En matemáticas , un campo local es un tipo especial de campo que es un campo topológico localmente compacto con respecto a una topología no discreta . [1] Dado tal campo, se puede definir un valor absoluto en él. Hay dos tipos básicos de campos locales: aquellos en los que el valor absoluto es de Arquímedes y aquellos en los que no lo es. En el primer caso, uno llama al campo local un campo local de Arquímedes , en el segundo caso, lo llama un campo local que no es de Arquímedes . Los campos locales surgen naturalmente en la teoría de números como completacionesde campos globales .
Si bien los campos locales de Arquímedes han sido bastante conocidos en matemáticas durante al menos 250 años, los primeros ejemplos de campos locales no arquímedes, los campos de números p-ádicos para el entero primo positivo p , fueron introducidos por Kurt Hensel al final del año. Siglo 19.
Cada campo local es isomorfo (como un campo topológico) a uno de los siguientes: [2]
- Campos de Arquímedes locales ( característica cero): el números reales R , y los números complejos C .
- Campos locales no arquimedianos de característica cero: extensiones finitas de los números p -ádicos Q p (donde p es cualquier número primo ).
- Campos locales no arquimedianos de característica p (para p cualquier número primo dado): el campo de la serie formal de Laurent F q (( T )) sobre un campo finito F q , donde q es una potencia de p .
Existe una definición equivalente de campo local no arquimediano: es un campo que está completo con respecto a una valoración discreta y cuyo campo de residuo es finito. En particular, de importancia en la teoría de números, las clases de campos locales aparecen como las terminaciones de campos numéricos algebraicos con respecto a su valoración discreta correspondiente a uno de sus ideales máximos. Los trabajos de investigación en la teoría de números moderna a menudo consideran una noción más general, que solo requiere que el campo de residuos sea perfecto de característica positiva, no necesariamente finito. [3] Este artículo utiliza la definición anterior.
Valor absoluto inducido
Dado tal valor absoluto en un campo K , la siguiente topología se puede definir en K : para un número real positivo m , defina el subconjunto B m de K por
A continuación, el B + B m conforman una base barrio de b en K .
Por el contrario, un campo topológico con una topología localmente compacta no discreta tiene un valor absoluto que define su topología. Se puede construir usando la medida Haar del grupo aditivo del campo.
Características básicas de los campos locales no arquimedianos
Para un campo local F que no es de Arquímedes (con valor absoluto denotado por | · |), los siguientes objetos son importantes:
- su anillo de enteros que es un anillo de valoración discreto , es la bola unitaria cerrada de F y es compacta ;
- las unidades en su anillo de enterosque forma un grupo y es la esfera unitaria de F ;
- el único ideal primo distinto de cero en su anillo de enteros que es su unidad de bola abierta ;
- un generador de llamado un uniformador de;
- su campo de residuos que es finito (ya que es compacto y discreto ).
Cada elemento distinto de cero a de F se puede escribir como a = ϖ n u con u una unidad yn un número entero único. La valoración normalizado de F es la función sobreyectiva v : F → Z ∪ {∞} definido por el envío de un no-cero una al entero único n de tal manera que un = π n u con u una unidad, y mediante el envío de 0 a ∞. Si q es la cardinalidad del campo de residuos, el valor absoluto de F inducido por su estructura como campo local viene dado por [4]
Una definición equivalente y muy importante de un campo local no arquimediano es que es un campo que es completo con respecto a una valoración discreta y cuyo campo de residuo es finito.
Ejemplos de
- Los números p -ádicos : el anillo de los números enteros de Q p es el anillo de los números enteros p -ádicos Z p . Su ideal primo es p Z p y su campo de residuos es Z / p Z . Cada elemento distinto de cero de Q p se puede escribir como u p n donde u es una unidad en Z p y n es un número entero, entonces v ( u p n ) = n para la valoración normalizada.
- La serie formal de Laurent sobre un campo finito : el anillo de números enteros de F q (( T )) es el anillo de la serie formal de potencias F q [[ T ]]. Su ideal máximo es ( T ) (es decir, la serie de potencias cuyo término constante es cero) y su campo de residuos es F q . Su valoración normalizada está relacionada con el grado (inferior) de una serie formal de Laurent de la siguiente manera:
- (donde a - m no es cero).
