En el campo matemático de la teoría de la representación , un polinomio de Kazhdan-Lusztig es miembro de una familia de polinomios integrales introducidos por David Kazhdan y George Lusztig ( 1979 ). Están indexados por pares de elementos y , w de un grupo de Coxeter W , que en particular puede ser el grupo de Weyl de un grupo de Lie .
Motivación e historia
En la primavera de 1978, Kazhdan y Lusztig estaban estudiando las representaciones de Springer del grupo de Weyl de un grupo algebraico en-grupos de cohomología ácida relacionados con clases de conjugación unipotente. Encontraron una nueva construcción de estas representaciones sobre los números complejos ( Kazhdan & Lusztig 1980a ). La representación tenía dos bases naturales, y la matriz de transición entre estas dos bases está dada esencialmente por los polinomios de Kazhdan-Lusztig. La construcción real de Kazhdan-Lusztig de sus polinomios es más elemental. Kazhdan y Lusztig usaron esto para construir una base canónica en el álgebra de Hecke del grupo Coxeter y sus representaciones.
En su primer artículo, Kazhdan y Lusztig mencionaron que sus polinomios estaban relacionados con el fracaso de la dualidad local de Poincaré para las variedades Schubert . En Kazhdan y Lusztig (1980b) reinterpretaron esto en términos de la cohomología de intersección de Mark Goresky y Robert MacPherson , y dieron otra definición de tal base en términos de las dimensiones de ciertos grupos de cohomología de intersección.
Las dos bases para la representación de Springer recordaron a Kazhdan y Lusztig las dos bases para el grupo de Grothendieck de ciertas representaciones dimensionales infinitas de álgebras de Lie semisimple, dadas por módulos Verma y módulos simples . Esta analogía, y el trabajo de Jens Carsten Jantzen y Anthony Joseph que relacionan los ideales primitivos de las álgebras envolventes con las representaciones de los grupos de Weyl, llevaron a las conjeturas de Kazhdan-Lusztig.
Definición
Arregle un grupo Coxeter W con grupo electrógeno S y escribapara la longitud de un elemento w (la longitud más pequeña de una expresión para w como producto de los elementos de S ). El álgebra de Hecke de W tiene una base de elementos por sobre el anillo , con la multiplicación definida por
La segunda relación cuadrática implica que cada generador T s es invertible en el álgebra de Hecke, con inversa T s -1 = q -1 T s + q -1 - 1 . Estos inversos satisfacen la relación ( T s −1 + 1) ( T s −1 - q −1 ) = 0 (obtenido al multiplicar la relación cuadrática para T s por −T s −2 q −1 ), y también la trenza relaciones . De esto se deduce que el álgebra de Hecke tiene un automorfismo D que envía q 1/2 a q −1/2 y cada T s a T s −1 . De manera más general, uno tiene; también D puede verse como una involución.
Los polinomios de Kazhdan-Lusztig P yw ( q ) están indexados por un par de elementos y , w de W , y están determinados de forma única por las siguientes propiedades.
- Son 0 a menos que y ≤ w (en el orden de Bruhat de W ), 1 si y = w , y para y < w su grado es como máximo ( ℓ ( w ) - ℓ ( y ) - 1) / 2.
- Los elementos
- son invariantes bajo la involución D del álgebra de Hecke. Los elementos forman una base del álgebra de Hecke como un -módulo, llamado base Kazhdan – Lusztig.
Para establecer la existencia de los polinomios de Kazhdan-Lusztig, Kazhdan y Lusztig dieron un procedimiento recursivo simple para calcular los polinomios P yw ( q ) en términos de polinomios más elementales denominados R yw ( q ). definido por
Se pueden calcular utilizando las relaciones de recursividad.
Los polinomios de Kazhdan-Lusztig se pueden calcular de forma recursiva utilizando la relación
usando el hecho de que los dos términos de la izquierda son polinomios en q 1/2 y q −1/2 sin términos constantes . Estas fórmulas son tediosas de usar a mano para rangos superiores a aproximadamente 3, pero están bien adaptadas para computadoras, y el único límite para calcular polinomios Kazhdan-Lusztig con ellas es que para rangos grandes el número de tales polinomios excede la capacidad de almacenamiento de computadoras. .
Ejemplos de
- Si y ≤ w entonces P y , w tiene un término constante 1.
- Si y ≤ w y ℓ ( w ) - ℓ ( y ) ∈ {0, 1, 2} entonces P y , w = 1.
- Si w = w 0 es el elemento más largo de un grupo Coxeter finito, entonces P y , w = 1 para todo y .
- Si W es el grupo Coxeter A 1 o A 2 (o más generalmente cualquier grupo Coxeter de rango como máximo 2), entonces P y , w es 1 si y ≤ w y 0 en caso contrario.
