En geometría euclidiana , el teorema de Poncelet-Steiner es uno de varios resultados relacionados con las construcciones de compás y regla con restricciones adicionales impuestas. Este resultado establece que todo lo que se pueda construir con regla y compás juntas, se puede construir solo con regla, siempre que se den un solo círculo y su centro.
- Cualquier construcción euclidiana, en la medida en que los elementos indicados y requeridos sean puntos (o líneas), si puede completarse con el compás y la regla a la vez, puede completarse con la regla solo siempre que exista no menos de un círculo con su centro. en el avión.
Se da a entender que la brújula no tiene ningún propósito funcional una vez que se ha dibujado el primer círculo. Todas las construcciones siguen siendo posibles, aunque se entiende naturalmente que los círculos y sus arcos no se pueden dibujar sin la brújula. Esto solo significa que la brújula se puede utilizar con fines estéticos, en lugar de con fines de construcción. Todos los puntos que definen de forma única una construcción, que se pueden determinar con el uso de la brújula, son igualmente determinables sin.
Por lo tanto, el teorema reduce la equivalencia de la brújula oxidada de Ferrari a una brújula de un solo uso: todos los puntos necesarios para describir de manera única cualquier construcción de regla de compás se pueden lograr con solo una regla, una vez que se ha colocado el primer círculo. Por lo tanto, el teorema de Poncelet-Steiner es un resultado más fuerte que la brújula oxidada.
Las construcciones realizadas de acuerdo con este teorema, que se basan únicamente en el uso de una herramienta de regla y, posiblemente, un círculo (con centro) en el plano, se conocen como construcciones de Steiner .
Historia
En el siglo X, el matemático persa Abu al-Wafa 'Buzjani (940-998) consideró las construcciones geométricas utilizando una regla y un compás con una abertura fija, lo que se conoce como brújula oxidada . Las construcciones de este tipo parecían tener algún significado práctico, ya que fueron utilizadas por los artistas Leonardo da Vinci y Alberto Durero en Europa a finales del siglo XV. Un nuevo punto de vista se desarrolló a mediados del siglo XVI cuando el tamaño de la abertura se consideró fijo pero arbitrario y la cuestión de cuántas de las construcciones de Euclides se podían obtener era primordial. [1]
El matemático renacentista Lodovico Ferrari , alumno de Gerolamo Cardano en un "desafío matemático" contra Niccolò Fontana Tartaglia pudo demostrar que "todo Euclides" (es decir, las construcciones de regla y compás en los primeros seis libros de Los elementos de Euclides ) podía ser logrado con una regla y un compás oxidado. En diez años, Cardano, Tartaglia y Benedetti, estudiante de Tartaglia, obtuvieron conjuntos adicionales de soluciones. Durante el siglo siguiente, estas soluciones fueron generalmente olvidadas hasta que, en 1673, Georg Mohr publicó (de forma anónima y en holandés) Euclidis Curiosi con sus propias soluciones. Mohr solo había oído hablar de la existencia de los resultados anteriores y esto lo llevó a trabajar en el problema. [2]
Mostrar que "todo Euclides" se puede realizar con regla y compás oxidado no es lo mismo que demostrar que todas las construcciones con regla y compás se pueden hacer con una regla y solo un compás oxidado. Tal prueba requeriría la formalización de lo que podrían construir una regla y un compás. Esta base fue proporcionada por Jean Victor Poncelet en 1822, habiendo sido motivado por el trabajo sobre el teorema de Mohr-Mascheroni . También conjeturó y sugirió una posible prueba de que una regla y un compás oxidado sería equivalente a una regla y un compás, y además, el compás oxidado solo necesita usarse una vez. El resultado de que una regla y un círculo con un centro dado es equivalente a una regla y un compás fue probado por Jakob Steiner en 1833. [3] [1]
Teorema de Steiner, un lema
Si solo se va a dar un círculo y ninguna otra información especial, el teorema de Steiner implica que el centro del círculo debe proporcionarse junto con el círculo. Esto se hace demostrando la imposibilidad de construir el centro de los círculos a partir de una regla usando solo un solo círculo en el plano, sin su centro. Se utiliza un argumento que utiliza transformaciones proyectivas y secciones cónicas de Steiner .
