Es handelt sich um meinen liebsten Jugendtraum, nämlich um den Nachweis, dass die Abel'schen Gleichungen mit Quadratwurzeln rationaler Zahlen durch die Transformations-Gleichungen elliptischer Functionen mit singularen Moduln grade so erschöpft werdenhistens Kichregen's ganilzza.
Kronecker en una carta a Dedekind en 1880 reproducida en el volumen V de sus obras completas, página 455
El Jugendtraum de Kronecker o el duodécimo problema de Hilbert , de los 23 problemas matemáticos de Hilbert , es la extensión del teorema de Kronecker-Weber sobre extensiones abelianas de los números racionales , a cualquier campo de números base . Es decir, pide análogos de las raíces de la unidad , como números complejos que son valores particulares de la función exponencial ; el requisito es que tales números generen una familia completa de campos numéricos adicionales que sean análogos de los campos ciclotómicos y sus subcampos.
La teoría clásica de la multiplicación compleja , ahora a menudo conocida como Kronecker Jugendtraum , hace esto para el caso de cualquier campo cuadrático imaginario , mediante el uso de funciones modulares y funciones elípticas elegidas con una red de período particular relacionada con el campo en cuestión. Goro Shimura extendió esto a los campos de CM . El caso general sigue abierto a partir de 2014 [actualizar]. Leopold Kronecker describió el complejo problema de la multiplicación como su mentiroso Jugendtraum o "el sueño más querido de su juventud".
Descripción del problema
El problema fundamental de la teoría algebraica de números es describir los campos de los números algebraicos . El trabajo de Galois dejó en claro que las extensiones de campo están controladas por ciertos grupos , los grupos de Galois . La situación más simple, que ya está en el límite de lo bien entendido, es cuando el grupo en cuestión es abeliano . Todas las extensiones cuadráticas, obtenidas uniendo las raíces de un polinomio cuadrático, son abelianas, y su estudio fue iniciado por Gauss . Otro tipo de extensión abeliana del campo Q de números racionales viene dado por la unión de las raíces n -ésimas de la unidad, lo que da como resultado los campos ciclotómicos . Ya Gauss había demostrado que, de hecho, todo campo cuadrático está contenido en un campo ciclotómico más grande. El teorema de Kronecker-Weber muestra que cualquier extensión abeliana finita de Q está contenida en un campo ciclotómico. La pregunta de Kronecker (y de Hilbert) aborda la situación de un campo numérico algebraico más general K : ¿cuáles son los números algebraicos necesarios para construir todas las extensiones abelianas de K ? La respuesta completa a esta pregunta se ha resuelto completamente solo cuando K es un campo cuadrático imaginario o su generalización, un campo CM .
La afirmación original de Hilbert de su duodécimo problema es bastante engañosa: parece implicar que las extensiones abelianas de campos cuadráticos imaginarios son generadas por valores especiales de funciones modulares elípticas, lo cual no es correcto. (Es difícil decir exactamente lo que estaba diciendo Hilbert, un problema es que pudo haber estado usando el término "función elíptica" para referirse tanto a la función elíptica ℘ como a la función modular elíptica j .) Primero, también es necesario usar raíces de unidad, aunque Hilbert puede haber querido implícitamente incluirlos. Más en serio, mientras que los valores de las funciones modulares elípticas generan el campo de clase de Hilbert , para extensiones abelianas más generales, también es necesario utilizar valores de funciones elípticas. Por ejemplo, la extensión abeliana no es generado por módulos singulares y raíces de unidad.