- Si W es el grupo de Coxeter A 3 con la generación de conjunto S = { a , b , c } con una y c desplazamientos entonces P b , BACB = 1 + q y P ac , ACBCA = 1 + q , dando ejemplos de no constante polinomios.
- Los valores simples de los polinomios de Kazhdan-Lusztig para grupos de rango bajo no son típicos de grupos de rango superior. Por ejemplo, para la forma dividida de E 8, el polinomio de Lusztig-Vogan más complicado (una variación de los polinomios de Kazhdan-Lusztig: ver más abajo) es
- Polo (1999) mostró que cualquier polinomio con término constante 1 y coeficientes enteros no negativos es el polinomio Kazhdan-Lusztig para algún par de elementos de algún grupo simétrico.
Conjeturas de Kazhdan-Lusztig
Los polinomios de Kazhdan-Lusztig surgen como coeficientes de transición entre su base canónica y la base natural del álgebra de Hecke. El artículo de Inventiones también planteó dos conjeturas equivalentes, conocidas ahora como conjeturas de Kazhdan-Lusztig, que relacionaban los valores de sus polinomios en 1 con representaciones de grupos de Lie semisimples complejos y álgebras de Lie , abordando un problema de larga data en la teoría de la representación.
Sea W un grupo de Weyl finito . Para cada w ∈ W denotado por M w sea el módulo Verma de mayor peso - w ( ρ ) - ρ donde ρ es la mitad de la suma de raíces positivas (o vector de Weyl ), y sea L w su cociente irreducible, el simple módulo de mayor peso de mayor peso - w ( ρ ) - ρ . Tanto M w como L w son módulos de peso localmente finitos sobre el álgebra de Lie compleja semisimple g con el grupo de Weyl W , y por lo tanto admiten un carácter algebraico . Vamos a escribir CH ( X ) para el carácter de un g -módulo X . Las conjeturas de Kazhdan-Lusztig afirman:
donde w 0 es el elemento de longitud máxima del grupo Weyl.
Alexander Beilinson y Joseph Bernstein ( 1981 ) y Jean-Luc Brylinski y Masaki Kashiwara ( 1981 ) demostraron estas conjeturas sobre los campos característicos 0 algebraicamente cerrados independientemente . Los métodos introducidos en el curso de la demostración han guiado el desarrollo de la teoría de la representación a lo largo de los años ochenta y noventa, bajo el nombre de teoría de la representación geométrica .
Observaciones
1. Se sabe que las dos conjeturas son equivalentes. Además, el principio de traducción de Borho-Jantzen implica que w ( ρ ) - ρ puede ser reemplazado por w ( λ + ρ ) - ρ para cualquier peso integral dominante λ . Por lo tanto, las conjeturas de Kazhdan-Lusztig describen las multiplicidades de Jordan-Hölder de los módulos de Verma en cualquier bloque integral regular de la categoría O de Bernstein-Gelfand-Gelfand .
2. Una interpretación similar de todos los coeficientes de los polinomios de Kazhdan-Lusztig se desprende de la conjetura de Jantzen , que dice a grandes rasgos que los coeficientes individuales de P y, w son multiplicidades de L y en cierto subquotiente del módulo Verma determinado por una filtración canónica, el Jantzen filtración . La conjetura de Jantzen en caso integral regular se demostró en un artículo posterior de Beilinson y Bernstein ( 1993 ).
3. David Vogan mostró como consecuencia de las conjeturas que
y que Ext j ( M y , L w ) desaparece si j + ℓ ( w ) + ℓ ( y ) es impar, por lo que las dimensiones de todos esos grupos Ext en la categoría O se determinan en términos de coeficientes de polinomios Kazhdan – Lusztig. Este resultado demuestra que todos los coeficientes de los polinomios de Kazhdan-Lusztig de un grupo de Weyl finito son números enteros no negativos. Sin embargo, la positividad para el caso de un grupo de Weyl finito W ya se conocía a partir de la interpretación de los coeficientes de los polinomios de Kazhdan-Lusztig como las dimensiones de los grupos de cohomología de intersección, independientemente de las conjeturas. Por el contrario, la relación entre los polinomios de Kazhdan-Lusztig y los grupos Ext teóricamente se puede utilizar para probar las conjeturas, aunque este enfoque para probarlas resultó ser más difícil de llevar a cabo.
