El álgebra conmutativa es la rama del álgebra abstracta que estudia los anillos conmutativos , sus ideales y módulos sobre dichos anillos. Tanto la geometría algebraica como la teoría algebraica de números se basan en el álgebra conmutativa. Ejemplos destacados de anillos conmutativos incluyen anillos polinomiales , anillos de números enteros algebraicos , incluidos los números enteros ordinarios. y enteros p-ádicos .
Campos de investigación
Áreas de investigación activas
Nociones basicas
Clases de anillos
- Campo (matemáticas)
- Campo numérico algebraico
- Anillo polinomial
- Dominio integral
- Álgebra booleana (estructura)
- Dominio ideal principal
- Dominio euclidiano
- Dominio de factorización único
- Dominio Dedekind
- Elementos nilpotentes y anillos reducidos
- Números duales
- Producto tensorial de campos
- Producto tensorial de R-álgebras
Construcciones con anillos conmutativos
Localización y finalización
- Terminación (teoría del anillo)
- Serie de poder formal
- Localización de un anillo
- Anillo local
- Anillo local regular
- Localización de un módulo
- Valoración (matemáticas)
- Valoración discreta
- Anillo de valoración discreta
- Topología i-ádica
- Teorema de preparación de Weierstrass
Propiedades de finitud
- Anillo noetheriano
- Teorema de la base de Hilbert
- Anillo artiniano
- Condición de cadena ascendente (ACC) y condición de cadena descendente (DCC)
Teoría ideal
- Ideal fraccional
- Grupo de clase ideal
- Radical de un ideal
- Nullstellensatz de Hilbert
Propiedades homologicas
- Módulo plano
- Mapa plano
- Mapa plano (teoría del anillo)
- Módulo proyectivo
- Módulo inyectivo
- Anillo Cohen-Macaulay
- Anillo Gorenstein
- Anillo de intersección completo
- Complejo de Koszul
- Teorema de la sicigia de Hilbert
- Teorema de Quillen-Suslin
Teoría de la dimensión
- Altura (teoría del anillo)
- Profundidad (teoría del anillo)
- Polinomio de Hilbert
- Anillo local regular
- Anillo de valoración discreta
- Dimensión global
- Secuencia regular (álgebra)
- Dimensión Krull
- Teorema del ideal principal de Krull
Extensiones de anillo, descomposición primaria
- Ideal primario
- Descomposición primaria y teorema de Lasker-Noether
- Noether lema de normalización
- Subiendo y bajando
Relación con la geometría algebraica
- Espectro de un anillo
- Espacio tangente de Zariski
- Diferencial de Kähler
Aspectos computacionales y algorítmicos
- Teoría de la eliminación
- Base Gröbner
- Algoritmo de Buchberger
Áreas de investigación activas
- Las conjeturas de la multiplicidad de Serre
- conjeturas homologicas
Disciplinas afines
- Teoría algebraica de números
- Geometría algebraica
- Teoría del anillo
- Teoría de campo (matemáticas)
- Álgebra diferencial
- Álgebra homológica