Una explicación ingenua es que las líneas se proyectan sobre las líneas bajo cualquier transformación proyectiva lineal, mientras que las secciones cónicas se proyectan sobre las secciones cónicas bajo una transformación proyectiva lineal, pero están sesgadas de tal manera que los centros de los círculos no se conservan. Bajo diferentes mapeos, el centro no se mapea de forma única y reversible . Este no sería el caso si se pudieran usar líneas para determinar el centro de un círculo.
Por tanto, no es posible construir todo lo que se pueda construir con regla y compás solo con regla. En consecuencia, el teorema de Poncelet-Steiner no se puede debilitar con respecto al centro del círculo. Si no se proporciona el centro del único círculo dado, no se puede obtener solo con una regla. Muchas construcciones son imposibles solo con regla. Es necesario algo más, y un círculo con su centro identificado es suficiente.
Alternativamente, el centro puede omitirse con suficiente información adicional. Esto no es un debilitamiento del teorema de Poncelet-Steiner, simplemente un marco alternativo. Tampoco es una contradicción del teorema de Steiner que hipotetiza sólo un círculo. La inclusión de esta suficiente información alternativa desambigua los mapeos bajo las transformaciones proyectivas. Algunas alternativas incluyen dos círculos concéntricos o dos que se cruzan, o tres círculos, u otras variaciones en las que los círculos proporcionados están desprovistos de sus centros, pero se cumplen algunos otros criterios únicos pero suficientes. En cualquiera de estos casos, se puede construir el centro de un círculo, reduciendo así el problema a la hipótesis del teorema de Poncelet-Steiner.
Enfoque de prueba constructiva
Para probar el teorema, se debe demostrar que cada una de las construcciones básicas de compás y regla no graduada es posible utilizando solo una regla (siempre que exista un círculo y su centro en el plano), ya que estos son los cimientos o pasos elementales. para todas las demás construcciones. Es decir, todas las construcciones se pueden escribir como una serie de pasos que involucran estas cinco construcciones básicas:
- Creando la línea a través de dos puntos existentes
- Creando el círculo a través de un punto con centro en otro punto
- Crear el punto que es la intersección de dos líneas no paralelas existentes
- Crear uno o dos puntos en la intersección de una línea y un círculo (si se cruzan)
- Creando uno o dos puntos en la intersección de dos círculos (si se cruzan).
# 1 - Una línea que pasa por dos puntos
Esto se puede hacer con la regla sola con bastante naturalidad; es el propósito mismo para el que están destinadas las reglas. No hay nada que probar. Cualquier duda sobre esta construcción se aplicaría igualmente a las construcciones tradicionales que involucran una brújula.
# 2 - Un círculo a través de un punto con centro definido
Se entiende que el arco de un círculo no se puede dibujar sin una brújula. Se considera que un círculo está dado por dos puntos cualesquiera, uno que define el centro y otro que existe en la circunferencia. Cualquiera de estos pares define un círculo único, y un círculo único puede definirse mediante un centro y cualquier punto de la circunferencia. De acuerdo con la intención del teorema que pretendemos demostrar, no es necesario trazar el círculo real sino por razones estéticas. Este hecho se demostrará cuando se prueben todas las demás construcciones que involucran un círculo definido solo por estos dos puntos.
# 3 - Intersección de dos líneas
Esta construcción se puede hacer directamente con una regla. No se requiere ni brújula ni círculo. No hay nada que probar. Cualquier duda sobre esta construcción se aplicaría igualmente a las construcciones tradicionales que involucran una brújula.
# 4, # 5 - Las otras construcciones
Por lo tanto, para probar el teorema, solo es necesario probar que las construcciones n. ° 4 y n. ° 5 son posibles usando solo una regla no graduada (y un círculo dado en el plano).
Prueba constructiva
En las construcciones generales, a menudo hay varias variaciones que producirán el mismo resultado. Las elecciones realizadas en una variante de este tipo se pueden realizar sin pérdida de generalidad. Sin embargo, cuando se utiliza una construcción para demostrar que se puede hacer algo, no es necesario describir todas estas opciones y, en aras de la claridad de la exposición, a continuación solo se dará una variante. Las siguientes variantes se eligen por su ubicuidad en la aplicación más que por su simplicidad bajo cualquier conjunto particular de condiciones especiales.
