Este es un resumen de las reglas de diferenciación , es decir, reglas para calcular la derivada de una función en cálculo .
Reglas elementales de diferenciación A menos que se indique lo contrario, todas las funciones son funciones de números reales ( R ) que devuelven valores reales; aunque de manera más general, las fórmulas siguientes se aplican siempre que estén bien definidas [1] [2] , incluido el caso de los números complejos ( C ) . [3]
La diferenciación es lineal Para cualquier función F {\ Displaystyle f} y gramo {\ Displaystyle g} y cualquier número real a {\ Displaystyle a} y B {\ Displaystyle b} , la derivada de la función h ( X ) = a F ( X ) + B gramo ( X ) {\ Displaystyle h (x) = af (x) + bg (x)} con respecto a X {\ Displaystyle x} es
h ′ ( X ) = a F ′ ( X ) + B gramo ′ ( X ) . {\ Displaystyle h '(x) = af' (x) + bg '(x).} En la notación de Leibniz, esto se escribe como:
D ( a F + B gramo ) D X = a D F D X + B D gramo D X . {\ Displaystyle {\ frac {d (af + bg)} {dx}} = a {\ frac {df} {dx}} + b {\ frac {dg} {dx}}.} Los casos especiales incluyen:
La regla del factor constante ( a F ) ′ = a F ′ {\ displaystyle (af) '= af'} ( F + gramo ) ′ = F ′ + gramo ′ {\ displaystyle (f + g) '= f' + g '} ( F - gramo ) ′ = F ′ - gramo ′ . {\ Displaystyle (fg) '= f'-g'.} La regla del producto Para las funciones f y g , la derivada de la función h ( x ) = f ( x ) g ( x ) con respecto a x es
h ′ ( X ) = ( F gramo ) ′ ( X ) = F ′ ( X ) gramo ( X ) + F ( X ) gramo ′ ( X ) . {\ Displaystyle h '(x) = (fg)' (x) = f '(x) g (x) + f (x) g' (x).} En la notación de Leibniz esto está escrito
D ( F gramo ) D X = D F D X gramo + F D gramo D X . {\ Displaystyle {\ frac {d (fg)} {dx}} = {\ frac {df} {dx}} g + f {\ frac {dg} {dx}}.} La regla de la cadena La derivada de la función h ( X ) = F ( gramo ( X ) ) {\ Displaystyle h (x) = f (g (x))} es
h ′ ( X ) = F ′ ( gramo ( X ) ) ⋅ gramo ′ ( X ) . {\ Displaystyle h '(x) = f' (g (x)) \ cdot g '(x).} En la notación de Leibniz, esto se escribe como:
D D X h ( X ) = D D z F ( z ) | z = gramo ( X ) ⋅ D D X gramo ( X ) , {\ Displaystyle {\ frac {d} {dx}} h (x) = {\ frac {d} {dz}} f (z) | _ {z = g (x)} \ cdot {\ frac {d} {dx}} g (x),} a menudo resumido a
D h ( X ) D X = D F ( gramo ( X ) ) D gramo ( X ) ⋅ D gramo ( X ) D X . {\ Displaystyle {\ frac {dh (x)} {dx}} = {\ frac {df (g (x))} {dg (x)}} \ cdot {\ frac {dg (x)} {dx} }.} Centrándose en la noción de mapas, y el diferencial es un mapa D {\ Displaystyle {\ text {D}}} , esto está escrito de una manera más concisa como:
[ D ( F ∘ gramo ) ] X = [ D F ] gramo ( X ) ⋅ [ D gramo ] X . {\ Displaystyle [{\ text {D}} (f \ circ g)] _ {x} = [{\ text {D}} f] _ {g (x)} \ cdot [{\ text {D}} g] _ {x} \ ,.} La regla de la función inversa Si la función f tiene una función inversa g , lo que significa que gramo ( F ( X ) ) = X {\ Displaystyle g (f (x)) = x} y F ( gramo ( y ) ) = y , {\ Displaystyle f (g (y)) = y,} luego
gramo ′ = 1 F ′ ∘ gramo . {\ displaystyle g '= {\ frac {1} {f' \ circ g}}.} En notación de Leibniz, esto se escribe como
D X D y = 1 D y D X . {\ Displaystyle {\ frac {dx} {dy}} = {\ frac {1} {\ frac {dy} {dx}}}.}
Leyes de potencia, polinomios, cocientes y recíprocos La regla de potencia polinomial o elemental Si F ( X ) = X r {\ Displaystyle f (x) = x ^ {r}} , para cualquier número real r ≠ 0 , {\ Displaystyle r \ neq 0,} luego
F ′ ( X ) = r X r - 1 . {\ Displaystyle f '(x) = rx ^ {r-1}.} Cuándo r = 1 , {\ Displaystyle r = 1,} este se convierte en el caso especial de que si F ( X ) = X , {\ Displaystyle f (x) = x,} luego F ′ ( X ) = 1. {\ Displaystyle f '(x) = 1.}
La combinación de la regla de la potencia con la suma y las reglas de múltiplos constantes permite calcular la derivada de cualquier polinomio.
