En matemáticas , específicamente en topología algebraica , la cohomología de Čech es una teoría de cohomología basada en las propiedades de intersección de las cubiertas abiertas de un espacio topológico . Lleva el nombre del matemático Eduard Čech .
Motivación
Sea X un espacio topológico, y seaser una cubierta abierta de X . Dejardenotar el nervio de la cubierta. La idea de la cohomología Čech es que, para una cubierta abierta que consiste en conjuntos abiertos suficientemente pequeños, el complejo simplicial resultante debe ser un buen modelo combinatoria para el espacio X . Para tal cobertura, la cohomología Čech de X se define como la cohomología simplicial del nervio. Esta idea se puede formalizar con la noción de una buena portada . Sin embargo, un enfoque más general es tomar el límite directo de los grupos de cohomología del nervio sobre el sistema de todas las posibles cubiertas abiertas de X , ordenadas por refinamiento . Este es el enfoque adoptado a continuación.
Construcción
Sea X un espacio topológico , y seaser un prehaz de grupos abelianos en X . Dejarser una cubierta abierta de X .
Simplex
A q - simplex σ dees una colección ordenada de q +1 conjuntos elegidos de, de modo que la intersección de todos estos conjuntos no esté vacía. Esta intersección se denomina soporte de σ y se denota | σ |.
Ahora deja ser un q -simplex. El j-ésimo límite parcial de σ se define como el ( q −1) -simplex obtenido al eliminar el j -ésimo conjunto de σ, es decir:
El límite de σ se define como la suma alterna de los límites parciales:
visto como un elemento del grupo abeliano libre abarcado por los simplices de.
Cochain
A q - cochain de con coeficientes en es un mapa que asocia con cada q -simplex σ un elemento dey denotamos el conjunto de todas las q -cochains de con coeficientes en por . es un grupo abeliano por adición puntual.
Diferencial
Los grupos cochain se pueden convertir en un complejo cochain definiendo el operador co-fronterizo por:
dónde es el morfismo de restricción de a (Observe que ∂ j σ ⊆ σ, pero | σ | ⊆ | ∂ j σ |.)
Un cálculo muestra que
El operador co-límite es análogo a la derivada exterior de la cohomología de De Rham , por lo que a veces se le llama diferencial del complejo cocadena .
Ciclo
Una q -cochain se llama q -ciclo si está en el núcleo de, por eso es el conjunto de todos los q -ciclos.
Por lo tanto, una ( q −1) -cochaines un ciclo si para todos los q -simplices la condición del ciclo
sostiene.
Un ciclo 0 es una colección de secciones locales de satisfaciendo una relación de compatibilidad en cada intersección
Un ciclo de 1 satisface para cada no vacío con
Coborde
Una cadena q se llama un límite q si está en la imagen de y es el conjunto de todos los límites q .
Por ejemplo, una cadena de 1 es un 1-co-límite si existe un 0-co-cadena tal que por cada intersección
Cohomología
La cohomología Čech de con valores en se define como la cohomología del complejo cocadena . Así, la cohomología q- th Čech está dada por
- .
La cohomología Čech de X se define considerando los refinamientos de las cubiertas abiertas. Si es un refinamiento de entonces hay un mapa en cohomología Las cubiertas abiertas de X forman un conjunto dirigido bajo refinamiento, por lo que el mapa anterior conduce a un sistema directo de grupos abelianos. La cohomología Čech de X con valores ense define como el límite directo de este sistema.
La cohomología Čech de X con coeficientes en un grupo abeliano fijo A , denotado, Se define como dónde es la gavilla constante en X determinada por A .
Una variante de la cohomología Čech, denominada cohomología Čech numerable , se define como antes, excepto que todas las cubiertas abiertas consideradas deben ser numerables : es decir, hay una partición de unidad {ρ i } tal que cada soporteestá contenido en algún elemento de la cubierta. Si X es paracompacto y Hausdorff , entonces la cohomología Čech numerable concuerda con la cohomología Čech habitual.