En las construcciones siguientes, un círculo definido por un punto central P y un punto en su circunferencia, Q , se denota P (Q) . Como la mayoría de los círculos no están dibujados con una brújula, los puntos centrales y de circunferencia se nombran explícitamente y, por lo general, por separado. Según el teorema, cuando se proporciona un círculo dibujado con brújula, simplemente se lo denomina círculo dado o círculo proporcionado . Siempre se debe suponer que el círculo proporcionado se coloca arbitrariamente en el plano con un radio arbitrario.
Los puntos de intersección entre cualquier línea y el círculo dado se pueden encontrar directamente. El teorema de Poncelet-Steiner no prohíbe el tratamiento normal de círculos ya dibujados en el plano; se aplican las reglas de construcción normales. El teorema solo prohíbe la construcción de nuevos arcos circulares con una brújula.
Es importante notar que las construcciones de Steiner y aquellas construcciones aquí que prueban el teorema de Poncelet-Steiner requieren la colocación arbitraria de puntos en el espacio. En algunos paradigmas de construcción, como en la definición geométrica del número construible , esto puede estar prohibido.
Algunas construcciones preliminares
Para probar las construcciones anteriores nº 4 y nº 5, que se incluyen a continuación, también se explican a continuación algunas construcciones intermedias necesarias, ya que se utilizan y se hace referencia a ellas con frecuencia. Estas también son construcciones con regla solamente. Todas las construcciones a continuación se basan en las construcciones básicas n. ° 1, n. ° 2, n. ° 3 y cualquier otra construcción que se enumere antes.
Paralelo de una línea que tiene un segmento bisecado colineal
Esta construcción no requiere el uso del círculo dado. Naturalmente, cualquier línea que pase por el centro del círculo dado tiene implícitamente un segmento bisecado: el diámetro está bisecado por el centro. El archivo gif animado incrustado en la introducción de este artículo demuestra esta construcción, reiterada aquí sin el círculo y con pasos enumerados.
Dada una línea arbitraria n (en negro) con dos puntos A y B , que tienen un punto medio M entre ellos, y un punto arbitrario P en el plano a través del cual se debe hacer un paralelo de la línea n :
- Construye una línea AP (en rojo).
- Construya una línea BP (en naranja).
- Defina un punto R arbitrario en la línea AP .
- Construya una línea BR (en verde).
- Construya una línea MR (en azul claro).
- Líneas MR y BP se cruzan en el punto X .
- Construye una línea AX (en violeta).
- Líneas BR y AX se cruzan en el punto Q .
- Construya una línea PQ (en azul oscuro), el paralelo deseado.
En alguna literatura, el segmento de línea bisecado a veces se ve como un "círculo" unidimensional que existe en la línea. Alternativamente, alguna literatura ve el segmento de línea bisecado como un círculo bidimensional en un espacio tridimensional con la línea pasando a través de un diámetro, pero no paralela al plano, cruzando así el plano de construcción en dos puntos de la circunferencia con el punto medio simplemente siendo el centro del círculo prescrito.
Construir un paralelo de cualquier línea
Esta construcción requiere el uso del círculo dado. Para generalizar la construcción de la línea paralela a todas las líneas posibles, no solo a las que tienen un segmento de línea bisecado colineal, es necesario tener información adicional. De acuerdo con el teorema de Poncelet-Steiner, un círculo (con centro) es el objeto de elección para esta construcción.
Para construir una línea paralela de cualquier línea dada, a través de cualquier punto del plano, combinamos trivialmente dos construcciones iniciales:
- Cualquier línea a partir de la cual se haga un paralelo debe tener un segmento bisecado construido sobre ella, si aún no existe uno (ver más abajo).
- Luego se construye un paralelo de acuerdo con la construcción paralela anterior que involucra el segmento bisecado colineal (ver arriba).
En general, sin embargo, se puede construir un paralelo a partir de cualquier par de líneas que ya sean paralelas entre sí; por tanto, se puede producir un tercer paralelo a partir de dos cualesquiera, sin el uso de un círculo. Además, se puede construir un paralelo de cualquier línea siempre que exista en el plano algún paralelogramo , también sin el uso de un círculo dado.