La regla recíproca La derivada de h ( X ) = 1 F ( X ) {\ Displaystyle h (x) = {\ frac {1} {f (x)}}} para cualquier función (que no desaparezca) f es:
h ′ ( X ) = - F ′ ( X ) ( F ( X ) ) 2 {\ Displaystyle h '(x) = - {\ frac {f' (x)} {(f (x)) ^ {2}}}} donde f es distinto de cero. En notación de Leibniz, esto está escrito
D ( 1 / F ) D X = - 1 F 2 D F D X . {\ displaystyle {\ frac {d (1 / f)} {dx}} = - {\ frac {1} {f ^ {2}}} {\ frac {df} {dx}}.} La regla recíproca puede derivarse de la regla del cociente o de la combinación de regla de potencia y regla de cadena.
La regla del cociente Si f y g son funciones, entonces:
( F gramo ) ′ = F ′ gramo - gramo ′ F gramo 2 {\ Displaystyle \ left ({\ frac {f} {g}} \ right) '= {\ frac {f'g-g'f} {g ^ {2}}} \ quad} donde g es distinto de cero. Esto puede derivarse de la regla del producto y la regla recíproca.
Regla de poder generalizada La regla de poder elemental se generaliza considerablemente. La regla de potencia más general es la regla de potencia funcional : para cualquier función f y g ,
( F gramo ) ′ = ( mi gramo en F ) ′ = F gramo ( F ′ gramo F + gramo ′ en F ) , {\ displaystyle (f ^ {g}) '= \ left (e ^ {g \ ln f} \ right)' = f ^ {g} \ left (f '{g \ sobre f} + g' \ ln f \ right), \ quad} siempre que ambos lados estén bien definidos. [4]
Casos especiales
Si F ( X ) = X a {\ textstyle f (x) = x ^ {a} \!} , luego F ′ ( X ) = a X a - 1 {\ textstyle f '(x) = ax ^ {a-1}} cuando a es cualquier número real distinto de cero y x es positivo. La regla recíproca puede derivarse como el caso especial en el que gramo ( X ) = - 1 {\ estilo de texto g (x) = - 1 \!} .
Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas D D X ( C a X ) = a C a X en C , C > 0 {\ Displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ left (c ^ {ax} \ right) = {ac ^ {ax} \ ln c}, \ qquad c> 0} la ecuación anterior es verdadera para todo c , pero la derivada para C < 0 {\ textstyle c <0} produce un número complejo.
D D X ( mi a X ) = a mi a X {\ Displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ left (e ^ {ax} \ right) = ae ^ {ax}} D D X ( Iniciar sesión C X ) = 1 X en C , C > 0 , C ≠ 1 {\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ left (\ log _ {c} x \ right) = {1 \ over x \ ln c}, \ qquad c> 0, c \ neq 1} la ecuación anterior también es cierta para todo c , pero produce un número complejo si C < 0 {\ textstyle c <0 \!} .
