23. Al-Khalili, Jim (26 March 2021). "Gravity and Me: The force that shapes our lives". www.bbc.co.uk. Retrieved 9 April 2021.
24. Arnold 1989, ch. 1
25. Ehlers 1973, pp. 5f
26. Will 1993, sec. 2.4, Will 2006, sec. 2
27. Wheeler 1990, ch. 2
28. Ehlers 1973, sec. 1.2, Havas 1964, Künzle 1972. The simple thought experiment in question was first described in Heckmann & Schücking 1959
29. Ehlers 1973, pp. 10f
30. Good introductions are, in order of increasing presupposed knowledge of mathematics, Giulini 2005, Mermin 2005, and Rindler 1991; for accounts of precision experiments, cf. part IV of Ehlers & Lämmerzahl 2006
31. An in-depth comparison between the two symmetry groups can be found in Giulini 2006
32. Rindler 1991, sec. 22, Synge 1972, ch. 1 and 2
33. Ehlers 1973, sec. 2.3
34. Ehlers 1973, sec. 1.4, Schutz 1985, sec. 5.1
35. Ehlers 1973, pp. 17ff; a derivation can be found in Mermin 2005, ch. 12. For the experimental evidence, cf. the section Gravitational time dilation and frequency shift, below
36. Rindler 2001, sec. 1.13; for an elementary account, see Wheeler 1990, ch. 2; there are, however, some differences between the modern version and Einstein's original concept used in the historical derivation of general relativity, cf. Norton 1985
37. Ehlers 1973, sec. 1.4 for the experimental evidence, see once more section Gravitational time dilation and frequency shift. Choosing a different connection with non-zero torsion leads to a modified theory known as Einstein–Cartan theory
38. Ehlers 1973, p. 16, Kenyon 1990, sec. 7.2, Weinberg 1972, sec. 2.8
39. Ehlers 1973, pp. 19–22; for similar derivations, see sections 1 and 2 of ch. 7 in Weinberg 1972. The Einstein tensor is the only divergence-free tensor that is a function of the metric coefficients, their first and second derivatives at most, and allows the spacetime of special relativity as a solution in the absence of sources of gravity, cf. Lovelock 1972. The tensors on both side are of second rank, that is, they can each be thought of as 4×4 matrices, each of which contains ten independent terms; hence, the above represents ten coupled equations. The fact that, as a consequence of geometric relations known as Bianchi identities, the Einstein tensor satisfies a further four identities reduces these to six independent equations, e.g. Schutz 1985, sec. 8.3
40. Kenyon 1990, sec. 7.4
41. Weinberg, Steven (1972). Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity. John Wiley. ISBN 978-0-471-92567-5.
42. Cheng, Ta-Pei (2005). Relativity, Gravitation and Cosmology: a Basic Introduction. Oxford and New York: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-852957-6.
43. Brans & Dicke 1961, Weinberg 1972, sec. 3 in ch. 7, Goenner 2004, sec. 7.2, and Trautman 2006, respectively
44. Wald 1984, ch. 4, Weinberg 1972, ch. 7 or, in fact, any other textbook on general relativity
45. At least approximately, cf. Poisson 2004a
46. Wheeler 1990, p. xi
47. Wald 1984, sec. 4.4
48. Wald 1984, sec. 4.1
49. For the (conceptual and historical) difficulties in defining a general principle of relativity and separating it from the notion of general covariance, see Giulini 2007
50. section 5 in ch. 12 of Weinberg 1972
51. Introductory chapters of Stephani et al. 2003
52. A review showing Einstein's equation in the broader context of other PDEs with physical significance is Geroch 1996
53. For background information and a list of solutions, cf. Stephani et al. 2003; a more recent review can be found in MacCallum 2006
54. Chandrasekhar 1983, ch. 3,5,6
55. Narlikar 1993, ch. 4, sec. 3.3
56. Brief descriptions of these and further interesting solutions can be found in Hawking & Ellis 1973, ch. 5
57. Lehner 2002
58. For instance Wald 1984, sec. 4.4
59. Will 1993, sec. 4.1 and 4.2
60. Will 2006, sec. 3.2, Will 1993, ch. 4
61. Rindler 2001, pp. 24–26 vs. pp. 236–237 and Ohanian & Ruffini 1994, pp. 164–172. Einstein derived these effects using the equivalence principle as early as 1907, cf. Einstein 1907 and the description in Pais 1982, pp. 196–198
62. Rindler 2001, pp. 24–26; Misner, Thorne & Wheeler 1973, § 38.5
63. Pound–Rebka experiment, see Pound & Rebka 1959, Pound & Rebka 1960; Pound & Snider 1964; a list of further experiments is given in Ohanian & Ruffini 1994, table 4.1 on p. 186
64. Greenstein, Oke & Shipman 1971; the most recent and most accurate Sirius B measurements are published in Barstow, Bond et al. 2005.
65. Starting with the Hafele–Keating experiment, Hafele & Keating 1972a and Hafele & Keating 1972b, and culminating in the Gravity Probe A experiment; an overview of experiments can be found in Ohanian & Ruffini 1994, table 4.1 on p. 186
66. GPS is continually tested by comparing atomic clocks on the ground and aboard orbiting satellites; for an account of relativistic effects, see Ashby 2002 and Ashby 2003
67. Stairs 2003 and Kramer 2004
68. General overviews can be found in section 2.1. of Will 2006; Will 2003, pp. 32–36; Ohanian & Ruffini 1994, sec. 4.2
69. Ohanian & Ruffini 1994, pp. 164–172
70. Cf. Kennefick 2005 for the classic early measurements by Arthur Eddington's expeditions. For an overview of more recent measurements, see Ohanian & Ruffini 1994, ch. 4.3. For the most precise direct modern observations using quasars, cf. Shapiro et al. 2004
71. This is not an independent axiom; it can be derived from Einstein's equations and the Maxwell Lagrangian using a WKB approximation, cf. Ehlers 1973, sec. 5
72. Blanchet 2006, sec. 1.3
73. Rindler 2001, sec. 1.16; for the historical examples, Israel 1987, pp. 202–204; in fact, Einstein published one such derivation as Einstein 1907. Such calculations tacitly assume that the geometry of space is Euclidean, cf. Ehlers & Rindler 1997
74. From the standpoint of Einstein's theory, these derivations take into account the effect of gravity on time, but not its consequences for the warping of space, cf. Rindler 2001, sec. 11.11
75. For the Sun's gravitational field using radar signals reflected from planets such as Venus and Mercury, cf. Shapiro 1964, Weinberg 1972, ch. 8, sec. 7; for signals actively sent back by space probes (transponder measurements), cf. Bertotti, Iess & Tortora 2003; for an overview, see Ohanian & Ruffini 1994, table 4.4 on p. 200; for more recent measurements using signals received from a pulsar that is part of a binary system, the gravitational field causing the time delay being that of the other pulsar, cf. Stairs 2003, sec. 4.4
76. Will 1993, sec. 7.1 and 7.2
77. Einstein, A (22 June 1916). "Näherungsweise Integration der Feldgleichungen der Gravitation". Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften Berlin (part 1): 688–696. Bibcode:1916SPAW.......688E. Archived from the original on 21 March 2019. Retrieved 12 February 2016.
78. Einstein, A (31 January 1918). "Über Gravitationswellen". Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften Berlin (part 1): 154–167. Bibcode:1918SPAW.......154E. Archived from the original on 21 March 2019. Retrieved 12 February 2016.
79. Castelvecchi, Davide; Witze, Witze (11 February 2016). "Einstein's gravitational waves found at last". Nature News. doi:10.1038/nature.2016.19361. S2CID 182916902. Retrieved 11 February 2016.
80. B. P. Abbott; et al. (LIGO Scientific Collaboration and Virgo Collaboration) (2016). "Observation of Gravitational Waves from a Binary Black Hole Merger". Physical Review Letters. 116 (6): 061102. arXiv:1602.03837. Bibcode:2016PhRvL.116f1102A. doi:10.1103/PhysRevLett.116.061102. PMID 26918975. S2CID 124959784.
81. "Gravitational waves detected 100 years after Einstein's prediction". NSF - National Science Foundation. 11 February 2016.
82. Most advanced textbooks on general relativity contain a description of these properties, e.g. Schutz 1985, ch. 9
83. For example Jaranowski & Królak 2005
84. Rindler 2001, ch. 13
85. Gowdy 1971, Gowdy 1974
86. See Lehner 2002 for a brief introduction to the methods of numerical relativity, and Seidel 1998 for the connection with gravitational wave astronomy
87. Schutz 2003, pp. 48–49, Pais 1982, pp. 253–254
88. Rindler 2001, sec. 11.9
89. Will 1993, pp. 177–181
90. In consequence, in the parameterized post-Newtonian formalism (PPN), measurements of this effect determine a linear combination of the terms β and γ, cf. Will 2006, sec. 3.5 and Will 1993, sec. 7.3
91. The most precise measurements are VLBI measurements of planetary positions; see Will 1993, ch. 5, Will 2006, sec. 3.5, Anderson et al. 1992; for an overview, Ohanian & Ruffini 1994, pp. 406–407
92. Kramer et al. 2006
93. Dediu, Magdalena & Martín-Vide 2015, p. 141.
94. A figure that includes error bars is fig. 7 in Will 2006, sec. 5.1
95. Stairs 2003, Schutz 2003, pp. 317–321, Bartusiak 2000, pp. 70–86
96. Weisberg & Taylor 2003; for the pulsar discovery, see Hulse & Taylor 1975; for the initial evidence for gravitational radiation, see Taylor 1994
97. Kramer 2004
98. Penrose 2004, §14.5, Misner, Thorne & Wheeler 1973, §11.4
99. Weinberg 1972, sec. 9.6, Ohanian & Ruffini 1994, sec. 7.8
100. Bertotti, Ciufolini & Bender 1987, Nordtvedt 2003
101. Kahn 2007
102. A mission description can be found in Everitt et al. 2001; a first post-flight evaluation is given in Everitt, Parkinson & Kahn 2007; further updates will be available on the mission website Kahn 1996–2012.
103. Townsend 1997, sec. 4.2.1, Ohanian & Ruffini 1994, pp. 469–471
104. Ohanian & Ruffini 1994, sec. 4.7, Weinberg 1972, sec. 9.7; for a more recent review, see Schäfer 2004
105. Ciufolini & Pavlis 2004, Ciufolini, Pavlis & Peron 2006, Iorio 2009
106. Iorio 2006, Iorio 2010
107. Einstein, Relativity, and Absolute Simultaneity. London: Routledge. 2007. ISBN 978-1134003891.
108. For overviews of gravitational lensing and its applications, see Ehlers, Falco & Schneider 1992 and Wambsganss 1998
109. For a simple derivation, see Schutz 2003, ch. 23; cf. Narayan & Bartelmann 1997, sec. 3
110. Walsh, Carswell & Weymann 1979
111. Images of all the known lenses can be found on the pages of the CASTLES project, Kochanek et al. 2007
112. Roulet & Mollerach 1997
113. Narayan & Bartelmann 1997, sec. 3.7
114. Barish 2005, Bartusiak 2000, Blair & McNamara 1997
115. Hough & Rowan 2000
116. Hobbs, George; Archibald, A.; Arzoumanian, Z.; Backer, D.; Bailes, M.; Bhat, N. D. R.; Burgay, M.; Burke-Spolaor, S.; et al. (2010), "The international pulsar timing array project: using pulsars as a gravitational wave detector", Classical and Quantum Gravity, 27 (8): 084013, arXiv:0911.5206, Bibcode:2010CQGra..27h4013H, doi:10.1088/0264-9381/27/8/084013, S2CID 56073764
117. Danzmann & Rüdiger 2003
118. "LISA pathfinder overview". ESA. Retrieved 23 April 2012.
119. Thorne 1995
120. Cutler & Thorne 2002
121. Miller 2002, lectures 19 and 21
122. Celotti, Miller & Sciama 1999, sec. 3
123. Springel et al. 2005 and the accompanying summary Gnedin 2005
124. Blandford 1987, sec. 8.2.4
125. For the basic mechanism, see Carroll & Ostlie 1996, sec. 17.2; for more about the different types of astronomical objects associated with this, cf. Robson 1996
126. For a review, see Begelman, Blandford & Rees 1984. To a distant observer, some of these jets even appear to move faster than light; this, however, can be explained as an optical illusion that does not violate the tenets of relativity, see Rees 1966
127. For stellar end states, cf. Oppenheimer & Snyder 1939 or, for more recent numerical work, Font 2003, sec. 4.1; for supernovae, there are still major problems to be solved, cf. Buras et al. 2003; for simulating accretion and the formation of jets, cf. Font 2003, sec. 4.2. Also, relativistic lensing effects are thought to play a role for the signals received from X-ray pulsars, cf. Kraus 1998
