En geometría , un panal E 9 es una teselación de politopos uniformes en un espacio hiperbólico de 9 dimensiones., también (E 10 ) es un grupo hiperbólico paracompacto, por lo que las facetas o las figuras de vértice no estarán delimitadas.
E 10 es el último de la serie de grupos de Coxeter con un diagrama de Coxeter-Dynkin bifurcado de longitudes 6,2,1. Hay 1023 panales E 10 únicos por todas las combinaciones de su diagrama Coxeter-Dynkin . No hay panales regulares en la familia ya que su diagrama de Coxeter es un gráfico no lineal, pero hay tres más simples, con un solo anillo al final de sus 3 ramas: 6 21 , 2 61 , 1 62 .
6 21 panal
6 21 panal | |
---|---|
Familia | k 21 politopo |
Símbolo de Schläfli | {3,3,3,3,3,3,3 2,1 } |
Símbolo de coxeter | 6 21 |
Diagrama de Coxeter-Dynkin | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
9 caras | 6 11 ![]() {3 8 } ![]() |
8 caras | {3 7 } ![]() |
7 caras | {3 6 } ![]() |
6 caras | {3 5 } ![]() |
5 caras | {3 4 } ![]() |
4 caras | {3 3 } ![]() |
Células | {3 2 } ![]() |
Caras | {3} ![]() |
Figura de vértice | 5 21 |
Grupo de simetría | , [3 6,2,1 ] |
El panal 6 21 se construye a partir de facetas 9-simplex y 9-ortoplex alternas dentro de la simetría del grupo E 10 Coxeter.
Este panal es muy regular en el sentido de que su grupo de simetría (el grupo afín E 9 Weyl) actúa transitivamente sobre las k caras para k ≤ 7. Todas las k caras para k ≤ 8 son simples.
Este panal es el último en la serie de k 21 politopos , enumerados por Thorold Gosset en 1900, enumerando politopos y panales construidos completamente con facetas regulares, aunque su lista termina con el panal euclidiano en 8 dimensiones, 5 21 . [1]
Construcción
Es creado por una construcción de Wythoff sobre un conjunto de 10 espejos hiperplanos en un espacio hiperbólico de 9 dimensiones.
La información de las facetas se puede extraer de su diagrama de Coxeter-Dynkin .
Quitar el nodo en el extremo de la rama de 2 longitudes deja el 9-ortoplex , 7 11 .
Quitar el nodo en el extremo de la rama de 1 longitud deja el 9-simplex .
La figura del vértice se determina eliminando el nodo anillado y haciendo sonar el nodo vecino. Esto hace que el panal de 5 21 .
La figura del borde se determina a partir de la figura del vértice quitando el nodo anillado y haciendo sonar el nodo vecino. Esto hace que el politopo 4 21 .
La figura de la cara se determina a partir de la figura del borde quitando el nodo anillado y haciendo sonar el nodo vecino. Esto hace que el politopo 3 21 .
La figura de la celda se determina a partir de la figura de la cara eliminando el nodo anillado y haciendo sonar el nodo vecino. Esto hace que el politopo 2 21 .
Politopos y panales relacionados
El 6 21 es el último de una serie dimensional de politopos y panales semirregulares , identificados en 1900 por Thorold Gosset . Cada miembro de la secuencia tiene el miembro anterior como su figura de vértice . Todas las facetas de estos politopos son politopos regulares , a saber, símplex y ortoplejos .