- La serie formal de Laurent sobre los números complejos no es un campo local. Por ejemplo, su campo de residuos es C [[ T ]] / ( T ) = C , que no es finito.
Grupos de unidades superiores
El n- ésimo grupo unitario superior de un campo local F no arquimediano es
para n ≥ 1. El grupo U (1) se llama grupo de unidades principales , y cualquier elemento de él se llama unidad principal . El grupo de unidad completose denota U (0) .
Los grupos unitarios superiores forman una filtración decreciente del grupo unitario
cuyos cocientes están dados por
para n ≥ 1. [5] (Aquí ""significa un isomorfismo no canónico.)
Estructura del grupo unitario
El grupo multiplicativo de elementos distintos de cero de un campo local F no arquimediano es isomorfo a
donde q es el orden del campo de residuos, y μ q −1 es el grupo de ( q −1) st raíces de la unidad (en F ). Su estructura como grupo abeliano depende de su característica :
- Si F tiene característica positiva p , entonces
- donde N denota los números naturales ;
- Si F tiene característica cero (es decir, es una extensión finita de Q p de grado d ), entonces
- donde a ≥ 0 se define de modo que el grupo de p raíces de potencia de la unidad en F es . [6]
Teoría de los campos locales
Esta teoría incluye el estudio de tipos de campos locales, extensiones de campos locales usando el lema de Hensel , extensiones de Galois de campos locales, filtraciones de grupos de ramificación de grupos de Galois de campos locales, el comportamiento del mapa normativo en campos locales, el homomorfismo de reciprocidad local y teorema de existencia en la teoría del campo clase local , local de correspondencia Langlands , teoría Hodge-Tate (también llamada teoría Hodge p-adic ), fórmulas explícitas para el símbolo de Hilbert en la teoría del campo clase local, véase por ejemplo [7]
Campos locales de mayor dimensión
Un campo local a veces se denomina campo local unidimensional .
Un campo local no arquimediano puede verse como el campo de fracciones de la finalización del anillo local de un esquema aritmético unidimensional de rango 1 en su punto no singular.
Para un número entero no negativo n , un campo local n- dimensional es un campo de valoración discreto completo cuyo campo de residuo es un campo local ( n - 1) -dimensional. [8] Dependiendo de la definición de campo local, un campo local de dimensión cero es entonces un campo finito (con la definición usada en este artículo), o un campo perfecto de característica positiva.
Desde el punto de vista geométrico, los campos locales n- dimensionales con el último campo de residuo finito están asociados naturalmente a una bandera completa de subesquemas de un esquema aritmético n- dimensional.
Ver también
- Lema de Hensel
- Grupo de ramificación
- Teoría del campo de clase local
- Campo local superior
Notas
- ^ Página 20 de Weil 1995
- ^ JS Milne. "Teoría algebraica de números" (PDF) . págs. 125-126.
- ^ Véase, por ejemplo, la definición 1.4.6 de Fesenko & Vostokov 2002
- ^ Weil 1995 , capítulo I, teorema 6
- ^ Neukirch 1999 , p. 122
- ^ Neukirch 1999 , teorema II.5.7
- ^ Capítulos 1-4, 7 de Fesenko y Vostokov 2002
- ^ Definición 1.4.6 de Fesenko & Vostokov 2002
Referencias
- Weil, André (1995), Teoría básica de números , Clásicos en matemáticas, Berlín, Heidelberg: Springer-Verlag , ISBN 3-540-58655-5
- Fesenko, Ivan B .; Vostokov, Sergei V. (2002), Campos locales y sus extensiones , Traducciones de monografías matemáticas, 121 (Segunda ed.), Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-3259-2, Señor 1915966
- Neukirch, Jürgen (1999). Teoría algebraica de números . Grundlehren der mathischen Wissenschaften . 322 . Berlín: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65399-8. Señor 1697859 . Zbl 0956.11021 .
Otras lecturas
- A. Frohlich , "Campos locales", en JWS Cassels y A. Frohlich (edd), Teoría algebraica de números , Academic Press , 1973. Cap. I
- Milne, James, Teoría algebraica de números .
enlaces externos
- "Campo local" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]