128. The evidence includes limits on compactness from the observation of accretion-driven phenomena ("Eddington luminosity"), see Celotti, Miller & Sciama 1999, observations of stellar dynamics in the center of our own Milky Way galaxy, cf. Schödel et al. 2003, and indications that at least some of the compact objects in question appear to have no solid surface, which can be deduced from the examination of X-ray bursts for which the central compact object is either a neutron star or a black hole; cf. Remillard et al. 2006 for an overview, Narayan 2006, sec. 5. Observations of the "shadow" of the Milky Way galaxy's central black hole horizon are eagerly sought for, cf. Falcke, Melia & Agol 2000
129. Dalal et al. 2006
130. Barack & Cutler 2004
131. Einstein 1917; cf. Pais 1982, pp. 285–288
132. Carroll 2001, ch. 2
133. Bergström & Goobar 2003, ch. 9–11; use of these models is justified by the fact that, at large scales of around hundred million light-years and more, our own universe indeed appears to be isotropic and homogeneous, cf. Peebles et al. 1991
134. E.g. with WMAP data, see Spergel et al. 2003
135. These tests involve the separate observations detailed further on, see, e.g., fig. 2 in Bridle et al. 2003
136. Peebles 1966; for a recent account of predictions, see Coc, Vangioni‐Flam et al. 2004; an accessible account can be found in Weiss 2006; compare with the observations in Olive & Skillman 2004, Bania, Rood & Balser 2002, O'Meara et al. 2001, and Charbonnel & Primas 2005
137. Lahav & Suto 2004, Bertschinger 1998, Springel et al. 2005
138. Alpher & Herman 1948, for a pedagogical introduction, see Bergström & Goobar 2003, ch. 11; for the initial detection, see Penzias & Wilson 1965 and, for precision measurements by satellite observatories, Mather et al. 1994 (COBE) and Bennett et al. 2003 (WMAP). Future measurements could also reveal evidence about gravitational waves in the early universe; this additional information is contained in the background radiation's polarization, cf. Kamionkowski, Kosowsky & Stebbins 1997 and Seljak & Zaldarriaga 1997
139. Evidence for this comes from the determination of cosmological parameters and additional observations involving the dynamics of galaxies and galaxy clusters cf. Peebles 1993, ch. 18, evidence from gravitational lensing, cf. Peacock 1999, sec. 4.6, and simulations of large-scale structure formation, see Springel et al. 2005
140. Peacock 1999, ch. 12, Peskin 2007; in particular, observations indicate that all but a negligible portion of that matter is not in the form of the usual elementary particles ("non-baryonic matter"), cf. Peacock 1999, ch. 12
141. Namely, some physicists have questioned whether or not the evidence for dark matter is, in fact, evidence for deviations from the Einsteinian (and the Newtonian) description of gravity cf. the overview in Mannheim 2006, sec. 9
142. Carroll 2001; an accessible overview is given in Caldwell 2004. Here, too, scientists have argued that the evidence indicates not a new form of energy, but the need for modifications in our cosmological models, cf. Mannheim 2006, sec. 10; aforementioned modifications need not be modifications of general relativity, they could, for example, be modifications in the way we treat the inhomogeneities in the universe, cf. Buchert 2008
143. A good introduction is Linde 2005; for a more recent review, see Linde 2006
144. More precisely, these are the flatness problem, the horizon problem, and the monopole problem; a pedagogical introduction can be found in Narlikar 1993, sec. 6.4, see also Börner 1993, sec. 9.1
145. Spergel et al. 2007, sec. 5,6
146. More concretely, the potential function that is crucial to determining the dynamics of the inflaton is simply postulated, but not derived from an underlying physical theory
147. Brandenberger 2008, sec. 2
148. Gödel 1949
149. Bondi, H.; Van der Burg, M.G.J.; Metzner, A. (1962). "Gravitational waves in general relativity: VII. Waves from axisymmetric isolated systems". Proceedings of the Royal Society of London A. A269 (1336): 21–52. Bibcode:1962RSPSA.269...21B. doi:10.1098/rspa.1962.0161. S2CID 120125096.
150. Sachs, R. (1962). "Asymptotic symmetries in gravitational theory". Physical Review. 128 (6): 2851–2864. Bibcode:1962PhRv..128.2851S. doi:10.1103/PhysRev.128.2851.
151. Strominger, Andrew (2017). "Lectures on the Infrared Structure of Gravity and Gauge Theory". arXiv:1703.05448 [hep-th]. ...redacted transcript of a course given by the author at Harvard in spring semester 2016. It contains a pedagogical overview of recent developments connecting the subjects of soft theorems, the memory effect and asymptotic symmetries in four-dimensional QED, nonabelian gauge theory and gravity with applications to black holes. To be published Princeton University Press, 158 pages.
152. Frauendiener 2004, Wald 1984, sec. 11.1, Hawking & Ellis 1973, sec. 6.8, 6.9
153. Wald 1984, sec. 9.2–9.4 and Hawking & Ellis 1973, ch. 6
154. Thorne 1972; for more recent numerical studies, see Berger 2002, sec. 2.1
155. Israel 1987. A more exact mathematical description distinguishes several kinds of horizon, notably event horizons and apparent horizons cf. Hawking & Ellis 1973, pp. 312–320 or Wald 1984, sec. 12.2; there are also more intuitive definitions for isolated systems that do not require knowledge of spacetime properties at infinity, cf. Ashtekar & Krishnan 2004
156. For first steps, cf. Israel 1971; see Hawking & Ellis 1973, sec. 9.3 or Heusler 1996, ch. 9 and 10 for a derivation, and Heusler 1998 as well as Beig & Chruściel 2006 as overviews of more recent results
157. The laws of black hole mechanics were first described in Bardeen, Carter & Hawking 1973; a more pedagogical presentation can be found in Carter 1979; for a more recent review, see Wald 2001, ch. 2. A thorough, book-length introduction including an introduction to the necessary mathematics Poisson 2004. For the Penrose process, see Penrose 1969
158. Bekenstein 1973, Bekenstein 1974
159. The fact that black holes radiate, quantum mechanically, was first derived in Hawking 1975; a more thorough derivation can be found in Wald 1975. A review is given in Wald 2001, ch. 3
160. Narlikar 1993, sec. 4.4.4, 4.4.5
161. Horizons: cf. Rindler 2001, sec. 12.4. Unruh effect: Unruh 1976, cf. Wald 2001, ch. 3
162. Hawking & Ellis 1973, sec. 8.1, Wald 1984, sec. 9.1
163. Townsend 1997, ch. 2; a more extensive treatment of this solution can be found in Chandrasekhar 1983, ch. 3
164. Townsend 1997, ch. 4; for a more extensive treatment, cf. Chandrasekhar 1983, ch. 6
165. Ellis & Van Elst 1999; a closer look at the singularity itself is taken in Börner 1993, sec. 1.2
166. Here one should remind to the well-known fact that the important "quasi-optical" singularities of the so-called eikonal approximations of many wave-equations, namely the "caustics", are resolved into finite peaks beyond that approximation.
167. Namely when there are trapped null surfaces, cf. Penrose 1965
168. Hawking 1966
169. The conjecture was made in Belinskii, Khalatnikov & Lifschitz 1971; for a more recent review, see Berger 2002. An accessible exposition is given by Garfinkle 2007
170. The restriction to future singularities naturally excludes initial singularities such as the big bang singularity, which in principle be visible to observers at later cosmic time. The cosmic censorship conjecture was first presented in Penrose 1969; a textbook-level account is given in Wald 1984, pp. 302–305. For numerical results, see the review Berger 2002, sec. 2.1
171. Hawking & Ellis 1973, sec. 7.1
172. Arnowitt, Deser & Misner 1962; for a pedagogical introduction, see Misner, Thorne & Wheeler 1973, §21.4–§21.7
173. Fourès-Bruhat 1952 and Bruhat 1962; for a pedagogical introduction, see Wald 1984, ch. 10; an online review can be found in Reula 1998
174. Gourgoulhon 2007; for a review of the basics of numerical relativity, including the problems arising from the peculiarities of Einstein's equations, see Lehner 2001
175. Misner, Thorne & Wheeler 1973, §20.4
176. Arnowitt, Deser & Misner 1962
177. Komar 1959; for a pedagogical introduction, see Wald 1984, sec. 11.2; although defined in a totally different way, it can be shown to be equivalent to the ADM mass for stationary spacetimes, cf. Ashtekar & Magnon-Ashtekar 1979
178. For a pedagogical introduction, see Wald 1984, sec. 11.2
179. Wald 1984, p. 295 and refs therein; this is important for questions of stability—if there were negative mass states, then flat, empty Minkowski space, which has mass zero, could evolve into these states
180. Townsend 1997, ch. 5
181. Such quasi-local mass–energy definitions are the Hawking energy, Geroch energy, or Penrose's quasi-local energy–momentum based on twistor methods; cf. the review article Szabados 2004
182. An overview of quantum theory can be found in standard textbooks such as Messiah 1999; a more elementary account is given in Hey & Walters 2003
183. Ramond 1990, Weinberg 1995, Peskin & Schroeder 1995; a more accessible overview is Auyang 1995
184. Wald 1994, Birrell & Davies 1984
185. For Hawking radiation Hawking 1975, Wald 1975; an accessible introduction to black hole evaporation can be found in Traschen 2000
186. Wald 2001, ch. 3
187. Put simply, matter is the source of spacetime curvature, and once matter has quantum properties, we can expect spacetime to have them as well. Cf. Carlip 2001, sec. 2
188. Schutz 2003, p. 407
189. Hamber 2009
190. A timeline and overview can be found in Rovelli 2000
191. 't Hooft & Veltman 1974
192. Donoghue 1995
193. In particular, a perturbative technique known as renormalization, an integral part of deriving predictions which take into account higher-energy contributions, cf. Weinberg 1996, ch. 17, 18, fails in this case; cf. Veltman 1975, Goroff & Sagnotti 1985; for a recent comprehensive review of the failure of perturbative renormalizability for quantum gravity see Hamber 2009
194. An accessible introduction at the undergraduate level can be found in Zwiebach 2004; more complete overviews can be found in Polchinski 1998a and Polchinski 1998b
195. At the energies reached in current experiments, these strings are indistinguishable from point-like particles, but, crucially, different modes of oscillation of one and the same type of fundamental string appear as particles with different (electric and other) charges, e.g. Ibanez 2000. The theory is successful in that one mode will always correspond to a graviton, the messenger particle of gravity, e.g. Green, Schwarz & Witten 1987, sec. 2.3, 5.3
196. Green, Schwarz & Witten 1987, sec. 4.2
197. Weinberg 2000, ch. 31
198. Townsend 1996, Duff 1996
199. Kuchař 1973, sec. 3
200. These variables represent geometric gravity using mathematical analogues of electric and magnetic fields; cf. Ashtekar 1986, Ashtekar 1987
201. For a review, see Thiemann 2007; more extensive accounts can be found in Rovelli 1998, Ashtekar & Lewandowski 2004 as well as in the lecture notes Thiemann 2003
202. Isham 1994, Sorkin 1997
203. Loll 1998
204. Sorkin 2005
205. Penrose 2004, ch. 33 and refs therein
206. Hawking 1987
207. Ashtekar 2007, Schwarz 2007
208. Maddox 1998, pp. 52–59, 98–122; Penrose 2004, sec. 34.1, ch. 30
209. section Quantum gravity, above
210. section Cosmology, above
211. Friedrich 2005
212. A review of the various problems and the techniques being developed to overcome them, see Lehner 2002
213. See Bartusiak 2000 for an account up to that year; up-to-date news can be found on the websites of major detector collaborations such as GEO600 and LIGO
214. For the most recent papers on gravitational wave polarizations of inspiralling compact binaries, see Blanchet et al. 2008, and Arun et al. 2008; for a review of work on compact binaries, see Blanchet 2006 and Futamase & Itoh 2006; for a general review of experimental tests of general relativity, see Will 2006
215. See, e.g., the Living Reviews in Relativity journal.