k 21 cifras en n dimensional | |||||||||||
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Espacio | Finito | Euclidiana | Hiperbólico | ||||||||
E n | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |||
Grupo Coxeter | E 3 = UNA 2 UNA 1 | E 4 = A 4 | E 5 = D 5 | E 6 | E 7 | E 8 | E 9 == E 8 + | E 10 == E 8 ++ | |||
Diagrama de Coxeter | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |||
Simetría | [3 −1,2,1 ] | [3 0,2,1 ] | [3 1,2,1 ] | [3 2,2,1 ] | [3 3,2,1 ] | [3 4,2,1 ] | [3 5,2,1 ] | [3 6,2,1 ] | |||
Pedido | 12 | 120 | 1.920 | 51,840 | 2.903.040 | 696,729,600 | ∞ | ||||
Grafico | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | - | - | |||
Nombre | −1 21 | 0 21 | 1 21 | 2 21 | 3 21 | 4 21 | 5 21 | 6 21 |
2 61 panal
2 61 panal | |
---|---|
Familia | 2 k1 politopo |
Símbolo de Schläfli | {3,3,3 6,1 } |
Símbolo de coxeter | 2 61 |
Diagrama de Coxeter-Dynkin | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Tipos de 9 caras | 2 51 {3 7 } ![]() |
Tipos de 8 caras | 2 41![]() ![]() |
Tipos de 7 caras | 2 31![]() ![]() |
Tipos de 6 caras | 2 21![]() ![]() |
Tipos de 5 caras | 2 11![]() ![]() |
Tipo de 4 caras | {3 3 }![]() |
Células | {3 2 }![]() |
Caras | {3}![]() |
Figura de vértice | 1 61 ![]() |
Grupo Coxeter | , [3 6,2,1 ] |
El panal 2 61 está compuesto por facetas 2 51 9 panal y 9 simplex . Es la cifra final de la familia 2 k1 .
Construcción
Es creado por una construcción de Wythoff sobre un conjunto de 10 espejos hiperplanos en un espacio hiperbólico de 9 dimensiones.
La información de las facetas se puede extraer de su diagrama de Coxeter-Dynkin .
Quitar el nodo en la rama corta deja el 9-simplex .
Quitar el nodo en el extremo de la rama de 6 longitudes deja el panal de 2 51 . Esta es una faceta infinita porque E10 es un grupo hiperbólico paracompacto.
La figura del vértice se determina eliminando el nodo anillado y haciendo sonar el nodo vecino. Esto hace que el 9-demicube , 1 61 .
La figura del borde es la figura del vértice de la figura del borde. Esto hace que el rectificado 8-simplex , 0 51 .
La figura de la cara se determina a partir de la figura del borde quitando el nodo anillado y haciendo sonar el nodo vecino. Esto hace que el prisma 5-simplex .
Politopos y panales relacionados
El 2 61 es el último de una serie dimensional de politopos y panales uniformes .
2 k 1 cifras en n dimensiones | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Espacio | Finito | Euclidiana | Hiperbólico | ||||||||
norte | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |||
Grupo Coxeter | E 3 = UNA 2 UNA 1 | E 4 = A 4 | E 5 = D 5 | E 6 | E 7 | E 8 | E 9 == E 8 + | E 10 == E 8 ++ | |||
Diagrama de Coxeter | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |||
Simetría | [3 −1,2,1 ] | [3 0,2,1 ] | [[3 1,2,1 ]] | [3 2,2,1 ] | [3 3,2,1 ] | [3 4,2,1 ] | [3 5,2,1 ] | [3 6,2,1 ] | |||
Pedido | 12 | 120 | 384 | 51,840 | 2.903.040 | 696,729,600 | ∞ | ||||
Grafico | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | - | - | |||
Nombre | 2 −1,1 | 2 01 | 2 11 | 2 21 | 2 31 | 2 41 | 2 51 | 2 61 |
1 62 panal
1 62 panal | |
---|---|
Familia | 1 K2 politopo |
Símbolo de Schläfli | {3,3 6,2 } |
Símbolo de coxeter | 1 62 |
Diagrama de Coxeter-Dynkin | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Tipos de 9 caras | 1 52 , 1 61![]() |
Tipos de 8 caras | 1 42![]() ![]() |
Tipos de 7 caras | 1 32![]() ![]() |
Tipos de 6 caras | 1 22![]() ![]() {3 5 } ![]() |
Tipos de 5 caras | 1 21![]() ![]() |
Tipo de 4 caras | 1 11![]() ![]() |
Células | {3 2 }![]() |
Caras | {3}![]() |
Figura de vértice | t 2 {3 8 } ![]() |
Grupo Coxeter | , [3 6,2,1 ] |
El panal 1 62 contiene 1 52 (9 panales) y 1 61 9 facetas demicubos . Es la cifra final de la familia de politopos de 1 k2 .
