Doble negación

Este artículo trata sobre el concepto lógico. Para el concepto lingüístico, vea doble negativo .

Reglas de transformación
Cálculo proposicional
Reglas de inferencia
Introducción  / eliminación de implicaciones ( modus ponens ) Introducción  / eliminación bicondicional Introducción  / eliminación de conjunción Introducción  / eliminación de disyunción Silogismo disyuntivo  / hipotético Dilema constructivo  / destructivo Absorción  / modus tollens  / modus ponendo tollens
Reglas de reemplazo
Asociatividad Conmutatividad Distributividad Doble negación Leyes de de Morgan Transposición Implicación material Exportación Tautología Introducción a la negación
Lógica de predicados
Generalización  / instanciación universal Generalización existencial  / instanciación
v t mi

En lógica proposicional , la doble negación es el teorema que establece que "Si un enunciado es verdadero, entonces no es cierto que el enunciado no sea verdadero". Esto se expresa diciendo que una proposición A es lógicamente equivalente a no (no-A ), o por la fórmula A ≡ ~ (~ A) donde el signo ≡ expresa equivalencia lógica y el signo ~ expresa negación . ^[1]

Como la ley del medio excluido , este principio se considera una ley del pensamiento en la lógica clásica , ^[2] pero la lógica intuicionista lo rechaza . ^[3] El principio fue establecido como un teorema de lógica proposicional por Russell y Whitehead en Principia Mathematica como:

${\displaystyle \mathbf {*4\cdot 13} .\ \ \vdash .\ p\ \equiv \ \thicksim (\thicksim p)}$^[4]

"Este es el principio de la doble negación, es decir , una proposición es equivalente a la falsedad de su negación".

Eliminación e introducción

Eliminación doble negación y la introducción de la doble negación son dos válidos reglas de sustitución . Son las inferencias de que si A es verdadero, entonces no no-A es verdadero y su inverso , si no no-A es verdadero, entonces A es verdadero. La regla permite introducir o eliminar una negación de una prueba formal . La regla se basa en la equivalencia de, por ejemplo, Es falso que no llueva. y está lloviendo.

La regla de introducción de la doble negación es:

P P${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle \neg }$${\displaystyle \neg }$

y la regla de eliminación de la doble negación es:

${\displaystyle \neg }$${\displaystyle \neg }$P P${\displaystyle \Rightarrow }$

Donde " " es un símbolo metalológico que representa "se puede reemplazar en una prueba con".${\displaystyle \Rightarrow }$

En lógicas que tienen ambas reglas, la negación es una involución .

Notación formal

La regla de introducción de la doble negación se puede escribir en notación secuencial :

${\displaystyle P\vdash \neg \neg P}$

La regla de eliminación de la doble negación se puede escribir como:

${\displaystyle \neg \neg P\vdash P}$

En forma de regla :

${\displaystyle {\frac {P}{\neg \neg P}}}$

y

${\displaystyle {\frac {\neg \neg P}{P}}}$

o como una tautología (oración simple de cálculo proposicional):

${\displaystyle P\to \neg \neg P}$

y

${\displaystyle \neg \neg P\to P}$

Estos se pueden combinar en una sola fórmula bicondicional:

${\displaystyle \neg \neg P\leftrightarrow P}$.

Dado que la bicondicionalidad es una relación de equivalencia , cualquier instancia de ¬¬ A en una fórmula bien formada se puede reemplazar por A , dejando sin cambios el valor de verdad de la fórmula bien formada.

La eliminación doble negativa es un teorema de la lógica clásica , pero no de las lógicas más débiles como la lógica intuicionista y la lógica mínima . La introducción de la doble negación es un teorema tanto de lógica intuicionista como de lógica mínima, tal cual .${\displaystyle \neg \neg \neg A\vdash \neg A}$

Debido a su carácter constructivo, una afirmación como No es el caso de que no esté lloviendo es más débil que Está lloviendo. El último requiere una prueba de lluvia, mientras que el primero simplemente requiere una prueba de que la lluvia no sería contradictoria. Esta distinción también surge en el lenguaje natural en forma de litotes .

