En el campo matemático de la teoría de categorías , una alegoría es una categoría que tiene algo de la estructura de la categoría Rel de conjuntos y relaciones binarias entre ellos. Las alegorías pueden usarse como una abstracción de categorías de relaciones y, en este sentido, la teoría de las alegorías es una generalización del álgebra de relaciones a relaciones entre diferentes tipos. Las alegorías también son útiles para definir e investigar ciertas construcciones en la teoría de categorías, como las terminaciones exactas .
En este artículo adoptamos la convención de que los morfismos se componen de derecha a izquierda, por lo que RS significa "primero haz S , luego haz R ".
Definición
Una alegoría es una categoría en la que
- cada morfismo está asociado con una anti-involución , es decir, un morfismo con y y
- cada par de morfismos con dominio / codominio común está asociado con una intersección , es decir, un morfismo
todo tal que
- las intersecciones son idempotentes : conmutativo :y asociativo :
- anti-involución se distribuye sobre la intersección:
- la composición es semidistributiva sobre la intersección: y y
- se cumple la ley de modularidad:
Aquí, estamos abreviando usando el orden definido por la intersección: medio
Un primer ejemplo de alegoría es la categoría de conjuntos y relaciones . Los objetos de esta alegoría son conjuntos y un morfismoes una relación binaria entre X y Y . La composición de los morfismos es la composición de las relaciones , y la anti-involución dees la relación inversa : si y solo si . Intersección de morfismos es (teoría de conjuntos) de intersección de las relaciones.
Categorías y alegorías regulares
Alegorías de relaciones en categorías regulares
En una categoría C , una relación entre los objetos X e Y es un intervalo de morfismoseso es conjuntamente monic . Dos de esos tramos y se consideran equivalentes cuando existe un isomorfismo entre S y T que hacen que todo conmute; estrictamente hablando, las relaciones solo se definen hasta la equivalencia (se puede formalizar esto usando clases de equivalencia o usando bicategorías ). Si la categoría C tiene productos, una relación entre X e Y es lo mismo que un monomorfismo en X × Y (o una clase de equivalencia de los mismos ). En presencia de retrocesos y un sistema de factorización adecuado , se puede definir la composición de las relaciones. La composición se encuentra retirando primero el cospan y luego tomando la imagen conjunta-mónica del tramo resultante
La composición de las relaciones será asociativa si el sistema de factorización es adecuadamente estable. En este caso, se puede considerar una categoría Rel ( C ) , con los mismos objetos que C , pero donde los morfismos son relaciones entre los objetos. Las relaciones de identidad son las diagonales
Una categoría regular (una categoría con límites e imágenes finitos en la que las cubiertas son estables bajo retroceso) tiene un sistema de factorización epi / mono regular estable. La categoría de relaciones para una categoría regular es siempre una alegoría. La anti-involución se define girando la fuente / objetivo de la relación, y las intersecciones son intersecciones de subobjetos , calculadas por retroceso.
Mapas en alegorías y tabulaciones
Un morfismo R en una alegoría A se llama mapa si está completo y determinista Otra forma de decir esto es que un mapa es un morfismo que tiene un adjunto derecho en A cuando A es considerada, utilizando la estructura de orden local, como 2-categoría . Los mapas de una alegoría están cerrados bajo identidad y composición. Así, existe una subcategoría Mapa ( A ) de A con los mismos objetos pero solo los mapas como morfismos. Para una categoría C regular , hay un isomorfismo de categoríasEn particular, un morfismo en Map (Rel ( Set )) es solo una función de conjunto ordinaria .
En una alegoría, un morfismo está tabulado por un par de mapas y Si y Una alegoría se llama tabular si cada morfismo tiene una tabulación. Para una categoría C normal , la alegoría Rel ( C ) siempre es tabular. Por otro lado, para cualquier alegoría tabular A , la categoría Mapa ( A ) de mapas es una categoría localmente regular: tiene retrocesos, ecualizadores e imágenes que son estables bajo retroceso. Esto es suficiente para estudiar las relaciones en el Mapa ( A ) , y en este contexto,
Alegorías unitales y categorías regulares de mapas.
Una unidad en una alegoría es un objeto U para el cual la identidad es el morfismo más grandey tal que de cualquier otro objeto, existe una relación entera para U . Una alegoría con una unidad se llama unital . Dada una alegoría tabular A , la categoría Mapa ( A ) es una categoría regular (tiene un objeto terminal ) si y solo si A es unital.
Tipos de alegoría más sofisticados
Se pueden axiomatizar propiedades adicionales de las alegorías. Las alegorías distributivas tienen una operación de unión que se comporta adecuadamente y las alegorías de división tienen una generalización de la operación de división del álgebra de relaciones . Las alegorías de poder son alegorías de división distributiva con una estructura adicional similar a un conjunto de poderes . La conexión entre alegorías y categorías regulares se puede desarrollar en una conexión entre alegorías de poder y topos .
Referencias
- Peter Freyd , Andre Scedrov (1990). Categorías, Alegorías . Biblioteca de Matemáticas Vol 39. Holanda Septentrional . ISBN 978-0-444-70368-2.
- Peter Johnstone (2003). Bocetos de un elefante: un compendio de teoría de Topos . Publicaciones científicas de Oxford. OUP . ISBN 0-19-852496-X.