Crear un segmento bisecado en una línea
Si la línea pasa por el centro de un círculo, el segmento definido por el diámetro a través del círculo se divide en dos por el centro del círculo. En el caso general, sin embargo, cualquier otra línea en el plano puede tener un segmento bisecado construido sobre ella. Esta construcción requiere el uso del círculo dado.
Dada una línea, m (en negro) y un círculo centrado en A , deseamos crear los puntos E , B y H en la línea de modo que B sea el punto medio:
- Dibuja una línea arbitraria (en rojo) que pase por el centro de círculos dado, A , y el punto medio deseado B (elegido arbitrariamente) en la línea m .
- Observe que la línea roja, AB , pasa por el centro del círculo y resalta un diámetro, dividido en dos por el centro del círculo. A partir de esta línea se puede realizar cualquier paralelo según la construcción anterior.
- Elija un punto C arbitrario en el círculo dado (que no se encuentra en la perpendicular de AB a través del centro del círculo).
- Construya una línea (en naranja), que pase por C , que sea paralela a la línea roja AB .
- Este paralelo se cruza con el círculo dado en D .
- Este paralelo también cruza la línea negra m en E , definiendo un extremo del segmento de línea.
- Crea dos líneas (en verde), AC y AD , que pasen cada una por el centro de círculos dado.
- Estas líneas verdes cruzan el círculo dado en los puntos G y F , respectivamente.
- La línea FG (en azul) interseca la línea m en H , definiendo el otro punto final del segmento de línea.
Construir una línea perpendicular
Esta construcción requiere el uso del círculo dado y aprovecha el teorema de Thales .
A partir de una línea m dada y un punto A dado en el plano, se construirá una perpendicular a la línea que pase por el punto. Se proporciona el círculo O (r) dado .
- Si la línea deseada a partir de la cual se va a hacer una perpendicular, m , no pasa por el círculo dado (o también pasa por el centro de los círculos dados), entonces se puede construir una nueva línea paralela (en rojo) arbitrariamente de tal manera que pasa a través del círculo dado, pero no su centro, y la perpendicular se debe hacer a partir de esta línea en su lugar.
- Esta línea roja que pasa a través del círculo dado pero no su centro, se cruzará el círculo dado en dos puntos, B y C .
- Dibuja una línea BO , a través del centro del círculo.
- Esta línea se cruza con el círculo dado en el punto D .
- Dibuja una línea DC .
- Esta línea es perpendicular a las líneas roja (y negra), BC y m .
- Construir un paralelo de la línea de DC a través del punto A .
- Una perpendicular de la línea negra original, m , existe ahora en el plano, y se puede construir un paralelo a través de cualquier punto del plano de acuerdo con construcciones anteriores.
Una construcción alternativa permite construir una perpendicular sin el círculo dado, siempre que exista en el plano algún cuadrado.
Construyendo el punto medio de cualquier segmento
Dado es un segmento de línea AB , que debe ser bisecado. Opcionalmente, existe una línea paralela m en el plano.
- Si la línea m , que es paralela al segmento de línea AB , no existe en el plano, entonces debe construirse de acuerdo con construcciones anteriores usando el círculo dado en el plano (no representado).
- No se requiere un círculo dado en el plano para esta construcción si el paralelo ya existe.
- El paralelo puede colocarse en el plano arbitrariamente, siempre que no sea colineal con el segmento de línea.
- Elija arbitrariamente un punto C en el plano que no sea colineal con la línea o el segmento de línea.
- Dibujar una línea de CA (en rojo), intersección de la línea m en el punto D .
- Dibujar una línea BC (de color naranja), intersección de la línea m en el punto E .
- Dibuja dos líneas, AE y BD (cada una en verde claro), que se cruzan en el punto X
- Dibujar una línea CX (en azul), intersección segmento AB en el punto M .
- El punto M es el punto medio deseado del segmento AB .
- La línea CX también biseca el segmento DE
Para mayor perspectiva, en cierto sentido, esta construcción es una variante de una construcción anterior de un paralelo de un segmento de línea bisecado. Es el mismo conjunto de líneas cuando se toma en conjunto, pero se construye en un orden diferente, y a partir de un conjunto inicial diferente de condiciones, llegando a un objetivo final diferente.
