Este es un resumen de las reglas de diferenciación , es decir, reglas para calcular la derivada de una función en cálculo .
Contenido
1 Reglas elementales de diferenciación
1.1 La diferenciación es lineal
1.2 La regla del producto
1.3 La regla de la cadena
1.4 La regla de la función inversa
2 Leyes de potencia, polinomios, cocientes y recíprocos
2.1 La regla del polinomio o potencia elemental
2.2 La regla recíproca
2.3 La regla del cociente
2.4 Regla de potencia generalizada
3 Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas
3.1 Derivadas logarítmicas
4 Derivadas de funciones trigonométricas
5 Derivadas de funciones hiperbólicas
6 Derivadas de funciones especiales
7 Derivadas de integrales
8 Los derivados a N º orden
8.1 Fórmula de Faà di Bruno
8.2 Regla general de Leibniz
9 Véase también
10 referencias
11 Fuentes y lecturas adicionales
12 Enlaces externos
Reglas elementales de diferenciación
A menos que se indique lo contrario, todas las funciones son funciones de números reales ( R ) que devuelven valores reales; aunque de manera más general, las fórmulas siguientes se aplican siempre que estén bien definidas [1] [2] , incluido el caso de los números complejos ( C ) . [3]
La diferenciación es lineal
Para cualquier función y cualquier número real y , la derivada de la función con respecto a es
En la notación de Leibniz, esto se escribe como:
Los casos especiales incluyen:
La regla del factor constante
La regla de la suma
La regla de la resta
La regla del producto
Artículo principal: Regla de producto
Para las funciones f y g , la derivada de la función h ( x ) = f ( x ) g ( x ) con respecto a x es
En la notación de Leibniz esto está escrito
La regla de la cadena
Artículo principal: regla de la cadena
La derivada de la función es
En la notación de Leibniz, esto se escribe como:
a menudo resumido a
Centrándonos en la noción de mapas, y siendo el diferencial un mapa , esto se escribe de una manera más concisa como:
La regla de la función inversa
Artículo principal: Funciones inversas y diferenciación.
Si la función f tiene una función inversa g , lo que significa que y luego
En notación de Leibniz, esto se escribe como
Leyes de potencia, polinomios, cocientes y recíprocos
La regla de potencia polinomial o elemental
Artículo principal: regla de poder
Si , para cualquier número real, entonces
Cuando este se convierte en el caso especial de que si entonces
La combinación de la regla de la potencia con la suma y las reglas de múltiplos constantes permite calcular la derivada de cualquier polinomio.
La regla recíproca
Artículo principal: regla recíproca
La derivada de para cualquier función f (que no desaparece) es:
donde f es distinto de cero.
En notación de Leibniz, esto está escrito
La regla recíproca puede derivarse de la regla del cociente o de la combinación de regla de potencia y regla de cadena.
La regla del cociente
Artículo principal: regla del cociente
Si f y g son funciones, entonces:
donde g es distinto de cero.
Esto puede derivarse de la regla del producto y la regla recíproca.
Regla de poder generalizada
Artículo principal: regla de poder
La regla de poder elemental se generaliza considerablemente. La regla de potencia más general es la regla de potencia funcional : para cualquier función f y g ,
siempre que ambos lados estén bien definidos. [4]
Casos especiales
Si , entonces cuando a es cualquier número real distinto de cero y x es positivo.
La regla recíproca puede derivarse como el caso especial donde .
Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas
la ecuación anterior es verdadera para todo c , pero la derivada de produce un número complejo.
la ecuación anterior también es cierta para todo c , pero produce un número complejo si .
donde está la función Lambert W
Derivadas logarítmicas
La derivada logarítmica es otra forma de establecer la regla para diferenciar el logaritmo de una función (usando la regla de la cadena):
donde f es positivo.
La diferenciación logarítmica es una técnica que utiliza logaritmos y sus reglas de diferenciación para simplificar ciertas expresiones antes de aplicar la derivada. Los logaritmos se pueden usar para eliminar exponentes, convertir productos en sumas y convertir la división en resta, cada uno de los cuales puede conducir a una expresión simplificada para tomar derivadas.
Derivadas de funciones trigonométricas
Artículo principal: Diferenciación de funciones trigonométricas.
Es común para definir adicionalmente una función tangente inversa con dos argumentos , . Su valor se encuentra en el rango y refleja el cuadrante del punto . Para el primer y cuarto cuadrante (es decir ) uno tiene . Sus derivadas parciales son
, y
Derivadas de funciones hiperbólicas
Consulte Funciones hiperbólicas para conocer las restricciones sobre estas derivadas.
Derivadas de funciones especiales
Función gamma
con siendo la función digamma , expresada por la expresión entre paréntesis a la derecha de la línea anterior.
Función Riemann Zeta
Derivadas de integrales
Artículo principal: Diferenciación bajo el signo integral
Supongamos que se requiere diferenciar con respecto ax la función
donde las funciones y son continuas en ambos y en alguna región del plano, incluida , y las funciones y son continuas y ambas tienen derivadas continuas para . Entonces para :
Esta fórmula es la forma general de la regla integral de Leibniz y se puede derivar usando el teorema fundamental del cálculo .
Derivadas al n- ésimo orden
Existen algunas reglas para calcular la n - ésima derivada de funciones, donde n es un número entero positivo. Éstas incluyen:
La fórmula de Faà di Bruno
Artículo principal: Fórmula de Faà di Bruno
Si f y g son n veces diferenciables, entonces
donde y el conjunto consta de todas las soluciones enteras no negativas de la ecuación diofántica .
Regla general de Leibniz
Artículo principal: regla general de Leibniz
Si f y g son n veces diferenciables, entonces
Ver también
Identidades de cálculo vectorial
Función diferenciable
Diferencial de una función
Lista de funciones matemáticas
Funciones trigonométricas
Funciones trigonométricas inversas
Funciones hiperbólicas
Funciones hiperbólicas inversas
Cálculo de matrices
Diferenciación bajo el signo integral
Referencias
^ Cálculo (5.a edición) , F. Ayres, E. Mendelson, Serie de esquema de Schaum, 2009, ISBN 978-0-07-150861-2 .
^ Cálculo avanzado (tercera edición) , R. Wrede, MR Spiegel, Serie de esquema de Schaum, 2010, ISBN 978-0-07-162366-7 .
^ Variables complejas , MR Speigel, S. Lipschutz, JJ Schiller, D. Spellman, Serie de esquemas de Schaum, McGraw Hill (EE. UU.), 2009, ISBN 978-0-07-161569-3
^ "La regla del exponente para derivados" . Bóveda de matemáticas . 2016-05-21 . Consultado el 25 de julio de 2019 .
Fuentes y lectura adicional
Estas reglas se dan en muchos libros, tanto sobre cálculo elemental como avanzado, en matemáticas puras y aplicadas. Los de este artículo (además de las referencias anteriores) se pueden encontrar en:
Manual matemático de fórmulas y tablas (tercera edición) , S. Lipschutz, MR Spiegel, J. Liu, Schaum's Outline Series, 2009, ISBN 978-0-07-154855-7 .
The Cambridge Handbook of Physics Formulas , G. Woan, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-57507-2 .
Métodos matemáticos para la física y la ingeniería , KF Riley, MP Hobson, SJ Bence, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-86153-3
Manual de funciones matemáticas del NIST , FWJ Olver, DW Lozier, RF Boisvert, CW Clark, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-19225-5 .
enlaces externos
Recursos de la biblioteca sobre reglas de diferenciación
Recursos en tu biblioteca
Calculadora de derivadas con simplificación de fórmulas