Pruebas

En el sistema de cálculo proposicional clásico

En los sistemas deductivos al estilo de Hilbert para la lógica proposicional, la doble negación no siempre se toma como un axioma (ver la lista de sistemas de Hilbert ), y es más bien un teorema. Describimos una demostración de este teorema en el sistema de tres axiomas propuesto por Jan Łukasiewicz :

A1. ${\displaystyle \phi \to \left(\psi \to \phi \right)}$

A2. ${\displaystyle \left(\phi \to \left(\psi \rightarrow \xi \right)\right)\to \left(\left(\phi \to \psi \right)\to \left(\phi \to \xi \right)\right)}$

A3. ${\displaystyle \left(\lnot \phi \to \lnot \psi \right)\to \left(\psi \to \phi \right)}$

Usamos el lema probado aquí , al que nos referimos como (L1), y usamos el siguiente lema adicional, probado aquí :${\displaystyle p\to p}$

(L2) ${\displaystyle p\to ((p\to q)\to q)}$

Primero probamos . Para abreviar, denotamos por φ ₀ . También usamos repetidamente el método del metateorema del silogismo hipotético como una forma abreviada de varios pasos de prueba.${\displaystyle \neg \neg p\to p}$${\displaystyle q\to (r\to q)}$

(1)       (instancia de (A1))${\displaystyle \varphi _{0}}$

(2)       (instancia de (A3))${\displaystyle (\neg \neg \varphi _{0}\to \neg \neg p)\to (\neg p\to \neg \varphi _{0})}$

(3)       (instancia de (A3))${\displaystyle (\neg p\to \neg \varphi _{0})\to (\varphi _{0}\to p)}$

(4)       (de (2) y (3) por el metateorema del silogismo hipotético)${\displaystyle (\neg \neg \varphi _{0}\to \neg \neg p)\to (\varphi _{0}\to p)}$

(5)       (instancia de (A1))${\displaystyle \neg \neg p\to (\neg \neg \varphi _{0}\to \neg \neg p)}$

(6)       (de (4) y (5) por el metateorema del silogismo hipotético)${\displaystyle \neg \neg p\to (\varphi _{0}\to p)}$

(7)       (instancia de (L2))${\displaystyle \varphi _{0}\to ((\varphi _{0}\to p)\to p)}$

(8)       (de (1) y (7) por modus ponens)${\displaystyle (\varphi _{0}\to p)\to p}$

(9)       (de (6) y (8) por el metateorema del silogismo hipotético)${\displaystyle \neg \neg p\to p}$

Ahora probamos .${\displaystyle p\to \neg \neg p}$

(1)       (ejemplo de la primera parte del teorema que acabamos de demostrar)${\displaystyle \neg \neg \neg p\to \neg p}$

(2)       (instancia de (A3))${\displaystyle (\neg \neg \neg p\to \neg p)\to (p\to \neg \neg p)}$

(3)       (de (1) y (2) por modus ponens)${\displaystyle p\to \neg \neg p}$

Y la prueba está completa.

Ver también

• Traducción negativa de Gödel – Gentzen

Referencias

1. O simbolismo alternativo como A ↔ ¬ (¬A) o Kleene * 49 ^o : A ∾ ¬¬A (Kleene 1952: 119; en el original Kleene usa una tilde alargada para la equivalencia lógica, aproximada aquí con una "S perezosa ".)
2. Hamilton está discutiendo a Hegel de la siguiente manera: "En los sistemas filosóficos más recientes, la universalidad y necesidad del axioma de la Razón ha sido, con otras leyes lógicas, controvertida y rechazada por especuladores sobre el absoluto. [ Sobre el principio de doble negación". como otra ley del pensamiento , ver Fries, Logik , §41, p. 190; Calker, Denkiehre odor Logic und Dialecktik , §165, p. 453; Beneke, Lehrbuch der Logic , §64, p. 41.] "(Hamilton 1860: 68)
3. La ^o de la fórmula de Kleene * 49 ^o indica que "la demostración no es válida para ambos sistemas [sistema clásico y sistema intuicionista]", Kleene 1952: 101.
4. PM 1952 reimpresión de la 2a edición de 1927 páginas 101-102, página 117.

Bibliografía

• William Hamilton , 1860, Conferencias sobre metafísica y lógica, vol. II. Lógica; Editado por Henry Mansel y John Veitch , Boston, Gould y Lincoln.
• Christoph Sigwart , 1895, Lógica: juicio, concepto e inferencia; Segunda edición, traducida por Helen Dendy , Macmillan & Co. Nueva York.
• Stephen C. Kleene , 1952, Introducción a las metamatemáticas , sexta reimpresión con correcciones 1971, North-Holland Publishing Company, Amsterdam NY, ISBN  0-7204-2103-9 .
• Stephen C. Kleene , 1967, Lógica matemática , edición de Dover 2002, Publicaciones de Dover, Inc, Mineola NY ISBN 0-486-42533-9 
• Alfred North Whitehead y Bertrand Russell , Principia Mathematica hasta * 56 , 2da edición 1927, reimpresión 1962, Cambridge en University Press.