Construyendo el eje radical entre círculos
Esta construcción requiere el uso del círculo dado (que no está representado) para las subconstrucciones referenciadas.
Suponga que dos círculos A ( B ) y C ( D ) están dados implícitamente, definidos solo por los puntos A , B , C y D en el plano, con sus centros definidos, pero no construidos con brújula. El eje radical , la línea m , entre los dos círculos se puede construir:
- Dibuja una línea AC (en naranja) entre los centros del círculo.
- Dibuja un segmento de línea BD (en rojo) entre los puntos de la circunferencia de los círculos.
- Encuentre el punto medio, M , del segmento BD .
- Dibuja las líneas AM y CM (ambas en verde claro), conectando el punto medio del segmento con cada uno de los centros del círculo.
- Construya una línea j (en púrpura) que pase por el punto B y sea perpendicular a AM .
- Construya una línea k (en verde oscuro) que pase por el punto D y sea perpendicular a CM .
- Líneas j y k cortan en el punto X .
- Si las líneas j y k son paralelas, entonces el punto medio del segmento M está en la línea AC y la construcción fallará. Se requiere un enfoque alternativo (ver más abajo).
- Construir una línea m (en azul oscuro) perpendicular a la línea de AC y pasa por el punto X .
- La línea m es el eje radical deseado.
Resolución de construcción fallida
En el caso de que la construcción del eje radical falle debido a que no existe un punto de intersección X entre las líneas paralelas j y k , que resulta de la ubicación coincidente del punto medio M en la línea AC , se requiere un enfoque alternativo. Una de estas alternativas se da a continuación con el círculo A ( B ) elegido arbitrariamente utilizado para la demostración.
Para definir un círculo, solo se requiere el centro y un punto, cualquier punto, en la circunferencia. En principio, se construye un nuevo punto B 'de modo que el círculo A ( B ) sea igual al círculo A ( B' ) , pero el punto B no sea igual al punto B ' . En esencia, el segmento AB se gira a AB ' , para un conjunto diferente de puntos de definición para el mismo círculo. La construcción del eje radical comienza de nuevo con el círculo A ( B ' ) en lugar del círculo A ( B ) . De esta forma se evita la colocación coincidente del punto medio M (ahora del segmento B'D ) en la línea AC .
Una forma de hacerlo es construir el punto B ' diametralmente opuesto a B , colineal con una línea AB :
- Dibuja la línea AB (en rojo).
- Construya un paralelo (en naranja) de la línea AB que pase por el centro, el punto O , del círculo dado.
- El paralelo se cruza con el círculo dado en los puntos E y F .
- Dibuja una línea AO (en verde), conectando el centro del círculo A ( B ) con el centro del círculo dado.
- Dibuja una línea BE (en rosa), conectando los puntos en las circunferencias del círculo.
- Los puntos E y F pueden intercambiarse sin pérdida de generalidad.
- Líneas AO y BE se cruzan en un punto Z .
- Dibuja una línea FZ (en azul).
- Las líneas AB y FZ se cruzan en un punto B ' .
- El punto B ' es el punto deseado.
Ahora es posible construir el eje radical entre los círculos.
Sin embargo, esta construcción específica de un punto diametralmente opuesto puede fallar potencialmente en las condiciones adecuadas, cuando los puntos A , B y O son colineales. En tal escenario, una opción es intentar una construcción similar en el círculo C ( D ) en su lugar (que puede fallar por la misma razón si los cinco puntos son colineales), o encontrar un punto B ' diferente por completo, no necesariamente diametralmente opuesto. uno.
Intersección de una línea con un círculo (Construcción n. ° 4)
Esta construcción requiere el uso del círculo provisto, O ( r ) .
Se da la línea m (en negro) y el círculo P (Q) , que no está construido con una brújula. Los puntos de intersección del círculo P (Q) y la línea m , que son los puntos A y B , se pueden construir:
- Dibuja una línea PQ (en rojo) a través de los puntos que definen el círculo.
- Construya un paralelo (en naranja) de la línea PQ a través del centro O del círculo provisto.
- El paralelo interseca el círculo proporcionado en dos puntos, uno de los que se elige arbitrariamente: R .
- Dibuje una línea PO (en verde claro), a través de los centros de los dos círculos (es decir, el proporcionado por la construcción de la brújula y el que se va a intersecar).