Relación con otras teorías de cohomología
Si X es homotopía equivalente a un complejo CW , entonces la cohomología Čeches naturalmente isomorfo a la cohomología singular . Si X es una variedad diferenciable , entoncestambién es naturalmente isomorfo a la cohomología de De Rham ; el artículo sobre la cohomología de De Rham ofrece una breve revisión de este isomorfismo. Para los espacios menos educados, la cohomología Čech difiere de la cohomología singular. Por ejemplo, si X es la curva sinusoidal del topólogo cerrado , entonces mientras que
Si X es un colector diferenciable y la tapade X es una "buena cobertura" ( es decir, todos los conjuntos U α son contraíbles hasta un punto, y todas las intersecciones finitas de conjuntos en están vacíos o contraíbles hasta cierto punto), entonces es isomorfo a la cohomología de De Rham.
Si X es compacto de Hausdorff, entonces la cohomología de Čech (con coeficientes en un grupo discreto) es isomorfa a la cohomología de Alexander-Spanier .
En geometría algebraica
La cohomología Čech se puede definir de manera más general para objetos en un sitio C dotado de una topología. Esto se aplica, por ejemplo, para el sitio o el sitio de Zariski etale de un esquema de X . La cohomología Čech con valores en alguna gavilla F se define como
donde el colimit corre sobre todos los revestimientos (con respecto a la topología elegida) de X . Aquíse define como arriba, excepto que las intersecciones r- pliegues de subconjuntos abiertos dentro del espacio topológico ambiental son reemplazadas por el producto de fibra r- pliegue
Como en la situación clásica de los espacios topológicos, siempre hay un mapa
de la cohomología Čech a la cohomología de gavillas . Siempre es un isomorfismo en grados n = 0 y 1, pero puede fallar en general. Para la topología de Zariski en un esquema separado de Noetherian , Čech y la cohomología de gavilla concuerdan para cualquier gavilla cuasi coherente . Para la topología de étale , las dos cohomologías concuerdan para cualquier gavilla de étale en X , siempre que cualquier conjunto finito de puntos de X esté contenido en algún subesquema afín abierto. Esto se cumple, por ejemplo, si X es cuasi proyectivo sobre un esquema afín . [2]
La posible diferencia entre la cohomología de Cech y la cohomología de gavilla es una motivación para el uso de hiperrevestimientos : estos son objetos más generales que el nervio de Cech.
Un hipercubrimiento K ∗ de X es un objeto simple en C , es decir, una colección de objetos K n junto con mapas de límites y degeneración. Al aplicar una gavilla F a K ∗ se obtiene un grupo abeliano simplicial F ( K ∗ ) cuyo n -ésimo grupo de cohomología se denota H n ( F ( K ∗ )). (Este grupo es el mismo queen caso de que K sea igual.) Entonces, se puede demostrar que existe un isomorfismo canónico
donde el colimit ahora pasa por todos los hipercortes. [3]
Ejemplos de
Por ejemplo, podemos calcular la cohomología de gavilla coherente de en la línea proyectiva utilizando el complejo Čech. Usando la cubierta
tenemos los siguientes módulos de la gavilla cotangente
Si tomamos las convenciones que luego obtenemos el complejo Čech
Desde es inyectivo y el único elemento que no está en la imagen de es lo conseguimos
Referencias
Notas al pie de la cita
- ^ Penrose, Roger (1992), "Sobre la cohomología de figuras imposibles", Leonardo , 25 (3/4): 245–247, doi : 10.2307 / 1575844. Reimpreso de Penrose, Roger (1991), "On the Cohomology of Impossible Figures / La Cohomologie des Figures Impossibles" , Structural Topology , 17 : 11–16 , consultado el 16 de enero de 2014
- ^ Milne, James S. (1980), Étale cohomology , Princeton Mathematical Series, 33 , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08238-7, MR 0559531, Sección III.2, Teorema 2.17
- ^ Artin, Michael ; Mazur, Barry (1969), Etale homotopy , Lecture Notes in Mathematics, No. 100, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag, Teorema 8.16
Referencias generales
- Bott, Raoul ; Loring Tu (1982). Formas diferenciales en topología algebraica . Nueva York: Springer. ISBN 0-387-90613-4.
- Hatcher, Allen (2002). Topología algebraica . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-79540-0.
- Wells, Raymond (1980). Análisis diferencial en colectores complejos . Springer-Verlag.ISBN 0-387-90419-0 . ISBN 3-540-90419-0 . Capítulo 2 Apéndice A