Geometría aritmética

Rama de la geometría algebraica centrada en problemas de teoría de números

Geometría
Proyectar una esfera a un plano
Esquema Historia
Sucursales Euclidiana No euclidiana Elíptico Esférico Hiperbólico Geometría no arquimediana Descriptivo Afín Sintético Analítico Algebraico Aritmética Diofantino Diferencial Riemanniano Simpléctico Diferencial discreto Complejo Finito Discreto / Combinatorio Digital Convexo Computacional Fractal Incidencia
Conceptos Características Dimensión Construcciones con regla y compás Ángulo Curva Diagonal Ortogonalidad ( perpendicular ) Paralelo Vértice Congruencia Semejanza Simetría
Dimensión cero Punto
Unidimensional Línea segmento rayo Largo
Bidimensional Plano Zona Polígono Triángulo Altitud Hipotenusa Teorema de pitágoras Paralelogramo Cuadrado Rectángulo Rombo Romboidal Cuadrilátero Trapezoide cometa Circulo Diámetro Circunferencia Zona
Tridimensional Volumen Cubo cuboides Cilindro Pirámide Esfera
Cuatro - / otras dimensiones Tesseract Hiperesfera
Geometros
por nombre Aida Aryabhata Ahmes Alhazen Apolonio Arquímedes Atiyah Baudhayana Bolyai Brahmagupta Cartan Coxeter Descartes Euclides Euler Gauss Gromov Hilbert Jyeṣṭhadeva Kātyāyana Khayyám Klein Lobachevsky Manava Minkowski Minggatu Pascal Pitágoras Parameshvara Poincaré Riemann Sakabe Sijzi al-Tusi Veblen Virasena Yang Hui al-Yasamin Zhang Lista de geómetras
por período AEC Ahmes Baudhayana Manava Pitágoras Euclides Arquímedes Apolonio 1-1400 Zhang Kātyāyana Aryabhata Brahmagupta Virasena Alhazen Sijzi Khayyám al-Yasamin al-Tusi Yang Hui Parameshvara 1400 a 1700 Jyeṣṭhadeva Descartes Pascal Minggatu Euler Sakabe Aida 1700-1900 Gauss Lobachevsky Bolyai Riemann Klein Poincaré Hilbert Minkowski Cartan Veblen Coxeter En la actualidad Atiyah Gromov
v t mi

La curva hiperelíptica definida por tiene solo un número finito de puntos racionales (como los puntos y ) por el teorema de Faltings .${\displaystyle y^{2}=x(x+1)(x-3)(x+2)(x-2)}$${\displaystyle (-2,0)}$${\displaystyle (-1,0)}$

En matemáticas, la geometría aritmética es aproximadamente la aplicación de técnicas desde la geometría algebraica a problemas de teoría de números . ^[1] La geometría aritmética se centra en la geometría diofántica , el estudio de puntos racionales de variedades algebraicas . ^{[2] [3]}

En términos más abstractos, la geometría aritmética se puede definir como el estudio de esquemas de tipo finito sobre el espectro del anillo de números enteros . ^[4]

Visión general

Los objetos clásicos de interés en geometría aritmética son puntos racionales: conjuntos de soluciones de un sistema de ecuaciones polinomiales sobre campos numéricos , campos finitos , campos p-ádicos o campos funcionales , es decir, campos que no son algebraicamente cerrados excluyendo los números reales . Los puntos racionales se pueden caracterizar directamente por funciones de altura que miden su complejidad aritmética. ^[5]

La estructura de las variedades algebraicas definidas sobre campos no algebraicamente cerrados se ha convertido en un área central de interés que surgió con el desarrollo abstracto moderno de la geometría algebraica. En campos finitos, la cohomología étale proporciona invariantes topológicos asociados a variedades algebraicas. ^{[6] La} teoría p-ádica de Hodge proporciona herramientas para examinar cuándo las propiedades cohomológicas de las variedades sobre los números complejos se extienden a las de los campos p-ádicos. ^[7]

Historia

Siglo XIX: geometría aritmética temprana

A principios del siglo XIX, Carl Friedrich Gauss observó que existen soluciones enteras distintas de cero a ecuaciones polinomiales homogéneas con coeficientes racionales si existen soluciones racionales distintas de cero. ^[8]

En la década de 1850, Leopold Kronecker formuló el teorema de Kronecker-Weber , introdujo la teoría de los divisores e hizo muchas otras conexiones entre la teoría de números y el álgebra . Luego conjeturó su " liebster Jugendtraum " ("el más querido sueño de la juventud"), una generalización que luego fue presentada por Hilbert en una forma modificada como su duodécimo problema , que describe el objetivo de que la teoría de números opere solo con anillos que son cocientes. de anillos polinomiales sobre los enteros. ^[9]