- Dibuja una línea QR (en azul claro), conectando los dos puntos en las circunferencias de los dos círculos.
- Intersect las líneas de PO y QR en el punto X .
- Al elegir un punto M arbitrariamente en la línea m , de modo que no esté en la línea PO , dibuje una línea PM (en rosa).
- Para simplificar la construcción y solo si la línea PQ no es paralela a la línea m , las líneas PM y PQ pueden coincidir.
- Dibuja una línea MX (en marrón).
- Construya un paralelo (en púrpura oscuro) de la línea PM a través del centro O del círculo provisto.
- Los paralelos intercepta la línea de MX en un punto N .
- Construir un paralelo (en amarillo) de la línea m a través del punto N .
- El paralelo interseca el círculo proporcionado en los puntos C y D .
- Si el paralelo no se cruza con el círculo provisto, la línea m tampoco se cruza con el círculo P (Q) .
- Dibuja las líneas CX y DX (ambas en azul oscuro).
- Ambas líneas intersecan la línea m en los puntos A y B , respectivamente.
- Los puntos A y B son los puntos de intersección deseados entre la línea my el círculo P (Q) .
Intersección de dos círculos (construcción n. ° 5)
La intersección entre dos círculos se convierte en una combinación trivial de dos construcciones anteriores:
- Construye el eje radical entre los dos círculos.
- Construya los puntos de intersección entre el eje radical (que es una línea) y cualquiera de los dos círculos elegidos arbitrariamente.
- Estos puntos son los puntos de intersección deseados de los círculos.
- Los dos círculos y el eje radical se cruzan todos en los mismos lugares de puntos: dos puntos, un punto si es tangencial, o ninguno si no se cruzan.
- Si el eje radical no se cruza con un círculo, tampoco se cruza ni se cruzan los dos círculos.
Conclusión
La segunda construcción básica, definir un círculo con dos puntos, nunca necesitó que se construyera un arco con la brújula para que el círculo se utilizara en las construcciones, a saber, las intersecciones con círculos y con líneas que, juntas, son la esencia de todos. construcciones que involucran un círculo. Por lo tanto, definir un círculo por su centro y por cualquier punto arbitrario de su circunferencia es suficiente para describir completamente el círculo completo y construir con él. La construcción básica n. ° 2 está satisfecha.
Dado que se ha demostrado que las cinco construcciones básicas se pueden lograr con solo una regla, siempre que se coloque un solo círculo con su centro en el plano, esto prueba el teorema de Poncelet-Steiner.
Otros tipos de construcción restringida
El teorema de Poncelet-Steiner se puede contrastar con el teorema de Mohr-Mascheroni , que establece que cualquier construcción de brújula y regla se puede realizar con solo una brújula.
La restricción de la brújula oxidada permite el uso de una brújula, siempre que produzca círculos de radio fijo. Aunque las construcciones oxidadas de la brújula se exploraron desde el siglo X, y en el siglo XVII se demostró que todo Euclides se podía construir con una brújula oxidada, el teorema de Pon Toda la construccion euclidiana. De hecho, la brújula oxidada se convierte en una herramienta que simplifica las construcciones sobre la regla y el círculo simple. Visto de otra manera, el teorema de Poncelet-Steiner no solo fija el ancho de la brújula oxidada, sino que asegura que la brújula se rompa después de su primer uso.
El requisito de que se proporcione un círculo con su centro se ha generalizado desde entonces para incluir condiciones alternativas pero igualmente restrictivas. En una de esas alternativas, no se requiere el círculo completo en absoluto. En 1904, Francesco Severi demostró que cualquier arco pequeño (del círculo), junto con el centro, será suficiente. [4] Esta construcción rompe la brújula oxidada en cualquier punto antes de que se complete el primer círculo, pero después de que ha comenzado, y todas las construcciones siguen siendo posibles. Por lo tanto, las condiciones que plantean la hipótesis del teorema de Poncelet-Steiner pueden de hecho debilitarse, pero solo con respecto a la integridad del arco circular, y no, según el teorema de Steiner, con respecto al centro.