Una forma particularmente atractiva de enunciar el teorema de Kronecker-Weber es decir que la extensión abeliana máxima de Q puede obtenerse uniendo los valores especiales exp (2π i / n ) de la función exponencial . De manera similar, la teoría de la multiplicación compleja muestra que la extensión abeliana máxima de Q (τ), donde τ es una irracionalidad cuadrática imaginaria, se puede obtener al unir los valores especiales de ℘ (τ, z ) yj (τ) de funciones modulares j y funciones elípticas ℘, y raíces de unidad, donde τ está en el campo cuadrático imaginario yz representa un punto de torsión en la curva elíptica correspondiente. Una interpretación de duodécimo problema de Hilbert pide para proporcionar un análogo adecuado de funciones exponenciales, elípticas, o modulares, cuyos valores especial generaría la extensión abeliana maximal K ab de un campo de número general K . De esta forma, queda sin resolver. Se obtuvo una descripción del campo K ab en la teoría del campo de clases , desarrollada por el mismo Hilbert , Emil Artin y otros en la primera mitad del siglo XX. [nota 1] Sin embargo, la construcción de K ab en la teoría de campos de clases implica primero construir extensiones no abelianas más grandes usando la teoría de Kummer , y luego reducirlas a las extensiones abelianas, por lo que realmente no resuelve el problema de Hilbert que pide una construcción más directa de las extensiones abelianas.
Desarrollos modernos
Los desarrollos desde alrededor de 1960 ciertamente han contribuido. Antes de eso, Hecke ( 1912 ) en su disertación utilizó formas modulares de Hilbert para estudiar extensiones abelianas de campos cuadráticos reales . La multiplicación compleja de variedades abelianas fue un área abierta por el trabajo de Shimura y Taniyama . Esto da lugar a extensiones abelianas de campos CM en general. La cuestión de qué extensiones se pueden encontrar es la de los módulos Tate de tales variedades, como representaciones de Galois . Dado que este es el caso más accesible de cohomología l-ádica , estas representaciones se han estudiado en profundidad.
Robert Langlands argumentó en 1973 que la versión moderna del Jugendtraum debería tratar las funciones zeta Hasse-Weil de las variedades Shimura . Si bien imaginó un programa grandioso que llevaría el tema mucho más lejos, más de treinta años después, quedan serias dudas sobre su importancia para la pregunta que hizo Hilbert.
Un desarrollo separado fue la conjetura de Stark ( Harold Stark ), que en contraste trataba directamente con la cuestión de encontrar unidades particulares interesantes en campos numéricos. Esto ha visto un gran desarrollo de conjeturas para las funciones L , y también es capaz de producir resultados numéricos concretos. Dasgupta y Kakde, [1] [2] anunciaron una solución p-ádica para campos totalmente reales, y para el caso especial de campos cuadráticos reales, Darmon, Pozzi y Vonk, en marzo de 2021. [3]
Notas
- ↑ En particular, Teiji Takagi demostró la existencia de la extensión abeliana absoluta como el conocido teorema de existencia de Takagi .
Referencias
- ^ Dasgupta, Samit; Kakde, Mahesh (3 de marzo de 2021). "Unidades de Brumer-Stark y duodécimo problema de Hilbert". arXiv : 2103.02516 [ math.NT ].
- ^ Houston-Edwards, Kelsey (25 de mayo de 2021). "Los matemáticos encuentran bloques de construcción largamente buscados para polinomios especiales" . Revista Quanta . Consultado el 28 de mayo de 2021 .
- ^ Darmon, Henri; Pozzi, Alice; Vonk, Jank. "Unidades de Gross-Stark, puntos de Stark-Heegner y derivados de familias p-ádicas de Eisenstein" (PDF) .
- Langlands, RP (1976). "Algunos problemas contemporáneos con origen en el Jugendtraum". En Browder, Felix E. (ed.). Desarrollos matemáticos derivados de los problemas de Hilbert (PDF) . Proc. Simpos. Matemática pura. 28 . Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense . págs. 401–418. ISBN 0-8218-1428-1. Zbl 0345.14006 .
- Schappacher, Norbert (1998). "Sobre la historia del duodécimo problema de Hilbert: una comedia de errores". Matériaux pour l'histoire des mathématiques au XX e siècle (Niza, 1996) . Sémin. Congr. 3 . París: Société Mathématique de France . págs. 243-273. ISBN 978-2-85629-065-1. Señor 1640262 . Zbl 1044.01530 .
- Vlǎduţ, SG (1991). Jugendtraum de Kronecker y funciones modulares . Estudios en el desarrollo de la matemática moderna. 2 . Nueva York: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 2-88124-754-7. Zbl 0731.11001 .