Bibliography

• Alpher, R. A.; Herman, R. C. (1948), "Evolution of the universe", Nature, 162 (4124): 774–775, Bibcode:1948Natur.162..774A, doi:10.1038/162774b0, S2CID 4113488
• Anderson, J. D.; Campbell, J. K.; Jurgens, R. F.; Lau, E. L. (1992), "Recent developments in solar-system tests of general relativity", in Sato, H.; Nakamura, T. (eds.), Proceedings of the Sixth Marcel Großmann Meeting on General Relativity, World Scientific, pp. 353–355, ISBN 978-981-02-0950-6
• Arnold, V. I. (1989), Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer, ISBN 978-3-540-96890-0
• Arnowitt, Richard; Deser, Stanley; Misner, Charles W. (1962), "The dynamics of general relativity", in Witten, Louis (ed.), Gravitation: An Introduction to Current Research, Wiley, pp. 227–265
• Arun, K.G.; Blanchet, L.; Iyer, B. R.; Qusailah, M. S. S. (2008), "Inspiralling compact binaries in quasi-elliptical orbits: The complete 3PN energy flux", Physical Review D, 77 (6): 064035, arXiv:0711.0302, Bibcode:2008PhRvD..77f4035A, doi:10.1103/PhysRevD.77.064035, S2CID 55825202
• Ashby, Neil (2002), "Relativity and the Global Positioning System" (PDF), Physics Today, 55 (5): 41–47, Bibcode:2002PhT....55e..41A, doi:10.1063/1.1485583
• Ashby, Neil (2003), "Relativity in the Global Positioning System", Living Reviews in Relativity, 6 (1): 1, Bibcode:2003LRR.....6....1A, doi:10.12942/lrr-2003-1, PMC 5253894, PMID 28163638, archived from the original on 4 July 2007, retrieved 6 July 2007
• Ashtekar, Abhay (1986), "New variables for classical and quantum gravity", Phys. Rev. Lett., 57 (18): 2244–2247, Bibcode:1986PhRvL..57.2244A, doi:10.1103/PhysRevLett.57.2244, PMID 10033673
• Ashtekar, Abhay (1987), "New Hamiltonian formulation of general relativity", Phys. Rev., D36 (6): 1587–1602, Bibcode:1987PhRvD..36.1587A, doi:10.1103/PhysRevD.36.1587, PMID 9958340
• Ashtekar, Abhay (2007), "Loop Quantum Gravity: Four Recent Advances and a Dozen Frequently Asked Questions", The Eleventh Marcel Grossmann Meeting - on Recent Developments in Theoretical and Experimental General Relativity, Gravitation and Relativistic Field Theories – Proceedings of the MG11 Meeting on General Relativity: 126, arXiv:0705.2222, Bibcode:2008mgm..conf..126A, doi:10.1142/9789812834300_0008, ISBN 978-981-283-426-3, S2CID 119663169
• Ashtekar, Abhay; Krishnan, Badri (2004), "Isolated and Dynamical Horizons and Their Applications", Living Reviews in Relativity, 7 (1): 10, arXiv:gr-qc/0407042, Bibcode:2004LRR.....7...10A, doi:10.12942/lrr-2004-10, PMC 5253930, PMID 28163644
• Ashtekar, Abhay; Lewandowski, Jerzy (2004), "Background Independent Quantum Gravity: A Status Report", Class. Quantum Grav., 21 (15): R53–R152, arXiv:gr-qc/0404018, Bibcode:2004CQGra..21R..53A, doi:10.1088/0264-9381/21/15/R01, S2CID 119175535
• Ashtekar, Abhay; Magnon-Ashtekar, Anne (1979), "On conserved quantities in general relativity", Journal of Mathematical Physics, 20 (5): 793–800, Bibcode:1979JMP....20..793A, doi:10.1063/1.524151
• Auyang, Sunny Y. (1995), How is Quantum Field Theory Possible?, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-509345-2
• Bania, T. M.; Rood, R. T.; Balser, D. S. (2002), "The cosmological density of baryons from observations of 3He+ in the Milky Way", Nature, 415 (6867): 54–57, Bibcode:2002Natur.415...54B, doi:10.1038/415054a, PMID 11780112, S2CID 4303625
• Barack, Leor; Cutler, Curt (2004), "LISA Capture Sources: Approximate Waveforms, Signal-to-Noise Ratios, and Parameter Estimation Accuracy", Phys. Rev., D69 (8): 082005, arXiv:gr-qc/0310125, Bibcode:2004PhRvD..69h2005B, doi:10.1103/PhysRevD.69.082005, S2CID 21565397
• Bardeen, J. M.; Carter, B.; Hawking, S. W. (1973), "The Four Laws of Black Hole Mechanics", Comm. Math. Phys., 31 (2): 161–170, Bibcode:1973CMaPh..31..161B, doi:10.1007/BF01645742, S2CID 54690354
• Barish, Barry (2005), "Towards detection of gravitational waves", in Florides, P.; Nolan, B.; Ottewil, A. (eds.), General Relativity and Gravitation. Proceedings of the 17th International Conference, World Scientific, pp. 24–34, Bibcode:2005grg..conf.....F, ISBN 978-981-256-424-5
• Barstow, M.; Bond, Howard E.; Holberg, J. B.; Burleigh, M. R.; Hubeny, I.; Koester, D. (2005), "Hubble Space Telescope Spectroscopy of the Balmer lines in Sirius B", Mon. Not. R. Astron. Soc., 362 (4): 1134–1142, arXiv:astro-ph/0506600, Bibcode:2005MNRAS.362.1134B, doi:10.1111/j.1365-2966.2005.09359.x, S2CID 4607496
• Bartusiak, Marcia (2000), Einstein's Unfinished Symphony: Listening to the Sounds of Space-Time, Berkley, ISBN 978-0-425-18620-6
• Begelman, Mitchell C.; Blandford, Roger D.; Rees, Martin J. (1984), "Theory of extragalactic radio sources", Rev. Mod. Phys., 56 (2): 255–351, Bibcode:1984RvMP...56..255B, doi:10.1103/RevModPhys.56.255
• Beig, Robert; Chruściel, Piotr T. (2006), "Stationary black holes", in Françoise, J.-P.; Naber, G.; Tsou, T.S. (eds.), Encyclopedia of Mathematical Physics, Volume 2, Elsevier, p. 2041, arXiv:gr-qc/0502041, Bibcode:2005gr.qc.....2041B, ISBN 978-0-12-512660-1
• Bekenstein, Jacob D. (1973), "Black Holes and Entropy", Phys. Rev., D7 (8): 2333–2346, Bibcode:1973PhRvD...7.2333B, doi:10.1103/PhysRevD.7.2333
• Bekenstein, Jacob D. (1974), "Generalized Second Law of Thermodynamics in Black-Hole Physics", Phys. Rev., D9 (12): 3292–3300, Bibcode:1974PhRvD...9.3292B, doi:10.1103/PhysRevD.9.3292
• Belinskii, V. A.; Khalatnikov, I. M.; Lifschitz, E. M. (1971), "Oscillatory approach to the singular point in relativistic cosmology", Advances in Physics, 19 (80): 525–573, Bibcode:1970AdPhy..19..525B, doi:10.1080/00018737000101171; original paper in Russian: Belinsky, V. A.; Lifshits, I. M.; Khalatnikov, E. M. (1970), "Колебательный Режим Приближения К Особой Точке В Релятивистской Космологии", Uspekhi Fizicheskikh Nauk, 102 (11): 463–500, Bibcode:1970UsFiN.102..463B, doi:10.3367/ufnr.0102.197011d.0463
• Bennett, C. L.; Halpern, M.; Hinshaw, G.; Jarosik, N.; Kogut, A.; Limon, M.; Meyer, S. S.; Page, L.; et al. (2003), "First Year Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) Observations: Preliminary Maps and Basic Results", Astrophys. J. Suppl. Ser., 148 (1): 1–27, arXiv:astro-ph/0302207, Bibcode:2003ApJS..148....1B, doi:10.1086/377253, S2CID 115601
• Berger, Beverly K. (2002), "Numerical Approaches to Spacetime Singularities", Living Reviews in Relativity, 5 (1): 1, arXiv:gr-qc/0201056, Bibcode:2002LRR.....5....1B, doi:10.12942/lrr-2002-1, PMC 5256073, PMID 28179859
• Bergström, Lars; Goobar, Ariel (2003), Cosmology and Particle Astrophysics (2nd ed.), Wiley & Sons, ISBN 978-3-540-43128-2
• Bertotti, Bruno; Ciufolini, Ignazio; Bender, Peter L. (1987), "New test of general relativity: Measurement of de Sitter geodetic precession rate for lunar perigee", Physical Review Letters, 58 (11): 1062–1065, Bibcode:1987PhRvL..58.1062B, doi:10.1103/PhysRevLett.58.1062, PMID 10034329
• Bertotti, Bruno; Iess, L.; Tortora, P. (2003), "A test of general relativity using radio links with the Cassini spacecraft", Nature, 425 (6956): 374–376, Bibcode:2003Natur.425..374B, doi:10.1038/nature01997, PMID 14508481, S2CID 4337125
• Bertschinger, Edmund (1998), "Simulations of structure formation in the universe", Annu. Rev. Astron. Astrophys., 36 (1): 599–654, Bibcode:1998ARA&A..36..599B, doi:10.1146/annurev.astro.36.1.599
• Birrell, N. D.; Davies, P. C. (1984), Quantum Fields in Curved Space, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-27858-4
• Blair, David; McNamara, Geoff (1997), Ripples on a Cosmic Sea. The Search for Gravitational Waves, Perseus, ISBN 978-0-7382-0137-5