D D X ( en X ) = 1 X , X > 0. {\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ left (\ ln x \ right) = {1 \ over x}, \ qquad x> 0.} D D X ( en | X | ) = 1 X , X ≠ 0. {\ Displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ left (\ ln | x | \ right) = {1 \ over x}, \ qquad x \ neq 0.} D D X ( X X ) = X X ( 1 + en X ) . {\ Displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ left (x ^ {x} \ right) = x ^ {x} (1+ \ ln x).} D D X ( F ( X ) gramo ( X ) ) = gramo ( X ) F ( X ) gramo ( X ) - 1 D F D X + F ( X ) gramo ( X ) en ( F ( X ) ) D gramo D X , Si F ( X ) > 0 , y si D F D X y D gramo D X existe. {\ Displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ left (f (x) ^ {g (x)} \ right) = g (x) f (x) ^ {g (x) -1} {\ frac {df} {dx}} + f (x) ^ {g (x)} \ ln {(f (x))} {\ frac {dg} {dx}}, \ qquad {\ text {if}} f (x)> 0, {\ text {y if}} {\ frac {df} {dx}} {\ text {y}} {\ frac {dg} {dx}} {\ text {existen.}} } D D X ( F 1 ( X ) F 2 ( X ) ( . . . ) F norte ( X ) ) = [ ∑ k = 1 norte ∂ ∂ X k ( F 1 ( X 1 ) F 2 ( X 2 ) ( . . . ) F norte ( X norte ) ) ] | X 1 = X 2 = . . . = X norte = X , Si F I < norte ( X ) > 0 y {\ Displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ left (f_ {1} (x) ^ {f_ {2} (x) ^ {\ left (... \ right) ^ {f_ {n} ( x)}}} \ derecha) = \ izquierda [\ suma \ límites _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {\ parcial} {\ parcial x_ {k}}} \ izquierda (f_ {1} ( x_ {1}) ^ {f_ {2} (x_ {2}) ^ {\ left (... \ right) ^ {f_ {n} (x_ {n})}}} \ right) \ right] { \ biggr \ vert} _ {x_ {1} = x_ {2} = ... = x_ {n} = x}, {\ text {if}} f_ {i 0 {\ text { y }}} }> D F I D X existe. {\ displaystyle {\ frac {df_ {i}} {dx}} {\ text {existe. }}} Derivadas logarítmicas La derivada logarítmica es otra forma de establecer la regla para diferenciar el logaritmo de una función (usando la regla de la cadena):
( en F ) ′ = F ′ F {\ Displaystyle (\ ln f) '= {\ frac {f'} {f}} \ quad} donde f es positivo. La diferenciación logarítmica es una técnica que utiliza logaritmos y sus reglas de diferenciación para simplificar ciertas expresiones antes de aplicar la derivada. Los logaritmos se pueden usar para eliminar exponentes, convertir productos en sumas y convertir la división en resta, cada uno de los cuales puede conducir a una expresión simplificada para tomar derivadas.
Derivadas de funciones trigonométricas ( pecado X ) ′ = porque X {\ Displaystyle (\ sin x) '= \ cos x} ( arcos X ) ′ = 1 1 - X 2 {\ Displaystyle (\ arcsin x) '= {1 \ over {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}} ( porque X ) ′ = - pecado X {\ Displaystyle (\ cos x) '= - \ sin x} ( arccos X ) ′ = - 1 1 - X 2 {\ Displaystyle (\ arccos x) '= - {1 \ over {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}} ( broncearse X ) ′ = segundo 2 X = 1 porque 2 X = 1 + broncearse 2 X {\ Displaystyle (\ tan x) '= \ sec ^ {2} x = {1 \ over \ cos ^ {2} x} = 1 + \ tan ^ {2} x} ( arctan X ) ′ = 1 1 + X 2 {\ displaystyle (\ arctan x) '= {1 \ over 1 + x ^ {2}}} ( cuna X ) ′ = - csc 2 X = - 1 pecado 2 X = - ( 1 + cuna 2 X ) {\ Displaystyle (\ cot x) '= - \ csc ^ {2} x = - {1 \ over \ sin ^ {2} x} = - (1+ \ cot ^ {2} x)} ( arccot X ) ′ = - 1 1 + X 2 {\ displaystyle (\ operatorname {arccot} x) '= - {1 \ over 1 + x ^ {2}}} ( segundo X ) ′ = broncearse X segundo X {\ Displaystyle (\ sec x) '= \ tan x \ sec x} ( segundos de arco X ) ′ = 1 | X | X 2 - 1 {\ displaystyle (\ operatorname {arcsec} x) '= {1 \ over | x | {\ sqrt {x ^ {2} -1}}}} ( csc X ) ′ = - cuna X csc X {\ Displaystyle (\ csc x) '= - \ cot x \ csc x} ( arccsc X ) ′ = - 1 | X | X 2 - 1 {\ displaystyle (\ operatorname {arccsc} x) '= - {1 \ over | x | {\ sqrt {x ^ {2} -1}}}}
Es común definir adicionalmente una función tangente inversa con dos argumentos , arctan ( y , X ) {\ Displaystyle \ arctan (y, x) \!} . Su valor radica en el rango [ - π , π ] {\ Displaystyle [- \ pi, \ pi] \!} y refleja el cuadrante del punto ( X , y ) {\ Displaystyle (x, y) \!} . Para el primer y cuarto cuadrante (es decir, X > 0 {\ Displaystyle x> 0 \!} ) uno tiene arctan ( y , X > 0 ) = arctan ( y / X ) {\ Displaystyle \ arctan (y, x> 0) = \ arctan (y / x) \!} . Sus derivadas parciales son