Principios y mediados del siglo XX: desarrollos algebraicos y conjeturas de Weil

A finales de la década de 1920, André Weil demostró conexiones profundas entre la geometría algebraica y la teoría de números con su trabajo doctoral que condujo al teorema de Mordell-Weil, que demuestra que el conjunto de puntos racionales de una variedad abeliana es un grupo abeliano generado finitamente . ^[10]

Los fundamentos modernos de la geometría algebraica se desarrollaron sobre la base del álgebra conmutativa contemporánea , incluida la teoría de la valoración y la teoría de los ideales de Oscar Zariski y otros en las décadas de 1930 y 1940. ^[11]

En 1949, André Weil planteó las conjeturas históricas de Weil sobre las funciones zeta locales de las variedades algebraicas sobre campos finitos. ^[12] Estas conjeturas ofrecieron un marco entre la geometría algebraica y la teoría de números que impulsó a Alexander Grothendieck a reformular los fundamentos haciendo uso de la teoría de la gavilla (junto con Jean-Pierre Serre ), y la teoría de esquemas posterior, en las décadas de 1950 y 1960. ^[13] Bernard Dwork demostró una de las cuatro conjeturas de Weil (racionalidad de la función zeta local) en 1960. ^[14]Grothendieck desarrolló la teoría de la cohomología étale para probar dos de las conjeturas de Weil (junto con Michael Artin y Jean-Louis Verdier ) en 1965. ^{[6] [15]} La última de las conjeturas de Weil (un análogo de la hipótesis de Riemann ) finalmente se probaría en 1974 por Pierre Deligne . ^[dieciséis]

De mediados a finales del siglo XX: desarrollos en modularidad, métodos p-ádicos y más allá

Entre 1956 y 1957, Yutaka Taniyama y Goro Shimura plantearon la conjetura de Taniyama-Shimura (ahora conocida como el teorema de modularidad) relacionando curvas elípticas con formas modulares . ^{[17] [18]} Esta conexión finalmente conduciría a la primera prueba del Último Teorema de Fermat en la teoría de números a través de técnicas de geometría algebraica de elevación de modularidad desarrolladas por Andrew Wiles en 1995. ^[19]

En la década de 1960, Goro Shimura introdujo las variedades Shimura como generalizaciones de curvas modulares . ^[20] Desde 1979, las variedades Shimura han jugado un papel crucial en el programa Langlands como un ámbito natural de ejemplos para probar conjeturas. ^[21]

En artículos de 1977 y 1978, Barry Mazur demostró la conjetura de torsión dando una lista completa de los posibles subgrupos de torsión de curvas elípticas sobre los números racionales. La primera demostración de Mazur de este teorema dependía de un análisis completo de los puntos racionales en ciertas curvas modulares . ^{[22] [23]} En 1996, Loïc Merel extendió la prueba de la conjetura de torsión a todos los campos numéricos . ^[24]

En 1983, Gerd Faltings demostró la conjetura de Mordell , demostrando que una curva de género mayor que 1 tiene sólo un número finito de puntos racionales (donde el teorema de Mordell-Weil sólo demuestra la generación finita del conjunto de puntos racionales en oposición a la finitud). ^{[25] [26]}

En 2001, la prueba de las conjeturas locales de Langlands para GL n se basó en la geometría de ciertas variedades de Shimura. ^[27]

En la década de 2010, Peter Scholze desarrolló espacios perfectos y nuevas teorías de cohomología en geometría aritmética sobre campos p-ádicos con aplicación a las representaciones de Galois y ciertos casos de la conjetura de monodromía de peso . ^{[28] [29]}

Ver también

• Dinámica aritmética
• Aritmética de variedades abelianas
• Conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer
• Módulos de curvas algebraicas
• Variedad modular Siegel
• Teorema de Siegel sobre puntos integrales