• Blanchet, L.; Faye, G.; Iyer, B. R.; Sinha, S. (2008), "The third post-Newtonian gravitational wave polarisations and associated spherical harmonic modes for inspiralling compact binaries in quasi-circular orbits", Classical and Quantum Gravity, 25 (16): 165003, arXiv:0802.1249, Bibcode:2008CQGra..25p5003B, doi:10.1088/0264-9381/25/16/165003, S2CID 54608927
• Blanchet, Luc (2006), "Gravitational Radiation from Post-Newtonian Sources and Inspiralling Compact Binaries", Living Reviews in Relativity, 9 (1): 4, Bibcode:2006LRR.....9....4B, doi:10.12942/lrr-2006-4, PMC 5255899, PMID 28179874
• Blandford, R. D. (1987), "Astrophysical Black Holes", in Hawking, Stephen W.; Israel, Werner (eds.), 300 Years of Gravitation, Cambridge University Press, pp. 277–329, ISBN 978-0-521-37976-2
• Börner, Gerhard (1993), The Early Universe. Facts and Fiction, Springer, ISBN 978-0-387-56729-7
• Brandenberger, Robert H. (2008), "Conceptual Problems of Inflationary Cosmology and a New Approach to Cosmological Structure Formation", Inflationary Cosmology, Lecture Notes in Physics, 738: 393–424, arXiv:hep-th/0701111, Bibcode:2008LNP...738..393B, doi:10.1007/978-3-540-74353-8_11, ISBN 978-3-540-74352-1, S2CID 18752698
• Brans, C. H.; Dicke, R. H. (1961), "Mach's Principle and a Relativistic Theory of Gravitation", Physical Review, 124 (3): 925–935, Bibcode:1961PhRv..124..925B, doi:10.1103/PhysRev.124.925
• Bridle, Sarah L.; Lahav, Ofer; Ostriker, Jeremiah P.; Steinhardt, Paul J. (2003), "Precision Cosmology? Not Just Yet", Science, 299 (5612): 1532–1533, arXiv:astro-ph/0303180, Bibcode:2003Sci...299.1532B, doi:10.1126/science.1082158, PMID 12624255, S2CID 119368762
• Bruhat, Yvonne (1962), "The Cauchy Problem", in Witten, Louis (ed.), Gravitation: An Introduction to Current Research, Wiley, p. 130, ISBN 978-1-114-29166-9
• Buchert, Thomas (2008), "Dark Energy from Structure—A Status Report", General Relativity and Gravitation, 40 (2–3): 467–527, arXiv:0707.2153, Bibcode:2008GReGr..40..467B, doi:10.1007/s10714-007-0554-8, S2CID 17281664
• Buras, R.; Rampp, M.; Janka, H.-Th.; Kifonidis, K. (2003), "Improved Models of Stellar Core Collapse and Still no Explosions: What is Missing?", Phys. Rev. Lett., 90 (24): 241101, arXiv:astro-ph/0303171, Bibcode:2003PhRvL..90x1101B, doi:10.1103/PhysRevLett.90.241101, PMID 12857181, S2CID 27632148
• Caldwell, Robert R. (2004), "Dark Energy", Physics World, 17 (5): 37–42, doi:10.1088/2058-7058/17/5/36
• Carlip, Steven (2001), "Quantum Gravity: a Progress Report", Rep. Prog. Phys., 64 (8): 885–942, arXiv:gr-qc/0108040, Bibcode:2001RPPh...64..885C, doi:10.1088/0034-4885/64/8/301, S2CID 118923209
• Carroll, Bradley W.; Ostlie, Dale A. (1996), An Introduction to Modern Astrophysics, Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-54730-6
• Carroll, Sean M. (2001), "The Cosmological Constant", Living Reviews in Relativity, 4 (1): 1, arXiv:astro-ph/0004075, Bibcode:2001LRR.....4....1C, doi:10.12942/lrr-2001-1, PMC 5256042, PMID 28179856
• Carter, Brandon (1979), "The general theory of the mechanical, electromagnetic and thermodynamic properties of black holes", in Hawking, S. W.; Israel, W. (eds.), General Relativity, an Einstein Centenary Survey, Cambridge University Press, pp. 294–369 and 860–863, ISBN 978-0-521-29928-2
• Celotti, Annalisa; Miller, John C.; Sciama, Dennis W. (1999), "Astrophysical evidence for the existence of black holes", Class. Quantum Grav., 16 (12A): A3–A21, arXiv:astro-ph/9912186, Bibcode:1999CQGra..16A...3C, doi:10.1088/0264-9381/16/12A/301, S2CID 17677758
• Chandrasekhar, Subrahmanyan (1983), The Mathematical Theory of Black Holes, New York: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-850370-5
• Chandrasekhar, Subrahmanyan (1984), "The general theory of relativity - Why 'It is probably the most beautiful of all existing theories'", Journal of Astrophysics and Astronomy, 5: 3–11, Bibcode:1984JApA....5....3C, doi:10.1007/BF02714967, S2CID 120910934
• Charbonnel, C.; Primas, F. (2005), "The Lithium Content of the Galactic Halo Stars", Astronomy & Astrophysics, 442 (3): 961–992, arXiv:astro-ph/0505247, Bibcode:2005A&A...442..961C, doi:10.1051/0004-6361:20042491
• Ciufolini, Ignazio; Pavlis, Erricos C. (2004), "A confirmation of the general relativistic prediction of the Lense-Thirring effect", Nature, 431 (7011): 958–960, Bibcode:2004Natur.431..958C, doi:10.1038/nature03007, PMID 15496915, S2CID 4423434
• Ciufolini, Ignazio; Pavlis, Erricos C.; Peron, R. (2006), "Determination of frame-dragging using Earth gravity models from CHAMP and GRACE", New Astron., 11 (8): 527–550, Bibcode:2006NewA...11..527C, doi:10.1016/j.newast.2006.02.001
• Coc, A.; Vangioni‐Flam, Elisabeth; Descouvemont, Pierre; Adahchour, Abderrahim; Angulo, Carmen (2004), "Updated Big Bang Nucleosynthesis confronted to WMAP observations and to the Abundance of Light Elements", Astrophysical Journal, 600 (2): 544–552, arXiv:astro-ph/0309480, Bibcode:2004ApJ...600..544C, doi:10.1086/380121, S2CID 16276658
• Cutler, Curt; Thorne, Kip S. (2002), "An overview of gravitational wave sources", in Bishop, Nigel; Maharaj, Sunil D. (eds.), Proceedings of 16th International Conference on General Relativity and Gravitation (GR16), World Scientific, p. 4090, arXiv:gr-qc/0204090, Bibcode:2002gr.qc.....4090C, ISBN 978-981-238-171-2
• Dalal, Neal; Holz, Daniel E.; Hughes, Scott A.; Jain, Bhuvnesh (2006), "Short GRB and binary black hole standard sirens as a probe of dark energy", Phys. Rev. D, 74 (6): 063006, arXiv:astro-ph/0601275, Bibcode:2006PhRvD..74f3006D, doi:10.1103/PhysRevD.74.063006, S2CID 10008243
• Danzmann, Karsten; Rüdiger, Albrecht (2003), "LISA Technology—Concepts, Status, Prospects" (PDF), Class. Quantum Grav., 20 (10): S1–S9, Bibcode:2003CQGra..20S...1D, doi:10.1088/0264-9381/20/10/301, hdl:11858/00-001M-0000-0013-5233-E, archived from the original (PDF) on 26 September 2007
• Donoghue, John F. (1995), "Introduction to the Effective Field Theory Description of Gravity", in Cornet, Fernando (ed.), Effective Theories: Proceedings of the Advanced School, Almunecar, Spain, 26 June–1 July 1995, Singapore: World Scientific, p. 12024, arXiv:gr-qc/9512024, Bibcode:1995gr.qc....12024D, ISBN 978-981-02-2908-5
• Dediu, Adrian-Horia; Magdalena, Luis; Martín-Vide, Carlos, eds. (2015). Theory and Practice of Natural Computing: Fourth International Conference, TPNC 2015, Mieres, Spain, December 15–16, 2015. Proceedings. Springer. ISBN 978-3-319-26841-5.
• Duff, Michael (1996), "M-Theory (the Theory Formerly Known as Strings)", Int. J. Mod. Phys. A, 11 (32): 5623–5641, arXiv:hep-th/9608117, Bibcode:1996IJMPA..11.5623D, doi:10.1142/S0217751X96002583, S2CID 17432791
• Ehlers, Jürgen (1973), "Survey of general relativity theory", in Israel, Werner (ed.), Relativity, Astrophysics and Cosmology, D. Reidel, pp. 1–125, ISBN 978-90-277-0369-9
• Ehlers, Jürgen; Falco, Emilio E.; Schneider, Peter (1992), Gravitational lenses, Springer, ISBN 978-3-540-66506-9
• Ehlers, Jürgen; Lämmerzahl, Claus, eds. (2006), Special Relativity—Will it Survive the Next 101 Years?, Springer, ISBN 978-3-540-34522-0
• Ehlers, Jürgen; Rindler, Wolfgang (1997), "Local and Global Light Bending in Einstein's and other Gravitational Theories", General Relativity and Gravitation, 29 (4): 519–529, Bibcode:1997GReGr..29..519E, doi:10.1023/A:1018843001842, hdl:11858/00-001M-0000-0013-5AB5-4, S2CID 118162303
• Einstein, Albert (1907), "Über das Relativitätsprinzip und die aus demselben gezogene Folgerungen", Jahrbuch der Radioaktivität und Elektronik, 4: 411 See also English translation at Einstein Papers Project