∂ arctan ( y , X ) ∂ y = X X 2 + y 2 {\ displaystyle {\ frac {\ parcial \ arctan (y, x)} {\ parcial y}} = {\ frac {x} {x ^ {2} + y ^ {2}}}} , y ∂ arctan ( y , X ) ∂ X = - y X 2 + y 2 . {\ Displaystyle {\ frac {\ partial \ arctan (y, x)} {\ partial x}} = {\ frac {-y} {x ^ {2} + y ^ {2}}}.}
Derivadas de funciones hiperbólicas ( pecado X ) ′ = aporrear X = mi X + mi - X 2 {\ Displaystyle (\ sinh x) '= \ cosh x = {\ frac {e ^ {x} + e ^ {- x}} {2}}} ( arsinh X ) ′ = 1 X 2 + 1 {\ displaystyle (\ operatorname {arsinh} \, x) '= {1 \ over {\ sqrt {x ^ {2} +1}}}} ( aporrear X ) ′ = pecado X = mi X - mi - X 2 {\ Displaystyle (\ cosh x) '= \ sinh x = {\ frac {e ^ {x} -e ^ {- x}} {2}}} ( arcosh X ) ′ = 1 X 2 - 1 {\ displaystyle (\ operatorname {arcosh} \, x) '= {\ frac {1} {\ sqrt {x ^ {2} -1}}}} ( tanh X ) ′ = sech 2 X {\ displaystyle (\ tanh x) '= {\ operatorname {sech} ^ {2} \, x}} ( Artanh X ) ′ = 1 1 - X 2 {\ displaystyle (\ operatorname {artanh} \, x) '= {1 \ over 1-x ^ {2}}} ( coth X ) ′ = - csch 2 X {\ Displaystyle (\ operatorname {coth} \, x) '= - \, \ operatorname {csch} ^ {2} \, x} ( arcoth X ) ′ = - 1 X 2 - 1 = 1 1 - X 2 {\ displaystyle (\ operatorname {arcoth} \, x) '= - {1 \ over x ^ {2} -1} = {1 \ over 1-x ^ {2}}} ( sech X ) ′ = - tanh X sech X {\ Displaystyle (\ operatorname {sech} \, x) '= - \ tanh x \, \ operatorname {sech} \, x} ( arsech X ) ′ = - 1 X 1 - X 2 {\ displaystyle (\ operatorname {arsech} \, x) '= - {1 \ over x {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}} ( csch X ) ′ = - coth X csch X {\ displaystyle (\ operatorname {csch} \, x) '= - \, \ operatorname {coth} \, x \, \ operatorname {csch} \, x} ( arcsch X ) ′ = - 1 | X | 1 + X 2 {\ Displaystyle (\ operatorname {arcsch} \, x) '= - {1 \ over | x | {\ sqrt {1 + x ^ {2}}}}}
Consulte Funciones hiperbólicas para conocer las restricciones sobre estas derivadas.
Derivadas de funciones especiales Función Riemann Zeta ζ ( X ) = ∑ norte = 1 ∞ 1 norte X {\ Displaystyle \ quad \ zeta (x) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {x}}}} ζ ′ ( X ) = - ∑ norte = 1 ∞ en norte norte X = - en 2 2 X - en 3 3 X - en 4 4 X - ⋯ {\ Displaystyle \ zeta '(x) = - \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ ln n} {n ^ {x}}} = - {\ frac {\ ln 2} {2 ^ {x}}} - {\ frac {\ ln 3} {3 ^ {x}}} - {\ frac {\ ln 4} {4 ^ {x}}} - \ cdots} = - ∑ pag principal pag - X en pag ( 1 - pag - X ) 2 ∏ q principal , q ≠ pag 1 1 - q - X {\ Displaystyle \, = - \ sum _ {p {\ text {prime}}} {\ frac {p ^ {- x} \ ln p} {(1-p ^ {- x}) ^ {2}} } \ prod _ {q {\ text {prime}}, q \ neq p} {\ frac {1} {1-q ^ {- x}}}}
Derivadas de integrales Supongamos que se requiere diferenciar con respecto ax la función
F ( X ) = ∫ a ( X ) B ( X ) F ( X , t ) D t , {\ Displaystyle F (x) = \ int _ {a (x)} ^ {b (x)} f (x, t) \, dt,} donde las funciones F ( X , t ) {\ Displaystyle f (x, t)} y ∂ ∂ X F ( X , t ) {\ estilo de visualización {\ frac {\ parcial} {\ parcial x}} \, f (x, t)} son ambos continuos en ambos t {\ Displaystyle t} y X {\ Displaystyle x} en alguna región del ( t , X ) {\ Displaystyle (t, x)} avión, incluido a ( X ) ≤ t ≤ B ( X ) , {\ Displaystyle a (x) \ leq t \ leq b (x),} X 0 ≤ X ≤ X 1 {\ Displaystyle x_ {0} \ leq x \ leq x_ {1}} , y las funciones a ( X ) {\ Displaystyle a (x)} y B ( X ) {\ Displaystyle b (x)} son continuas y ambas tienen derivadas continuas para X 0 ≤ X ≤ X 1 {\ Displaystyle x_ {0} \ leq x \ leq x_ {1}} . Entonces para X 0 ≤ X ≤ X 1 {\ Displaystyle \, x_ {0} \ leq x \ leq x_ {1}} :
F ′ ( X ) = F ( X , B ( X ) ) B ′ ( X ) - F ( X , a ( X ) ) a ′ ( X ) + ∫ a ( X ) B ( X ) ∂ ∂ X F ( X , t ) D t . {\ Displaystyle F '(x) = f (x, b (x)) \, b' (x) -f (x, a (x)) \, a '(x) + \ int _ {a (x )} ^ {b (x)} {\ frac {\ parcial} {\ parcial x}} \, f (x, t) \; dt \ ,.} Esta fórmula es la forma general de la regla integral de Leibniz y se puede derivar usando el teorema fundamental del cálculo .