4. Algunos casos especiales de las conjeturas de Kazhdan-Lusztig son fáciles de verificar. Por ejemplo, M 1 es el módulo Verma antidominante, que se sabe que es simple. Esto significa que M 1 = L 1 , estableciendo la segunda conjetura para w = 1, ya que la suma se reduce a un solo término. Por otro lado, la primera conjetura para w = w 0 se deriva de la fórmula del carácter de Weyl y la fórmula del carácter de un módulo Verma , junto con el hecho de que todos los polinomios de Kazhdan-Lusztig son iguales a 1.
5. Kashiwara (1990) demostró una generalización de las conjeturas Kazhdan-Lusztig a álgebras Kac-Moody simetrizables .
Relación con la cohomología de intersección de las variedades de Schubert
Por la descomposición Bruhat el espacio G / B del grupo algebraico G con Weyl grupo W es una unión disjunta de espacio afín X w parametrizado por elementos de w de W . Los cierres de estos espacios X w se denominan variedades de Schubert , y Kazhdan y Lusztig, siguiendo una sugerencia de Deligne, mostraron cómo expresar los polinomios de Kazhdan-Lusztig en términos de grupos de cohomología de intersección de variedades de Schubert.
Más precisamente, el polinomio de Kazhdan-Lusztig P y , w ( q ) es igual a
donde cada término de la derecha significa: tome el complejo IC de las poleas cuya hiperhomología es la homología de intersección de la variedad de Schubert de w (el cierre de la celda X w ), tome su cohomología de grado 2 i , y luego tome la dimensión de el tallo de esta gavilla en cualquier punto de la celda X y cuyo cierre es la variedad Schubert de y . Los grupos de cohomología de dimensiones impares no aparecen en la suma porque todos son cero.
Esto dio la primera prueba de que todos los coeficientes de los polinomios de Kazhdan-Lusztig para grupos Weyl finitos son números enteros no negativos.
Generalización a grupos reales
Los polinomios de Lusztig-Vogan (también llamados polinomios de Kazhdan-Lusztig o polinomios de Kazhdan-Lusztig-Vogan ) se introdujeron en Lusztig y Vogan (1983) . Son análogos a los polinomios de Kazhdan-Lusztig, pero se adaptan a representaciones de grupos de Lie semisimples reales y desempeñan un papel importante en la descripción conjetural de sus duales unitarios . Su definición es más complicada y refleja la relativa complejidad de las representaciones de grupos reales en comparación con grupos complejos.
La distinción, en los casos directamente relacionados con la teoría de la representación, se explica en el nivel de las clases laterales dobles ; o en otros términos de acciones sobre análogos de variedades de bandera complejas G / B donde G es un grupo de Lie complejo y B un subgrupo de Borel . El caso original (KL) trata entonces sobre los detalles de la descomposición
- ,
un tema clásico de la descomposición de Bruhat , y anterior al de las células de Schubert en un Grassmanniano . El caso LV toma una forma real G R de G , un subgrupo compacto maximal K R en que grupo semisimple G R , y hace que la complejización K de K R . Entonces el objeto de estudio relevante es
- .
En marzo de 2007, fue anunciado [¿ por quién? ] que los polinomios L – V se habían calculado para la forma dividida de E 8 .
Generalización a otros objetos en la teoría de la representación.
El segundo artículo de Kazhdan y Lusztig estableció un marco geométrico para la definición de los polinomios Kazhdan-Lusztig, a saber, la geometría de las singularidades de las variedades Schubert en la variedad bandera . Gran parte del trabajo posterior de Lusztig exploró los análogos de los polinomios de Kazhdan-Lusztig en el contexto de otras variedades algebraicas singulares naturales que surgen en la teoría de la representación, en particular, cierres de órbitas nilpotentes y variedades de carcaj . Resultó que la teoría de la representación de los grupos cuánticos , las álgebras de Lie modulares y las álgebras afines de Hecke están estrictamente controladas por análogos apropiados de los polinomios de Kazhdan-Lusztig. Admiten una descripción elemental, pero las propiedades más profundas de estos polinomios necesarias para la teoría de la representación se derivan de técnicas sofisticadas de geometría algebraica moderna y álgebra homológica , como el uso de cohomología de intersección , haces perversos y descomposición de Beilinson-Bernstein-Deligne .
Se conjetura que los coeficientes de los polinomios de Kazhdan-Lusztig son las dimensiones de algunos espacios de homomorfismo en la categoría de bimódulos de Soergel. Esta es la única interpretación positiva conocida de estos coeficientes para grupos de Coxeter arbitrarios.