• Einstein, Albert (1915), "Die Feldgleichungen der Gravitation", Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin: 844–847 See also English translation at Einstein Papers Project
• Einstein, Albert (1917), "Kosmologische Betrachtungen zur allgemeinen Relativitätstheorie", Sitzungsberichte der Preußischen Akademie der Wissenschaften: 142 See also English translation at Einstein Papers Project
• Ellis, George F R; Van Elst, Henk (1999), Lachièze-Rey, Marc (ed.), "Theoretical and Observational Cosmology: Cosmological models (Cargèse lectures 1998)", Theoretical and Observational Cosmology : Proceedings of the NATO Advanced Study Institute on Theoretical and Observational Cosmology, 541: 1–116, arXiv:gr-qc/9812046, Bibcode:1999ASIC..541....1E, doi:10.1007/978-94-011-4455-1_1, ISBN 978-0-7923-5946-3
• Engler, Gideon (2002), "Einstein and the most beautiful theories in physics", International Studies in the Philosophy of Science, 16 (1): 27–37, doi:10.1080/02698590120118800, S2CID 120160056
• Everitt, C. W. F.; Buchman, S.; DeBra, D. B.; Keiser, G. M. (2001), "Gravity Probe B: Countdown to launch", in Lämmerzahl, C.; Everitt, C. W. F.; Hehl, F. W. (eds.), Gyros, Clocks, and Interferometers: Testing Relativistic Gravity in Space (Lecture Notes in Physics 562), Springer, pp. 52–82, ISBN 978-3-540-41236-6
• Everitt, C. W. F.; Parkinson, Bradford; Kahn, Bob (2007), The Gravity Probe B experiment. Post Flight Analysis—Final Report (Preface and Executive Summary) (PDF), Project Report: NASA, Stanford University and Lockheed Martin, retrieved 5 August 2007
• Falcke, Heino; Melia, Fulvio; Agol, Eric (2000), "Viewing the Shadow of the Black Hole at the Galactic Center", Astrophysical Journal, 528 (1): L13–L16, arXiv:astro-ph/9912263, Bibcode:2000ApJ...528L..13F, doi:10.1086/312423, PMID 10587484, S2CID 119433133
• Font, José A. (2003), "Numerical Hydrodynamics in General Relativity", Living Reviews in Relativity, 6 (1): 4, Bibcode:2003LRR.....6....4F, doi:10.12942/lrr-2003-4, PMC 5660627, PMID 29104452
• Fourès-Bruhat, Yvonne (1952), "Théoréme d'existence pour certains systémes d'équations aux derivées partielles non linéaires", Acta Mathematica, 88 (1): 141–225, Bibcode:1952AcM....88..141F, doi:10.1007/BF02392131
• Frauendiener, Jörg (2004), "Conformal Infinity", Living Reviews in Relativity, 7 (1): 1, Bibcode:2004LRR.....7....1F, doi:10.12942/lrr-2004-1, PMC 5256109, PMID 28179863
• Friedrich, Helmut (2005), "Is general relativity 'essentially understood'?", Annalen der Physik, 15 (1–2): 84–108, arXiv:gr-qc/0508016, Bibcode:2006AnP...518...84F, doi:10.1002/andp.200510173, S2CID 37236624
• Futamase, T.; Itoh, Y. (2006), "The Post-Newtonian Approximation for Relativistic Compact Binaries", Living Reviews in Relativity, 10 (1): 2, Bibcode:2007LRR....10....2F, doi:10.12942/lrr-2007-2, PMC 5255906, PMID 28179819
• Gamow, George (1970), My World Line, Viking Press, ISBN 978-0-670-50376-6
• Garfinkle, David (2007), "Of singularities and breadmaking", Einstein Online, archived from the original on 10 August 2007, retrieved 3 August 2007
• Geroch, Robert (1996). "Partial Differential Equations of Physics". General Relativity: 19. arXiv:gr-qc/9602055. Bibcode:1996gere.conf...19G.
• Giulini, Domenico (2005), Special Relativity: A First Encounter, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-856746-2
• Giulini, Domenico (2006), "Algebraic and Geometric Structures in Special Relativity", in Ehlers, Jürgen; Lämmerzahl, Claus (eds.), Special Relativity—Will it Survive the Next 101 Years?, Lecture Notes in Physics, 702, pp. 45–111, arXiv:math-ph/0602018, Bibcode:2006math.ph...2018G, doi:10.1007/3-540-34523-X_4, ISBN 978-3-540-34522-0, S2CID 15948765
• Giulini, Domenico (2007), Stamatescu, I. O. (ed.), "An assessment of current paradigms in the physics of fundamental interactions: Some remarks on the notions of general covariance and background independence", Approaches to Fundamental Physics, Lecture Notes in Physics, 721: 105–120, arXiv:gr-qc/0603087, Bibcode:2007LNP...721..105G, doi:10.1007/978-3-540-71117-9_6, ISBN 978-3-540-71115-5, S2CID 14772226
• Gnedin, Nickolay Y. (2005), "Digitizing the Universe", Nature, 435 (7042): 572–573, Bibcode:2005Natur.435..572G, doi:10.1038/435572a, PMID 15931201, S2CID 3023436
• Goenner, Hubert F. M. (2004), "On the History of Unified Field Theories", Living Reviews in Relativity, 7 (1): 2, Bibcode:2004LRR.....7....2G, doi:10.12942/lrr-2004-2, PMC 5256024, PMID 28179864
• Goroff, Marc H.; Sagnotti, Augusto (1985), "Quantum gravity at two loops", Phys. Lett., 160B (1–3): 81–86, Bibcode:1985PhLB..160...81G, doi:10.1016/0370-2693(85)91470-4
• Gourgoulhon, Eric (2007). "3+1 Formalism and Bases of Numerical Relativity". arXiv:gr-qc/0703035.
• Gowdy, Robert H. (1971), "Gravitational Waves in Closed Universes", Phys. Rev. Lett., 27 (12): 826–829, Bibcode:1971PhRvL..27..826G, doi:10.1103/PhysRevLett.27.826
• Gowdy, Robert H. (1974), "Vacuum spacetimes with two-parameter spacelike isometry groups and compact invariant hypersurfaces: Topologies and boundary conditions", Annals of Physics, 83 (1): 203–241, Bibcode:1974AnPhy..83..203G, doi:10.1016/0003-4916(74)90384-4
• Green, M. B.; Schwarz, J. H.; Witten, E. (1987), Superstring theory. Volume 1: Introduction, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-35752-4
• Greenstein, J. L.; Oke, J. B.; Shipman, H. L. (1971), "Effective Temperature, Radius, and Gravitational Redshift of Sirius B", Astrophysical Journal, 169: 563, Bibcode:1971ApJ...169..563G, doi:10.1086/151174
• Hamber, Herbert W. (2009), Hamber, Herbert W (ed.), Quantum Gravitation - The Feynman Path Integral Approach, Springer Publishing, doi:10.1007/978-3-540-85293-3, hdl:11858/00-001M-0000-0013-471D-A, ISBN 978-3-540-85292-6
• Gödel, Kurt (1949). "An Example of a New Type of Cosmological Solution of Einstein's Field Equations of Gravitation". Rev. Mod. Phys. 21 (3): 447–450. Bibcode:1949RvMP...21..447G. doi:10.1103/RevModPhys.21.447.
• Hafele, J. C.; Keating, R. E. (14 July 1972). "Around-the-World Atomic Clocks: Predicted Relativistic Time Gains". Science. 177 (4044): 166–168. Bibcode:1972Sci...177..166H. doi:10.1126/science.177.4044.166. PMID 17779917. S2CID 10067969.
• Hafele, J. C.; Keating, R. E. (14 July 1972). "Around-the-World Atomic Clocks: Observed Relativistic Time Gains". Science. 177 (4044): 168–170. Bibcode:1972Sci...177..168H. doi:10.1126/science.177.4044.168. PMID 17779918. S2CID 37376002.
• Havas, P. (1964), "Four-Dimensional Formulation of Newtonian Mechanics and Their Relation to the Special and the General Theory of Relativity", Rev. Mod. Phys., 36 (4): 938–965, Bibcode:1964RvMP...36..938H, doi:10.1103/RevModPhys.36.938
• Hawking, Stephen W. (1966), "The occurrence of singularities in cosmology", Proceedings of the Royal Society, A294 (1439): 511–521, Bibcode:1966RSPSA.294..511H, doi:10.1098/rspa.1966.0221, JSTOR 2415489, S2CID 120730123
• Hawking, S. W. (1975), "Particle Creation by Black Holes", Communications in Mathematical Physics, 43 (3): 199–220, Bibcode:1975CMaPh..43..199H, doi:10.1007/BF02345020, S2CID 55539246
• Hawking, Stephen W. (1987), "Quantum cosmology", in Hawking, Stephen W.; Israel, Werner (eds.), 300 Years of Gravitation, Cambridge University Press, pp. 631–651, ISBN 978-0-521-37976-2
• Hawking, Stephen W.; Ellis, George F. R. (1973), The large scale structure of space-time, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-09906-6
• Heckmann, O. H. L.; Schücking, E. (1959), "Newtonsche und Einsteinsche Kosmologie", in Flügge, S. (ed.), Encyclopedia of Physics, 53, p. 489
• Heusler, Markus (1998), "Stationary Black Holes: Uniqueness and Beyond", Living Reviews in Relativity, 1 (1): 6, Bibcode:1998LRR.....1....6H, doi:10.12942/lrr-1998-6, PMC 5567259, PMID 28937184
• Heusler, Markus (1996), Black Hole Uniqueness Theorems, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-56735-0
• Hey, Tony; Walters, Patrick (2003), The new quantum universe, Cambridge University Press, Bibcode:2003nqu..book.....H, ISBN 978-0-521-56457-1
• Hough, Jim; Rowan, Sheila (2000), "Gravitational Wave Detection by Interferometry (Ground and Space)", Living Reviews in Relativity, 3 (1): 3, Bibcode:2000LRR.....3....3R, doi:10.12942/lrr-2000-3, PMC 5255574, PMID 28179855
• Hubble, Edwin (1929), "A Relation between Distance and Radial Velocity among Extra-Galactic Nebulae" (PDF), Proc. Natl. Acad. Sci., 15 (3): 168–173, Bibcode:1929PNAS...15..168H, doi:10.1073/pnas.15.3.168, PMC 522427, PMID 16577160
• Hulse, Russell A.; Taylor, Joseph H. (1975), "Discovery of a pulsar in a binary system", Astrophys. J., 195: L51–L55, Bibcode:1975ApJ...195L..51H, doi:10.1086/181708
• Ibanez, L. E. (2000), "The second string (phenomenology) revolution", Class. Quantum Grav., 17 (5): 1117–1128, arXiv:hep-ph/9911499, Bibcode:2000CQGra..17.1117I, doi:10.1088/0264-9381/17/5/321, S2CID 15707877
• Iorio, L. (2006), "A note on the evidence of the gravitomagnetic field of Mars", Classical and Quantum Gravity, 23 (17): 5451–5454, arXiv:gr-qc/0606092, Bibcode:2006CQGra..23.5451I, doi:10.1088/0264-9381/23/17/N01, S2CID 118233440
• Iorio, L. (2009), "An Assessment of the Systematic Uncertainty in Present and Future Tests of the Lense-Thirring Effect with Satellite Laser Ranging", Space Sci. Rev., 148 (1–4): 363–381, arXiv:0809.1373, Bibcode:2009SSRv..148..363I, doi:10.1007/s11214-008-9478-1, S2CID 15698399
• Iorio, L. (2010), "On the Lense–Thirring test with the Mars Global Surveyor in the gravitational field of Mars", Central European Journal of Physics, 8 (3): 509–513, arXiv:gr-qc/0701146, Bibcode:2010CEJPh...8..509I, doi:10.2478/s11534-009-0117-6, S2CID 16052420
• Isham, Christopher J. (1994), "Prima facie questions in quantum gravity", in Ehlers, Jürgen; Friedrich, Helmut (eds.), Canonical Gravity: From Classical to Quantum, Springer, ISBN 978-3-540-58339-4
• Israel, Werner (1971), "Event Horizons and Gravitational Collapse", General Relativity and Gravitation, 2 (1): 53–59, Bibcode:1971GReGr...2...53I, doi:10.1007/BF02450518, S2CID 119645546
• Israel, Werner (1987), "Dark stars: the evolution of an idea", in Hawking, Stephen W.; Israel, Werner (eds.), 300 Years of Gravitation, Cambridge University Press, pp. 199–276, ISBN 978-0-521-37976-2
• Janssen, Michel (2005), "Of pots and holes: Einstein's bumpy road to general relativity" (PDF), Annalen der Physik, 14 (S1): 58–85, Bibcode:2005AnP...517S..58J, doi:10.1002/andp.200410130
• Jaranowski, Piotr; Królak, Andrzej (2005), "Gravitational-Wave Data Analysis. Formalism and Sample Applications: The Gaussian Case", Living Reviews in Relativity, 8 (1): 3, Bibcode:2005LRR.....8....3J, doi:10.12942/lrr-2005-3, PMC 5253919, PMID 28163647
• Kahn, Bob (1996–2012), Gravity Probe B Website, Stanford University, retrieved 20 April 2012
• Kahn, Bob (14 April 2007), Was Einstein right? Scientists provide first public peek at Gravity Probe B results (Stanford University Press Release) (PDF), Stanford University News Service
• Kamionkowski, Marc; Kosowsky, Arthur; Stebbins, Albert (1997), "Statistics of Cosmic Microwave Background Polarization", Phys. Rev., D55 (12): 7368–7388, arXiv:astro-ph/9611125, Bibcode:1997PhRvD..55.7368K, doi:10.1103/PhysRevD.55.7368, S2CID 14018215