Referencias

1. Sutherland, Andrew V. (5 de septiembre de 2013). "Introducción a la geometría aritmética" (PDF) . Consultado el 22 de marzo de 2019 .
2. Klarreich, Erica (28 de junio de 2016). "Peter Scholze y el futuro de la geometría aritmética" . Consultado el 22 de marzo de 2019 .
3. Poonen, Bjorn (2009). "Introducción a la geometría aritmética" (PDF) . Consultado el 22 de marzo de 2019 .
4. Geometría aritmética en nLab
5. Lang, Serge (1997). Estudio de geometría diofántica . Springer-Verlag . págs. 43–67. ISBN 3-540-61223-8. Zbl  0869.11051 .
6. Grothendieck, Alexander (1960). "La teoría de la cohomología de variedades algebraicas abstractas" . Proc. Internat. Congreso de Matemáticas. (Edimburgo, 1958) . Prensa de la Universidad de Cambridge . págs. 103-118. Señor 0130879 . 
7. Serre, Jean-Pierre (1967). "Résumé des cours, 1965-1966". Annuaire du Collège de France . París: 49–58.
8. Mordell, Louis J. (1969). Ecuaciones diofánticas . Prensa académica. pag. 1. ISBN 978-0125062503.
9. Gowers, Timothy; Barrow-Green, junio; Líder, Imre (2008). El compañero de Princeton para las matemáticas . Prensa de la Universidad de Princeton. págs. 773–774. ISBN 978-0-691-11880-2.
10. A. Weil, L'arithmétique sur les courbes algébriques , Acta Math 52, (1929) p. 281-315, reimpreso en el volumen 1 de sus artículos recopilados ISBN 0-387-90330-5 . 
11. Zariski, Oscar (2004) [1935]. Abhyankar, Shreeram S .; Lipman, Joseph ; Mumford, David (eds.). Superficies algebraicas . Clásicos de las matemáticas (segunda ed. Complementada). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-58658-6. Señor  0469915 .
12. Weil, André (1949). "Números de soluciones de ecuaciones en campos finitos" . Boletín de la American Mathematical Society . 55 (5): 497–508. doi : 10.1090 / S0002-9904-1949-09219-4 . ISSN 0002-9904 . Señor 0029393 .  Reimpreso en Oeuvres Scientifiques / Collected Papers por André Weil ISBN 0-387-90330-5 
13. Serre, Jean-Pierre (1955). "Coherentes de Faisceaux Algebriques". Los anales de las matemáticas . 61 (2): 197–278. doi : 10.2307 / 1969915 . JSTOR 1969915 . 
14. Dwork, Bernard (1960). "Sobre la racionalidad de la función zeta de una variedad algebraica". Revista Estadounidense de Matemáticas . Revista Estadounidense de Matemáticas, vol. 82, núm. 3. 82 (3): 631–648. doi : 10.2307 / 2372974 . ISSN 0002-9327 . JSTOR 2372974 . Señor 0140494 .   
15. Grothendieck, Alexander (1995) [1965]. "Formule de Lefschetz et racionalité des fonctions L" . Séminaire Bourbaki . 9 . París: Société Mathématique de France . págs. 41–55. Señor 1608788 . 
16. Deligne, Pierre (1974). "La conjetura de Weil. I" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 43 (1): 273-307. doi : 10.1007 / BF02684373 . ISSN 1618-1913 . Señor 0340258 .  
17. Taniyama, Yutaka (1956). "Problema 12". Sugaku (en japonés). 7 : 269.
18. Shimura, Goro (1989). "Yutaka Taniyama y su tiempo. Recuerdos muy personales". El Boletín de la Sociedad Matemática de Londres . 21 (2): 186-196. doi : 10.1112 / blms / 21.2.186 . ISSN 0024-6093 . Señor 0976064 .  
19. Wiles, Andrew (1995). "Curvas elípticas modulares y último teorema de Fermat" (PDF) . Annals of Mathematics . 141 (3): 443–551. CiteSeerX 10.1.1.169.9076 . doi : 10.2307 / 2118559 . JSTOR 2118559 . OCLC 37032255 .    
20. Shimura, Goro (2003). Las obras completas de Goro Shimura . Springer Nature. ISBN 978-0387954158.
21. Langlands, Robert (1979). "Representaciones automórficas, variedades de Shimura y motivos. Ein Märchen" (PDF) . En Borel, Armand ; Casselman, William (eds.). Formas automórficas, representaciones y funciones L: Simposio en matemáticas puras . XXXIII Parte 1. Chelsea Publishing Company. págs. 205–246.
22. Mazur, Barry (1977). "Curvas modulares y el ideal de Eisenstein" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 47 (1): 33–186. doi : 10.1007 / BF02684339 . Señor 0488287 . 
23. Mazur, Barry (1978). con apéndice de Dorian Goldfeld . "Isogenias racionales de primer grado". Inventiones Mathematicae . 44 (2): 129-162. Código Bibliográfico : 1978InMat..44..129M . doi : 10.1007 / BF01390348 . Señor 0482230 . 
24. Merel, Loïc (1996). "Bornes pour la torsion des courbes elliptiques sur les corps de nombres" [Límites para la torsión de curvas elípticas sobre campos numéricos]. Inventiones Mathematicae (en francés). 124 (1): 437–449. Código Bibliográfico : 1996InMat.124..437M . doi : 10.1007 / s002220050059 . Señor 1369424 . 
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26. Faltings, Gerd (1984). "Errata: Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern" . Inventiones Mathematicae (en alemán). 75 (2): 381. doi : 10.1007 / BF01388572 . Señor 0732554 . 
27. Harris, Michael ; Taylor, Richard (2001). La geometría y cohomología de algunas variedades simples de Shimura . Anales de estudios matemáticos. 151 . Prensa de la Universidad de Princeton . ISBN 978-0-691-09090-0. Señor  1876802 .
28. "Medallas de campos 2018" . Unión Matemática Internacional . Consultado el 2 de agosto de 2018 .
29. Scholze, Peter. "Espacios perfectos: una encuesta" (PDF) . Universidad de Bonn . Consultado el 4 de noviembre de 2018 .