Teoría combinatoria
Las propiedades combinatorias de los polinomios de Kazhdan-Lusztig y sus generalizaciones son un tema de investigación actual activa. Dada su importancia en la teoría de la representación y la geometría algebraica, se han realizado intentos para desarrollar la teoría de los polinomios de Kazhdan-Lusztig en forma puramente combinatoria, basándose en cierta medida en la geometría, pero sin referencia a la cohomología de intersección y otras técnicas avanzadas. Esto ha llevado a desarrollos interesantes en la combinatoria algebraica , como el fenómeno de evitación de patrones . Algunas referencias se dan en el libro de texto de Björner & Brenti (2005) . Una monografía de investigación sobre el tema es Billey & Lakshmibai (2000) .
Desde 2005[actualizar], no existe una interpretación combinatoria conocida de todos los coeficientes de los polinomios de Kazhdan-Lusztig (como las cardinalidades de algunos conjuntos naturales) incluso para los grupos simétricos, aunque existen fórmulas explícitas en muchos casos especiales.
Referencias
- Beilinson, Alexandre ; Bernstein, Joseph (1981), Localización de g-módulos , Sér. I Math., 292 , París: CR Acad. Sci., Págs. 15-18.
- Beilinson, Alexandre ; Bernstein, Joseph (1993), Una prueba de las conjeturas de Jantzen , Advances in Soviet Mathematics, 16 , págs. 1-50.
- Billey, Sara ; Lakshmibai, V. (2000), Loci singulares de variedades de Schubert , Progreso en matemáticas, 182 , Boston, MA: Birkhäuser, ISBN 0-8176-4092-4.
- Björner, Anders ; Brenti, Francesco (2005), "Ch. 5: Kazhdan – Lusztig y R- polinomios", Combinatoria de grupos Coxeter , Textos de posgrado en matemáticas, 231 , Springer , ISBN 978-3-540-44238-7.
- Brenti, Francesco (2003), "Polinomios de Kazhdan – Lusztig: Historia, problemas e invariancia combinatoria" , Séminaire Lotharingien de Combinatoire , Ellwangen: Haus Schönenberg, 49 : Artículo de investigación B49b.
- Brylinski, Jean-Luc ; Kashiwara, Masaki (octubre de 1981), "Conjetura de Kazhdan-Lusztig y sistemas holonómicos", Inventiones Mathematicae , Springer-Verlag , 64 (3): 387–410, doi : 10.1007 / BF01389272 , ISSN 0020-9910.
- Kashiwara, Masaki (1990), "La conjetura de Kazhdan-Lusztig para álgebras KacMoody simétrizables", The Grothendieck Festschrift, II , Progress in Mathematics, 87 , Boston: Birkhauser, págs. 407–433, MR 1106905.
- Kazhdan, David ; Lusztig, George (junio de 1979), "Representaciones de grupos de Coxeter y álgebras de Hecke", Inventiones Mathematicae , Springer-Verlag , 53 (2): 165-184, doi : 10.1007 / BF01390031 , ISSN 0020-9910.
- Kazhdan, David ; Lusztig, George (1980a), "Un enfoque topológico de las representaciones de Springer", Advances in Mathematics , 38 (2): 222-228, doi : 10.1016 / 0001-8708 (80) 90005-5.
- Kazhdan, David ; Lusztig, George (1980b), "Variedades de Schubert y dualidad de Poincaré", Proc. Simpos. Matemática pura. , Actas de Symposia in Pure Mathematics, American Mathematical Society , XXXVI : 185-203, doi : 10.1090 / pspum / 036/573434 , ISBN 9780821814390.
- Lusztig, George ; Vogan, David (1983), "Singularidades de cierres de órbitas K en variedades de bandera", Inventiones Mathematicae , Springer-Verlag , 71 (2): 365–379, doi : 10.1007 / BF01389103 , ISSN 0020-9910.
- Polo, Patrick (1999), "Construcción de polinomios arbitrarios de Kazhdan-Lusztig en grupos simétricos", Teoría de la representación. An Electronic Journal of the American Mathematical Society , 3 (4): 90-104, doi : 10.1090 / S1088-4165-99-00074-6 , ISSN 1088-4165 , MR 1698201.
- Soergel, Wolfgang (2006), "Polinomios Kazhdan-Lusztig y bimódulos indecomponibles sobre anillos polinomiales", Journal of the Inst. De Matemáticas. Jussieu , 6 (3): 501–525, arXiv : math / 0403496 , doi : 10.1017 / S1474748007000023.
enlaces externos
- Lecturas del curso de primavera de 2005 sobre la teoría de Kazhdan-Lusztig en UC Davis por Monica Vazirani
- Goresky, Mark . "Tablas de polinomios de Kazhdan-Lusztig" .
- Los programas GAP para calcular polinomios Kazhdan – Lusztig.
- Software Coxeter de Fokko du Cloux para calcular polinomios Kazhdan – Lusztig para cualquier grupo Coxeter
- Software Atlas para calcular polinomios Kazhdan – Lusztig-Vogan.