• Kennefick, Daniel (2005), "Astronomers Test General Relativity: Light-bending and the Solar Redshift", in Renn, Jürgen (ed.), One hundred authors for Einstein, Wiley-VCH, pp. 178–181, ISBN 978-3-527-40574-9
• Kennefick, Daniel (2007), "Not Only Because of Theory: Dyson, Eddington and the Competing Myths of the 1919 Eclipse Expedition", Proceedings of the 7th Conference on the History of General Relativity, Tenerife, 2005, 0709, p. 685, arXiv:0709.0685, Bibcode:2007arXiv0709.0685K, doi:10.1016/j.shpsa.2012.07.010, S2CID 119203172
• Kenyon, I. R. (1990), General Relativity, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-851996-6
• Kochanek, C.S.; Falco, E.E.; Impey, C.; Lehar, J. (2007), CASTLES Survey Website, Harvard-Smithsonian Center for Astrophysics, retrieved 21 August 2007
• Komar, Arthur (1959), "Covariant Conservation Laws in General Relativity", Phys. Rev., 113 (3): 934–936, Bibcode:1959PhRv..113..934K, doi:10.1103/PhysRev.113.934
• Kramer, Michael (2004), Karshenboim, S. G.; Peik, E. (eds.), "Astrophysics, Clocks and Fundamental Constants: Millisecond Pulsars as Tools of Fundamental Physics", Lecture Notes in Physics, 648: 33–54, arXiv:astro-ph/0405178, Bibcode:2004LNP...648...33K, doi:10.1007/978-3-540-40991-5_3, ISBN 978-3-540-21967-5
• Kramer, M.; Stairs, I. H.; Manchester, R. N.; McLaughlin, M. A.; Lyne, A. G.; Ferdman, R. D.; Burgay, M.; Lorimer, D. R.; et al. (2006), "Tests of general relativity from timing the double pulsar", Science, 314 (5796): 97–102, arXiv:astro-ph/0609417, Bibcode:2006Sci...314...97K, doi:10.1126/science.1132305, PMID 16973838, S2CID 6674714
• Kraus, Ute (1998), "Light Deflection Near Neutron Stars", Relativistic Astrophysics, Vieweg, pp. 66–81, ISBN 978-3-528-06909-4
• Kuchař, Karel (1973), "Canonical Quantization of Gravity", in Israel, Werner (ed.), Relativity, Astrophysics and Cosmology, D. Reidel, pp. 237–288, ISBN 978-90-277-0369-9
• Künzle, H. P. (1972), "Galilei and Lorentz Structures on spacetime: comparison of the corresponding geometry and physics", Annales de l'Institut Henri Poincaré A, 17: 337–362
• Lahav, Ofer; Suto, Yasushi (2004), "Measuring our Universe from Galaxy Redshift Surveys", Living Reviews in Relativity, 7 (1): 8, arXiv:astro-ph/0310642, Bibcode:2004LRR.....7....8L, doi:10.12942/lrr-2004-8, PMC 5253994, PMID 28163643
• Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. (1975), The Classical Theory of Fields, v. 2, Elsevier Science, Ltd., ISBN 978-0-08-018176-9
• Lehner, Luis (2001), "Numerical Relativity: A review", Class. Quantum Grav., 18 (17): R25–R86, arXiv:gr-qc/0106072, Bibcode:2001CQGra..18R..25L, doi:10.1088/0264-9381/18/17/202, S2CID 9715975
• Lehner, Luis (2002), "Numerical Relativity: Status and Prospects", General Relativity and Gravitation: Proceedings of the 16th International Conference: 210, arXiv:gr-qc/0202055, Bibcode:2002grg..conf..210L, doi:10.1142/9789812776556_0010, ISBN 978-981-238-171-2, S2CID 9145148
• Linde, Andrei (2005), "Particle Physics and Inflationary Cosmology", Contemp.concepts Phys, 5: 1–362, arXiv:hep-th/0503203, Bibcode:2005hep.th....3203L, ISBN 978-3-7186-0489-0
• Linde, Andrei (2006), "Towards inflation in string theory", J. Phys. Conf. Ser., 24 (1): 151–160, arXiv:hep-th/0503195, Bibcode:2005JPhCS..24..151L, doi:10.1088/1742-6596/24/1/018
• Loll, Renate (1998), "Discrete Approaches to Quantum Gravity in Four Dimensions", Living Reviews in Relativity, 1 (1): 13, arXiv:gr-qc/9805049, Bibcode:1998LRR.....1...13L, doi:10.12942/lrr-1998-13, PMC 5253799, PMID 28191826
• Lovelock, David (1972), "The Four-Dimensionality of Space and the Einstein Tensor", J. Math. Phys., 13 (6): 874–876, Bibcode:1972JMP....13..874L, doi:10.1063/1.1666069
• MacCallum, M. (2006), "Finding and using exact solutions of the Einstein equations", in Mornas, L.; Alonso, J. D. (eds.), AIP Conference Proceedings (A Century of Relativity Physics: ERE05, the XXVIII Spanish Relativity Meeting), 841, pp. 129–143, arXiv:gr-qc/0601102, Bibcode:2006AIPC..841..129M, doi:10.1063/1.2218172, S2CID 13096531
• Maddox, John (1998), What Remains To Be Discovered, Macmillan, ISBN 978-0-684-82292-1
• Mannheim, Philip D. (2006), "Alternatives to Dark Matter and Dark Energy", Prog. Part. Nucl. Phys., 56 (2): 340–445, arXiv:astro-ph/0505266, Bibcode:2006PrPNP..56..340M, doi:10.1016/j.ppnp.2005.08.001, S2CID 14024934
• Mather, J. C.; Cheng, E. S.; Cottingham, D. A.; Eplee, R. E.; Fixsen, D. J.; Hewagama, T.; Isaacman, R. B.; Jensen, K. A.; et al. (1994), "Measurement of the cosmic microwave spectrum by the COBE FIRAS instrument", Astrophysical Journal, 420: 439–444, Bibcode:1994ApJ...420..439M, doi:10.1086/173574
• Mermin, N. David (2005), It's About Time. Understanding Einstein's Relativity, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-12201-4
• Messiah, Albert (1999), Quantum Mechanics, Dover Publications, ISBN 978-0-486-40924-5
• Miller, Cole (2002), Stellar Structure and Evolution (Lecture notes for Astronomy 606), University of Maryland, retrieved 25 July 2007
• Misner, Charles W.; Thorne, Kip. S.; Wheeler, John A. (1973), Gravitation, W. H. Freeman, ISBN 978-0-7167-0344-0
• Narayan, Ramesh (2006), "Black holes in astrophysics", New Journal of Physics, 7 (1): 199, arXiv:gr-qc/0506078, Bibcode:2005NJPh....7..199N, doi:10.1088/1367-2630/7/1/199, S2CID 17986323
• Narayan, Ramesh; Bartelmann, Matthias (1997). "Lectures on Gravitational Lensing". arXiv:astro-ph/9606001.
• Narlikar, Jayant V. (1993), Introduction to Cosmology, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-41250-6
• Nordström, Gunnar (1918), "On the Energy of the Gravitational Field in Einstein's Theory", Verhandl. Koninkl. Ned. Akad. Wetenschap., 26: 1238–1245, Bibcode:1918KNAB...20.1238N
• Nordtvedt, Kenneth (2003). "Lunar Laser Ranging—a comprehensive probe of post-Newtonian gravity". arXiv:gr-qc/0301024.
• Norton, John D. (1985), "What was Einstein's principle of equivalence?" (PDF), Studies in History and Philosophy of Science, 16 (3): 203–246, doi:10.1016/0039-3681(85)90002-0, retrieved 11 June 2007
• Ohanian, Hans C.; Ruffini, Remo (1994), Gravitation and Spacetime, W. W. Norton & Company, ISBN 978-0-393-96501-8
• Olive, K. A.; Skillman, E. A. (2004), "A Realistic Determination of the Error on the Primordial Helium Abundance", Astrophysical Journal, 617 (1): 29–49, arXiv:astro-ph/0405588, Bibcode:2004ApJ...617...29O, doi:10.1086/425170, S2CID 15187664
• O'Meara, John M.; Tytler, David; Kirkman, David; Suzuki, Nao; Prochaska, Jason X.; Lubin, Dan; Wolfe, Arthur M. (2001), "The Deuterium to Hydrogen Abundance Ratio Towards a Fourth QSO: HS0105+1619", Astrophysical Journal, 552 (2): 718–730, arXiv:astro-ph/0011179, Bibcode:2001ApJ...552..718O, doi:10.1086/320579, S2CID 14164537
• Oppenheimer, J. Robert; Snyder, H. (1939), "On continued gravitational contraction", Physical Review, 56 (5): 455–459, Bibcode:1939PhRv...56..455O, doi:10.1103/PhysRev.56.455
• Overbye, Dennis (1999), Lonely Hearts of the Cosmos: the story of the scientific quest for the secret of the Universe, Back Bay, ISBN 978-0-316-64896-7
• Pais, Abraham (1982), 'Subtle is the Lord ...' The Science and life of Albert Einstein, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853907-0
• Peacock, John A. (1999), Cosmological Physics, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-41072-4
• Peebles, P. J. E. (1966), "Primordial Helium abundance and primordial fireball II", Astrophysical Journal, 146: 542–552, Bibcode:1966ApJ...146..542P, doi:10.1086/148918
• Peebles, P. J. E. (1993), Principles of physical cosmology, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-01933-8
• Peebles, P.J.E.; Schramm, D.N.; Turner, E.L.; Kron, R.G. (1991), "The case for the relativistic hot Big Bang cosmology", Nature, 352 (6338): 769–776, Bibcode:1991Natur.352..769P, doi:10.1038/352769a0, S2CID 4337502
• Penrose, Roger (1965), "Gravitational collapse and spacetime singularities", Physical Review Letters, 14 (3): 57–59, Bibcode:1965PhRvL..14...57P, doi:10.1103/PhysRevLett.14.57
• Penrose, Roger (1969), "Gravitational collapse: the role of general relativity", Rivista del Nuovo Cimento, 1: 252–276, Bibcode:1969NCimR...1..252P
• Penrose, Roger (2004), The Road to Reality, A. A. Knopf, ISBN 978-0-679-45443-4
• Penzias, A. A.; Wilson, R. W. (1965), "A measurement of excess antenna temperature at 4080 Mc/s", Astrophysical Journal, 142: 419–421, Bibcode:1965ApJ...142..419P, doi:10.1086/148307
• Peskin, Michael E.; Schroeder, Daniel V. (1995), An Introduction to Quantum Field Theory, Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-50397-5
• Peskin, Michael E. (2007), "Dark Matter and Particle Physics", Journal of the Physical Society of Japan, 76 (11): 111017, arXiv:0707.1536, Bibcode:2007JPSJ...76k1017P, doi:10.1143/JPSJ.76.111017, S2CID 16276112
• Poisson, Eric (27 May 2004a). "The Motion of Point Particles in Curved Spacetime". Living Reviews in Relativity. 7 (1). 6. arXiv:gr-qc/0306052. Bibcode:2004LRR.....7....6P. doi:10.12942/lrr-2004-6. PMC 5256043. PMID 28179866.
• Poisson, Eric (2004), A Relativist's Toolkit. The Mathematics of Black-Hole Mechanics, Cambridge University Press, Bibcode:2004rtmb.book.....P, ISBN 978-0-521-83091-1
• Polchinski, Joseph (1998a), String Theory Vol. I: An Introduction to the Bosonic String, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-63303-1
• Polchinski, Joseph (1998b), String Theory Vol. II: Superstring Theory and Beyond, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-63304-8
• Pound, R. V.; Rebka, G. A. (1959), "Gravitational Red-Shift in Nuclear Resonance", Physical Review Letters, 3 (9): 439–441, Bibcode:1959PhRvL...3..439P, doi:10.1103/PhysRevLett.3.439
• Pound, R. V.; Rebka, G. A. (1960), "Apparent weight of photons", Phys. Rev. Lett., 4 (7): 337–341, Bibcode:1960PhRvL...4..337P, doi:10.1103/PhysRevLett.4.337
• Pound, R. V.; Snider, J. L. (1964), "Effect of Gravity on Nuclear Resonance", Phys. Rev. Lett., 13 (18): 539–540, Bibcode:1964PhRvL..13..539P, doi:10.1103/PhysRevLett.13.539
• Ramond, Pierre (1990), Field Theory: A Modern Primer, Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-54611-8
• Rees, Martin (1966), "Appearance of Relativistically Expanding Radio Sources", Nature, 211 (5048): 468–470, Bibcode:1966Natur.211..468R, doi:10.1038/211468a0, S2CID 41065207
• Reissner, H. (1916), "Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie", Annalen der Physik, 355 (9): 106–120, Bibcode:1916AnP...355..106R, doi:10.1002/andp.19163550905
• Remillard, Ronald A.; Lin, Dacheng; Cooper, Randall L.; Narayan, Ramesh (2006), "The Rates of Type I X-Ray Bursts from Transients Observed with RXTE: Evidence for Black Hole Event Horizons", Astrophysical Journal, 646 (1): 407–419, arXiv:astro-ph/0509758, Bibcode:2006ApJ...646..407R, doi:10.1086/504862, S2CID 14949527
• Renn, Jürgen, ed. (2007), The Genesis of General Relativity (4 Volumes), Dordrecht: Springer, ISBN 978-1-4020-3999-7
• Renn, Jürgen, ed. (2005), Albert Einstein—Chief Engineer of the Universe: Einstein's Life and Work in Context, Berlin: Wiley-VCH, ISBN 978-3-527-40571-8
• Reula, Oscar A. (1998), "Hyperbolic Methods for Einstein's Equations", Living Reviews in Relativity, 1 (1): 3, Bibcode:1998LRR.....1....3R, doi:10.12942/lrr-1998-3, PMC 5253804, PMID 28191833