Construcción
Es creado por una construcción de Wythoff sobre un conjunto de 10 espejos hiperplanos en un espacio de 9 dimensiones.
La información de las facetas se puede extraer de su diagrama de Coxeter-Dynkin .
Quitar el nodo en el extremo de la rama de 2 longitudes deja el 9-demicubo , 1 61 .
Quitar el nodo en el extremo de la rama de 6 longitudes deja el panal 1 52 .
La figura del vértice se determina eliminando el nodo anillado y haciendo sonar el nodo vecino. Esto hace que el 9-simplex birectificado , 0 62 .
Politopos y panales relacionados
El 1 62 es el último de una serie dimensional de politopos y panales uniformes .
Figuras de 1 k2 en n dimensiones | |||||||||||
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Espacio | Finito | Euclidiana | Hiperbólico | ||||||||
norte | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |||
Grupo Coxeter | E 3 = UNA 2 UNA 1 | E 4 = A 4 | E 5 = D 5 | E 6 | E 7 | E 8 | E 9 == E 8 + | E 10 == E 8 ++ | |||
Diagrama de Coxeter | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |||
Simetría (orden) | [3 −1,2,1 ] | [3 0,2,1 ] | [3 1,2,1 ] | [[3 2,2,1 ]] | [3 3,2,1 ] | [3 4,2,1 ] | [3 5,2,1 ] | [3 6,2,1 ] | |||
Pedido | 12 | 120 | 1.920 | 103.680 | 2.903.040 | 696,729,600 | ∞ | ||||
Grafico | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | - | - | |||
Nombre | 1 −1,2 | 1 02 | 1 12 | 1 22 | 1 32 | 1 42 | 1 52 | 1 62 |
Notas
- ^ Conway, 2008, La serie Gosset, p 413
Referencias
- Las simetrías de las cosas 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5 [1]
- Coxeter La belleza de la geometría: Doce ensayos , Publicaciones de Dover, 1999, ISBN 978-0-486-40919-1 (Capítulo 3: Construcción de Wythoff para politopos uniformes)
- Politopos regulares de Coxeter (1963), Macmillan Company
- Politopos regulares , tercera edición, (1973), edición de Dover, ISBN 0-486-61480-8 (Capítulo 5: El caleidoscopio)
- Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [2]
- (Documento 24) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi-regulares III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3 a 45]
Familia | Un n | B n | Yo 2 (p) / D n | E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2 | H n | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Polígono regular | Triángulo | Cuadrado | p-gon | Hexágono | Pentágono | |||||||
Poliedro uniforme | Tetraedro | Octaedro • Cubo | Demicubo | Dodecaedro • Icosaedro | ||||||||
Policoron uniforme | Pentacoron | 16 celdas • Tesseract | Demitesseract | 24 celdas | 120 celdas • 600 celdas | |||||||
5 politopos uniformes | 5 simplex | 5-ortoplex • 5-cubo | 5-demicubo | |||||||||
6 politopos uniformes | 6-simplex | 6 ortoplex • 6 cubos | 6-demicubo | 1 22 • 2 21 | ||||||||
7 politopos uniformes | 7-simplex | 7-ortoplex • 7-cubo | 7-demicubo | 1 32 • 2 31 • 3 21 | ||||||||
Politopo uniforme de 8 | 8 simplex | 8 ortoplex • 8 cubos | 8-demicubo | 1 42 • 2 41 • 4 21 | ||||||||
9 politopos uniformes | 9 simplex | 9-ortoplex • 9-cubo | 9-demicubo | |||||||||
Politopo uniforme 10 | 10-simplex | 10-ortoplex • 10-cubo | 10-demicubo | |||||||||
Uniforme n - politopo | n - simplex | n - ortoplejo • n - cubo | n - demicube | 1 k2 • 2 k1 • k 21 | n - politopo pentagonal | |||||||
Temas: familias Polytope • politopo regular • Lista de politopos regulares y compuestos |