Derivadas al n- ésimo orden Existen algunas reglas para calcular la n - ésima derivada de funciones, donde n es un número entero positivo. Éstas incluyen:
La fórmula de Faà di Bruno Si f y g son n veces diferenciables, entonces
D norte D X norte [ F ( gramo ( X ) ) ] = norte ! ∑ { k metro } F ( r ) ( gramo ( X ) ) ∏ metro = 1 norte 1 k metro ! ( gramo ( metro ) ( X ) ) k metro {\ Displaystyle {\ frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} [f (g (x))] = n! \ sum _ {\ {k_ {m} \}} ^ {} f ^ {(r)} (g (x)) \ prod _ {m = 1} ^ {n} {\ frac {1} {k_ {m}!}} \ left (g ^ {(m)} (x ) \ right) ^ {k_ {m}}} dónde r = ∑ metro = 1 norte - 1 k metro {\ Displaystyle r = \ sum _ {m = 1} ^ {n-1} k_ {m}} y el set { k metro } {\ Displaystyle \ {k_ {m} \}} consta de todas las soluciones enteras no negativas de la ecuación diofántica ∑ metro = 1 norte metro k metro = norte {\ Displaystyle \ sum _ {m = 1} ^ {n} mk_ {m} = n} .
Regla general de Leibniz Si f y g son n veces diferenciables, entonces
D norte D X norte [ F ( X ) gramo ( X ) ] = ∑ k = 0 norte ( norte k ) D norte - k D X norte - k F ( X ) D k D X k gramo ( X ) {\ Displaystyle {\ frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} [f (x) g (x)] = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k}} {\ frac {d ^ {nk}} {dx ^ {nk}}} f (x) {\ frac {d ^ {k}} {dx ^ {k}}} g (x)}
Ver también
Referencias ^ Cálculo (5.a edición) , F. Ayres, E. Mendelson, Serie de esquema de Schaum, 2009, ISBN 978-0-07-150861-2 . ^ Cálculo avanzado (3.a edición) , R. Wrede, MR Spiegel, Serie del esquema de Schaum, 2010, ISBN 978-0-07-162366-7 . ^ Variables complejas , MR Speigel, S. Lipschutz, JJ Schiller, D. Spellman, Serie de esquemas de Schaum, McGraw Hill (Estados Unidos), 2009 ISBN 978-0-07-161569-3 ^ "La regla del exponente para derivados" . Bóveda de matemáticas . 2016-05-21 . Consultado el 25 de julio de 2019 .
Fuentes y lectura adicional Estas reglas se dan en muchos libros, tanto sobre cálculo elemental como avanzado, en matemáticas puras y aplicadas. Los de este artículo (además de las referencias anteriores) se pueden encontrar en:
Manual matemático de fórmulas y tablas (3a edición) , S. Lipschutz, MR Spiegel, J. Liu, Schaum's Outline Series, 2009, ISBN 978-0-07-154855-7 .The Cambridge Handbook of Physics Formulas , G. Woan, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-57507-2 .Métodos matemáticos para la física y la ingeniería , KF Riley, MP Hobson, SJ Bence, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-86153-3Manual de funciones matemáticas del NIST , FWJ Olver, DW Lozier, RF Boisvert, CW Clark, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-19225-5 .
enlaces externos