• Rindler, Wolfgang (2001), Relativity. Special, General and Cosmological, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-850836-6
• Rindler, Wolfgang (1991), Introduction to Special Relativity, Clarendon Press, Oxford, ISBN 978-0-19-853952-0
• Robson, Ian (1996), Active galactic nuclei, John Wiley, ISBN 978-0-471-95853-6
• Roulet, E.; Mollerach, S. (1997), "Microlensing", Physics Reports, 279 (2): 67–118, arXiv:astro-ph/9603119, Bibcode:1997PhR...279...67R, doi:10.1016/S0370-1573(96)00020-8
• Rovelli, Carlo, ed. (2015), General Relativity: The most beautiful of theories (de Gruyter Studies in Mathematical Physics), Boston: Walter de Gruyter GmbH, ISBN 978-3110340426
• Rovelli, Carlo (2000). "Notes for a brief history of quantum gravity". arXiv:gr-qc/0006061.
• Rovelli, Carlo (1998), "Loop Quantum Gravity", Living Reviews in Relativity, 1 (1): 1, arXiv:gr-qc/9710008, Bibcode:1998LRR.....1....1R, CiteSeerX 10.1.1.90.7036, doi:10.12942/lrr-1998-1, PMC 5567241, PMID 28937180
• Schäfer, Gerhard (2004), "Gravitomagnetic Effects", General Relativity and Gravitation, 36 (10): 2223–2235, arXiv:gr-qc/0407116, Bibcode:2004GReGr..36.2223S, doi:10.1023/B:GERG.0000046180.97877.32, S2CID 14255129
• Schödel, R.; Ott, T.; Genzel, R.; Eckart, A.; Mouawad, N.; Alexander, T. (2003), "Stellar Dynamics in the Central Arcsecond of Our Galaxy", Astrophysical Journal, 596 (2): 1015–1034, arXiv:astro-ph/0306214, Bibcode:2003ApJ...596.1015S, doi:10.1086/378122, S2CID 17719367
• Schutz, Bernard F. (1985), A first course in general relativity, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-27703-7
• Schutz, Bernard F. (2003), Gravity from the ground up, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-45506-0
• Schwarz, John H. (2007), "String Theory: Progress and Problems", Progress of Theoretical Physics Supplement, 170: 214–226, arXiv:hep-th/0702219, Bibcode:2007PThPS.170..214S, doi:10.1143/PTPS.170.214, S2CID 16762545
• Schwarzschild, Karl (1916a), "Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie", Sitzungsber. Preuss. Akad. D. Wiss.: 189–196, Bibcode:1916SPAW.......189S
• Schwarzschild, Karl (1916b), "Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flüssigkeit nach der Einsteinschen Theorie", Sitzungsber. Preuss. Akad. D. Wiss.: 424–434, Bibcode:1916skpa.conf..424S
• Seidel, Edward (1998), "Numerical Relativity: Towards Simulations of 3D Black Hole Coalescence", in Narlikar, J. V.; Dadhich, N. (eds.), Gravitation and Relativity: At the turn of the millennium (Proceedings of the GR-15 Conference, held at IUCAA, Pune, India, December 16–21, 1997), IUCAA, p. 6088, arXiv:gr-qc/9806088, Bibcode:1998gr.qc.....6088S, ISBN 978-81-900378-3-9
• Seljak, Uros̆; Zaldarriaga, Matias (1997), "Signature of Gravity Waves in the Polarization of the Microwave Background", Phys. Rev. Lett., 78 (11): 2054–2057, arXiv:astro-ph/9609169, Bibcode:1997PhRvL..78.2054S, doi:10.1103/PhysRevLett.78.2054, S2CID 30795875
• Shapiro, S. S.; Davis, J. L.; Lebach, D. E.; Gregory, J. S. (2004), "Measurement of the solar gravitational deflection of radio waves using geodetic very-long-baseline interferometry data, 1979–1999", Phys. Rev. Lett., 92 (12): 121101, Bibcode:2004PhRvL..92l1101S, doi:10.1103/PhysRevLett.92.121101, PMID 15089661
• Shapiro, Irwin I. (1964), "Fourth test of general relativity", Phys. Rev. Lett., 13 (26): 789–791, Bibcode:1964PhRvL..13..789S, doi:10.1103/PhysRevLett.13.789
• Singh, Simon (2004), Big Bang: The Origin of the Universe, Fourth Estate, Bibcode:2004biba.book.....S, ISBN 978-0-00-715251-3
• Sorkin, Rafael D. (2005), "Causal Sets: Discrete Gravity", in Gomberoff, Andres; Marolf, Donald (eds.), Lectures on Quantum Gravity, Springer, p. 9009, arXiv:gr-qc/0309009, Bibcode:2003gr.qc.....9009S, ISBN 978-0-387-23995-8
• Sorkin, Rafael D. (1997), "Forks in the Road, on the Way to Quantum Gravity", Int. J. Theor. Phys., 36 (12): 2759–2781, arXiv:gr-qc/9706002, Bibcode:1997IJTP...36.2759S, doi:10.1007/BF02435709, S2CID 4803804
• Spergel, D. N.; Verde, L.; Peiris, H. V.; Komatsu, E.; Nolta, M. R.; Bennett, C. L.; Halpern, M.; Hinshaw, G.; et al. (2003), "First Year Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) Observations: Determination of Cosmological Parameters", Astrophys. J. Suppl. Ser., 148 (1): 175–194, arXiv:astro-ph/0302209, Bibcode:2003ApJS..148..175S, doi:10.1086/377226, S2CID 10794058
• Spergel, D. N.; Bean, R.; Doré, O.; Nolta, M. R.; Bennett, C. L.; Dunkley, J.; Hinshaw, G.; Jarosik, N.; et al. (2007), "Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) Three Year Results: Implications for Cosmology", Astrophysical Journal Supplement, 170 (2): 377–408, arXiv:astro-ph/0603449, Bibcode:2007ApJS..170..377S, doi:10.1086/513700, S2CID 1386346
• Springel, Volker; White, Simon D. M.; Jenkins, Adrian; Frenk, Carlos S.; Yoshida, Naoki; Gao, Liang; Navarro, Julio; Thacker, Robert; et al. (2005), "Simulations of the formation, evolution and clustering of galaxies and quasars", Nature, 435 (7042): 629–636, arXiv:astro-ph/0504097, Bibcode:2005Natur.435..629S, doi:10.1038/nature03597, PMID 15931216, S2CID 4383030
• Stairs, Ingrid H. (2003), "Testing General Relativity with Pulsar Timing", Living Reviews in Relativity, 6 (1): 5, arXiv:astro-ph/0307536, Bibcode:2003LRR.....6....5S, doi:10.12942/lrr-2003-5, PMC 5253800, PMID 28163640
• Stephani, H.; Kramer, D.; MacCallum, M.; Hoenselaers, C.; Herlt, E. (2003), Exact Solutions of Einstein's Field Equations (2 ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-46136-8
• Synge, J. L. (1972), Relativity: The Special Theory, North-Holland Publishing Company, ISBN 978-0-7204-0064-9
• Szabados, László B. (2004), "Quasi-Local Energy–Momentum and Angular Momentum in GR", Living Reviews in Relativity, 7 (1): 4, Bibcode:2004LRR.....7....4S, doi:10.12942/lrr-2004-4, PMC 5255888, PMID 28179865
• Taylor, Joseph H. (1994), "Binary pulsars and relativistic gravity", Rev. Mod. Phys., 66 (3): 711–719, Bibcode:1994RvMP...66..711T, doi:10.1103/RevModPhys.66.711
• Thiemann, Thomas (2007), "Approaches to Fundamental Physics: Loop Quantum Gravity: An Inside View", Lecture Notes in Physics, 721: 185–263, arXiv:hep-th/0608210, Bibcode:2007LNP...721..185T, doi:10.1007/978-3-540-71117-9_10, ISBN 978-3-540-71115-5, S2CID 119572847
• Thiemann, Thomas (2003), "Lectures on Loop Quantum Gravity", Lecture Notes in Physics, 631: 41–135, arXiv:gr-qc/0210094, Bibcode:2003LNP...631...41T, doi:10.1007/978-3-540-45230-0_3, ISBN 978-3-540-40810-9, S2CID 119151491
• 't Hooft, Gerard; Veltman, Martinus (1974), "One Loop Divergencies in the Theory of Gravitation", Ann. Inst. Poincare, 20 (1): 69, Bibcode:1974AIHPA..20...69T
• Thorne, Kip S. (1972), "Nonspherical Gravitational Collapse—A Short Review", in Klauder, J. (ed.), Magic without Magic, W. H. Freeman, pp. 231–258
• Thorne, Kip S. (1994), Black Holes and Time Warps: Einstein's Outrageous Legacy, W W Norton & Company, ISBN 978-0-393-31276-8
• Thorne, Kip S. (1995), "Gravitational radiation", Particle and Nuclear Astrophysics and Cosmology in the Next Millennium: 160, arXiv:gr-qc/9506086, Bibcode:1995pnac.conf..160T, ISBN 978-0-521-36853-7
• Thorne, Kip (2003). "Warping spacetime". In G.W. Gibbons; E.P.S. Shellard; S.J. Rankin (eds.). The future of theoretical physics and cosmology: celebrating Stephen Hawking's 60th birthday. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-82081-3.
• Townsend, Paul K. (1997). "Black Holes (Lecture notes)". arXiv:gr-qc/9707012.
• Townsend, Paul K. (1996). "Four Lectures on M-Theory". High Energy Physics and Cosmology. 13: 385. arXiv:hep-th/9612121. Bibcode:1997hepcbconf..385T.
• Traschen, Jennie (2000), Bytsenko, A.; Williams, F. (eds.), "An Introduction to Black Hole Evaporation", Mathematical Methods of Physics (Proceedings of the 1999 Londrina Winter School), World Scientific: 180, arXiv:gr-qc/0010055, Bibcode:2000mmp..conf..180T
• Trautman, Andrzej (2006), "Einstein–Cartan theory", in Françoise, J.-P.; Naber, G. L.; Tsou, S. T. (eds.), Encyclopedia of Mathematical Physics, Vol. 2, Elsevier, pp. 189–195, arXiv:gr-qc/0606062, Bibcode:2006gr.qc.....6062T
• Unruh, W. G. (1976), "Notes on Black Hole Evaporation", Phys. Rev. D, 14 (4): 870–892, Bibcode:1976PhRvD..14..870U, doi:10.1103/PhysRevD.14.870
• Veltman, Martinus (1975), "Quantum Theory of Gravitation", in Balian, Roger; Zinn-Justin, Jean (eds.), Methods in Field Theory - Les Houches Summer School in Theoretical Physics., 77, North Holland
• Wald, Robert M. (1975), "On Particle Creation by Black Holes", Commun. Math. Phys., 45 (3): 9–34, Bibcode:1975CMaPh..45....9W, doi:10.1007/BF01609863, S2CID 120950657
• Wald, Robert M. (1984), General Relativity, University of Chicago Press, ISBN 978-0-226-87033-5
• Wald, Robert M. (1994), Quantum field theory in curved spacetime and black hole thermodynamics, University of Chicago Press, ISBN 978-0-226-87027-4
• Wald, Robert M. (2001), "The Thermodynamics of Black Holes", Living Reviews in Relativity, 4 (1): 6, arXiv:gr-qc/9912119, Bibcode:2001LRR.....4....6W, doi:10.12942/lrr-2001-6, PMC 5253844, PMID 28163633
• Walsh, D.; Carswell, R. F.; Weymann, R. J. (1979), "0957 + 561 A, B: twin quasistellar objects or gravitational lens?", Nature, 279 (5712): 381–4, Bibcode:1979Natur.279..381W, doi:10.1038/279381a0, PMID 16068158, S2CID 2142707
• Wambsganss, Joachim (1998), "Gravitational Lensing in Astronomy", Living Reviews in Relativity, 1 (1): 12, arXiv:astro-ph/9812021, Bibcode:1998LRR.....1...12W, doi:10.12942/lrr-1998-12, PMC 5567250, PMID 28937183
• Weinberg, Steven (1972), Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity, John Wiley, ISBN 978-0-471-92567-5
• Weinberg, Steven (1995), The Quantum Theory of Fields I: Foundations, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55001-7
• Weinberg, Steven (1996), The Quantum Theory of Fields II: Modern Applications, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55002-4
• Weinberg, Steven (2000), The Quantum Theory of Fields III: Supersymmetry, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-66000-6
• Weisberg, Joel M.; Taylor, Joseph H. (2003), "The Relativistic Binary Pulsar B1913+16"", in Bailes, M.; Nice, D. J.; Thorsett, S. E. (eds.), Proceedings of "Radio Pulsars," Chania, Crete, August, 2002, ASP Conference Series
• Weiss, Achim (2006), "Elements of the past: Big Bang Nucleosynthesis and observation", Einstein Online, Max Planck Institute for Gravitational Physics, archived from the original on 8 February 2007, retrieved 24 February 2007
• Wheeler, John A. (1990), A Journey Into Gravity and Spacetime, Scientific American Library, San Francisco: W. H. Freeman, ISBN 978-0-7167-6034-4
• Will, Clifford M. (1993), Theory and experiment in gravitational physics, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-43973-2
• Will, Clifford M. (2006), "The Confrontation between General Relativity and Experiment", Living Reviews in Relativity, 9 (1): 3, arXiv:gr-qc/0510072, Bibcode:2006LRR.....9....3W, doi:10.12942/lrr-2006-3, PMC 5256066, PMID 28179873
• Zwiebach, Barton (2004), A First Course in String Theory, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-83143-7