En otras dos alternativas, el centro puede omitirse por completo siempre que se den dos círculos concéntricos o dos círculos de intersección distintos, de los cuales hay dos casos: dos puntos de intersección y un punto de intersección (círculos tangenciales). A partir de cualquiera de estos escenarios se pueden construir centros, reduciendo el escenario a la hipótesis original.
Existen todavía otras variaciones. Es suficiente tener dos círculos que no se crucen (sin sus centros), siempre que se dé al menos un punto en la línea central o en el eje radical entre los círculos, o alternativamente tener tres círculos que no se crucen. [5] Una vez que se construye un solo centro, el escenario se reduce nuevamente a la hipótesis original del teorema de Poncelet-Steiner.
Construcciones liberadas o Neusis
En lugar de restringir las reglas de construcción, es igualmente interesante estudiar cómo aliviar las reglas. Así como los geómetras han estudiado lo que queda por construir (y cómo) cuando se imponen restricciones adicionales a las reglas de construcción tradicionales, como solo brújula, solo regla, brújula oxidada, etc., también han estudiado qué construcciones se vuelven posibles que no lo eran ya cuando se alivian las restricciones naturales inherentes a las reglas tradicionales de construcción. Preguntas como "qué se vuelve construible", "cómo podría construirse", "cuáles son las menores reglas tradicionales que se pueden romper", "cuáles son las herramientas más simples necesarias", "qué herramientas aparentemente diferentes son equivalentes", etc. preguntó.
El ángulo arbitrario no es trisectable usando las reglas tradicionales de compás y regla, por ejemplo, pero la trisección se vuelve construible cuando se permite la herramienta adicional de una elipse en el plano. Algunos de los problemas tradicionales, como la trisección de ángulos, doblar el cubo , cuadrar el círculo , encontrar raíces cúbicas, etc., se han resuelto utilizando un conjunto ampliado de herramientas. En general, los objetos estudiados para ampliar el alcance de lo construible han incluido:
- Curvas "auxiliares" no construibles en el plano - incluyendo cualquiera de las secciones cónicas , cicloides , la espiral de Arquímedes , cualquiera de las trisectrices o cuadrátrices , y otras.
- Herramientas físicas distintas de la brújula y la regla, generalmente llamadas neuseis , que incluyen herramientas específicas como el Tomahawk , reglas y reglas marcables , reglas triangulares rectángulos , enlaces , elipsografías y otras.
- Origami o técnicas de plegado de papel .
Los antiguos geómetras consideraban las secciones cónicas y consideraban su uso como una forma de construcción menos pura, pero más pura que el uso de neuseis (herramientas físicas alternativas) u otras curvas inusuales. El término neuseis también puede referirse a una herramienta y un método específicos empleados por los antiguos geómetras.
Ver también
- Construcción Neusis
- Cuadrado de acero
- Polígono construible
- Geometría proyectiva
- Geometrografia
Notas
- ↑ a b Eves , 1963 , p.205
- ^ Retz y Keihn 1989 , p.195
- ^ Jacob Steiner (1833). Die geometrischen Konstructionen, ausgeführt mittelst der geraden Linie und eines festen Kreises, als Lehrgegenstand auf höheren Unterrichts-Anstalten und zur praktischen Benutzung (en alemán). Berlín: Ferdinand Dümmler . Consultado el 2 de abril de 2013 .
- ^ Retz y Keihn 1989 , p. 196
- ^ Mundo matemático de Wolfram
Referencias
- Eves, Howard (1963), Un estudio de geometría / Volumen uno , Allyn y Bacon
- Retz, Merlyn; Keihn, Meta Darlene (1989), "Construcciones con brújula y regla", Temas históricos para el aula de matemáticas , Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas (NCTM), págs. 192-196, ISBN 9780873532815
Otras lecturas
- Eves, Howard Whitley (1995), "3.6 El teorema de construcción de Poncelet-Steiner", College Geometry , Jones & Bartlett Learning, págs. 180-186, ISBN 9780867204759
enlaces externos
- Teorema de Jacob Steiner en cortar el nudo (es imposible encontrar el centro de un círculo dado solo con la regla)
- Solo regla Construcciones básicas de construcciones solo con regla.
- Dos círculos y solo una regla , un artículo de Arseniy Akopyan y Roman Fedorov.
- Un comentario sobre la construcción del centro de un círculo por medio de la regla , por Christian Gram.