¿Hay algún otro número intocable que no sea el 5?
Un número intocable es un número entero positivo que no se puede expresar como la suma de todos los divisores propios de ningún entero positivo (incluido el número intocable en sí). Es decir, estos números no son la imagen de la función de suma de alícuotas . Su estudio se remonta al menos a Abu Mansur al-Baghdadi (alrededor del año 1000 d.C.), quien observó que tanto el 2 como el 5 son intocables. [1]
Ejemplos de
Por ejemplo, el número 4 no es intocable ya que es igual a la suma de los divisores propios de 9: 1 + 3 = 4. El número 5 es intocable ya que no es la suma de los divisores propios de ningún entero positivo: 5 = 1 + 4 es la única forma de escribir 5 como la suma de enteros positivos distintos, incluido 1, pero si 4 divide un número, 2 también lo hace, por lo que 1 + 4 no puede ser la suma de todos los divisores propios de cualquier número (ya que el La lista de factores debería contener tanto 4 como 2).
Los primeros números intocables son:
Propiedades
Se cree que el número 5 es el único número impar intocable, pero esto no ha sido probado: se seguiría de una versión ligeramente más fuerte de la conjetura de Goldbach , ya que la suma de los divisores propios de pq (con p , q primos distintos) es 1+ p + q . Por lo tanto, si un número n se puede escribir como una suma de dos primos distintos, entonces n +1 no es un número intocable. Se espera que todo número par mayor que 6 sea una suma de dos primos distintos, por lo que probablemente ningún número impar mayor que 7 sea un número intocable, y, , , por lo que solo 5 puede ser un número intocable impar. [2] Por lo tanto, parece que además de 2 y 5, todos los números intocables son números compuestos (ya que, excepto el 2, todos los números pares son compuestos). Ningún número perfecto es intocable, ya que, como mínimo, puede expresarse como la suma de sus propios divisores propios (esta situación ocurre en el caso de 28 ). Del mismo modo, ninguno de los números amistosos o los números sociables son intocables. Además, todos los números de Mersenne no son intocables, ya que M n = 2 n -1 se puede expresar como la suma de los divisores propios de 2 n .
Ningún número intocable es uno más que un número primo , ya que si p es primo, entonces la suma de los divisores propios de p 2 es p + 1. Además, ningún número intocable es tres más que un número primo, excepto 5, ya que si p es un primo impar, entonces la suma de los divisores propios de 2p es p + 3.
Infinitud
Hay infinitos números intocables, un hecho que fue probado por Paul Erdős . [3] Según Chen y Zhao, su densidad natural es al menos d> 0,06. [4]
Ver también
Referencias
- ^ Sesiano, J. (1991), "Dos problemas de la teoría de números en la época islámica", Archivo de Historia de las Ciencias Exactas , 41 (3): 235-238, doi : 10.1007 / BF00348408 , JSTOR 41133889 , MR 1107382
- ^ La versión más fuerte se obtiene agregando a la conjetura de Goldbach el requisito adicional de que los dos primos sean distintos - verAdams-Watters, Frank & Weisstein, Eric W. "Número intocable" . MathWorld .
- ^ P. Erdos, Über die Zahlen der Form und . Elemente der Math. 28 (1973), 83-86, [1]
- ^ Yong-Gao Chen y Qing-Qing Zhao, Números Nonaliquot, Publ. Matemáticas. Debrecen 78: 2 (2011), págs. 439-442.
- Richard K. Guy , Problemas no resueltos en teoría de números (3.a ed.), Springer Verlag , 2004 ISBN 0-387-20860-7 ; sección B10.
enlaces externos
- Secuencia OEIS A070015 (Mínimo m tal que la suma de partes alícuotas de m sea igual a n o 0 si no existe tal número)