Further reading

Popular books

• Einstein, A. (1916), Relativity: The Special and the General Theory, Berlin, ISBN 978-3-528-06059-6
• Geroch, R. (1981), General Relativity from A to B, Chicago: University of Chicago Press, ISBN 978-0-226-28864-2
• Lieber, Lillian (2008), The Einstein Theory of Relativity: A Trip to the Fourth Dimension, Philadelphia: Paul Dry Books, Inc., ISBN 978-1-58988-044-3
• Schutz, Bernard F. (2001), "Gravitational radiation", in Murdin, Paul (ed.), Encyclopedia of Astronomy and Astrophysics, ISBN 978-1-56159-268-5
• Thorne, Kip; Hawking, Stephen (1994). Black Holes and Time Warps: Einstein's Outrageous Legacy. New York: W. W. Norton. ISBN 0393035050.
• Wald, Robert M. (1992), Space, Time, and Gravity: the Theory of the Big Bang and Black Holes, Chicago: University of Chicago Press, ISBN 978-0-226-87029-8
• Wheeler, John; Ford, Kenneth (1998), Geons, Black Holes, & Quantum Foam: a life in physics, New York: W. W. Norton, ISBN 978-0-393-31991-0

Beginning undergraduate textbooks

• Callahan, James J. (2000), The Geometry of Spacetime: an Introduction to Special and General Relativity, New York: Springer, ISBN 978-0-387-98641-8
• Taylor, Edwin F.; Wheeler, John Archibald (2000), Exploring Black Holes: Introduction to General Relativity, Addison Wesley, ISBN 978-0-201-38423-9

Advanced undergraduate textbooks

• Cheng, Ta-Pei (2005), Relativity, Gravitation and Cosmology: a Basic Introduction, Oxford and New York: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-852957-6
• Dirac, Paul (1996), General Theory of Relativity, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-01146-2
• Gron, O.; Hervik, S. (2007), Einstein's General theory of Relativity, Springer, ISBN 978-0-387-69199-2
• Hartle, James B. (2003), Gravity: an Introduction to Einstein's General Relativity, San Francisco: Addison-Wesley, ISBN 978-0-8053-8662-2
• Hughston, L. P.; Tod, K. P. (1991), Introduction to General Relativity, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-33943-8
• d'Inverno, Ray (1992), Introducing Einstein's Relativity, Oxford: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-859686-8
• Ludyk, Günter (2013). Einstein in Matrix Form (1st ed.). Berlin: Springer. ISBN 978-3-642-35797-8.
• Møller, Christian (1955) [1952], The Theory of Relativity, Oxford University Press, OCLC 7644624
• Moore, Thomas A (2012), A General Relativity Workbook, University Science Books, ISBN 978-1-891389-82-5
• Schutz, B. F. (2009), A First Course in General Relativity (Second ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88705-2

Graduate textbooks

• Carroll, Sean M. (2004), Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity, San Francisco: Addison-Wesley, ISBN 978-0-8053-8732-2
• Grøn, Øyvind; Hervik, Sigbjørn (2007), Einstein's General Theory of Relativity, New York: Springer, ISBN 978-0-387-69199-2
• Landau, Lev D.; Lifshitz, Evgeny F. (1980), The Classical Theory of Fields (4th ed.), London: Butterworth-Heinemann, ISBN 978-0-7506-2768-9
• Stephani, Hans (1990), General Relativity: An Introduction to the Theory of the Gravitational Field, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-37941-0
• Will, Clifford; Poisson, Eric (2014). Gravity: Newtonian, Post-Newtonian, Relativistic. Cambridge University Press. ISBN 978-1107032866.
• Charles W. Misner; Kip S. Thorne; John Archibald Wheeler (1973), Gravitation, W. H. Freeman,Princeton University Press, ISBN 0-7167-0344-0

Specialists' books

• Hawking, Stephen; Ellis, George (1975). The Large Scale Structure of Space-time. Cambridge University Press. ISBN 978-0521099066.
• Poisson, Eric (2007). A Relativist's Toolkit: The Mathematics of Black-Hole Mechanics. Cambridge University Press. ISBN 978-0521537803.

Journal articles

• Einstein, Albert (1916), "Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie", Annalen der Physik, 49 (7): 769–822, Bibcode:1916AnP...354..769E, doi:10.1002/andp.19163540702 See also English translation at Einstein Papers Project
• Flanagan, Éanna É.; Hughes, Scott A. (2005), "The basics of gravitational wave theory", New J. Phys., 7 (1): 204, arXiv:gr-qc/0501041, Bibcode:2005NJPh....7..204F, doi:10.1088/1367-2630/7/1/204
• Landgraf, M.; Hechler, M.; Kemble, S. (2005), "Mission design for LISA Pathfinder", Class. Quantum Grav., 22 (10): S487–S492, arXiv:gr-qc/0411071, Bibcode:2005CQGra..22S.487L, doi:10.1088/0264-9381/22/10/048, S2CID 119476595
• Nieto, Michael Martin (2006), "The quest to understand the Pioneer anomaly" (PDF), Europhysics News, 37 (6): 30–34, arXiv:gr-qc/0702017, Bibcode:2006ENews..37f..30N, doi:10.1051/epn:2006604
• Shapiro, I. I.; Pettengill, Gordon; Ash, Michael; Stone, Melvin; Smith, William; Ingalls, Richard; Brockelman, Richard (1968), "Fourth test of general relativity: preliminary results", Phys. Rev. Lett., 20 (22): 1265–1269, Bibcode:1968PhRvL..20.1265S, doi:10.1103/PhysRevLett.20.1265
• Valtonen, M. J.; Lehto, H. J.; Nilsson, K.; Heidt, J.; Takalo, L. O.; Sillanpää, A.; Villforth, C.; Kidger, M.; et al. (2008), "A massive binary black-hole system in OJ 287 and a test of general relativity", Nature, 452 (7189): 851–853, arXiv:0809.1280, Bibcode:2008Natur.452..851V, doi:10.1038/nature06896, PMID 18421348, S2CID 4412396

External links

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Wikisource has original text related to this article: Relativity: The Special and General Theory

• Einstein Online – Articles on a variety of aspects of relativistic physics for a general audience; hosted by the Max Planck Institute for Gravitational Physics
• GEO600 home page, the official website of the GEO600 project.
• LIGO Laboratory
• NCSA Spacetime Wrinkles – produced by the numerical relativity group at the NCSA, with an elementary introduction to general relativity

• Courses
• Lectures
• Tutorials

• Einstein's General Theory of Relativity on YouTube (lecture by Leonard Susskind recorded September 22, 2008 at Stanford University).
• Series of lectures on General Relativity given in 2006 at the Institut Henri Poincaré (introductory/advanced).
• General Relativity Tutorials by John Baez.
• Brown, Kevin. "Reflections on relativity". Mathpages.com. Archived from the original on 18 December 2015. Retrieved 29 May 2005.
• Carroll, Sean M. (1997). "Lecture Notes on General Relativity". arXiv:gr-qc/9712019.
• Moor, Rafi. "Understanding General Relativity". Retrieved 11 July 2006.
• Waner, Stefan. "Introduction to Differential Geometry and General Relativity" (PDF). Retrieved 5 April 2015.