Grupo simpléctico

Para grupos finitos con todos los subgrupos abelianos característicos cíclicos, ver grupo de tipo simpléctico .

Grupos de mentiras
Grupos clásicos GL lineal general ( n ) SL lineal especial ( n ) Ortogonal O ( n ) SO ortogonal especial ( n ) Unitario U ( n ) SU unitario especial ( n ) Simpléctica Sp ( n )
Grupos de Simple Lie Clásico A n B n C n D n Excepcional G 2 F 4 E 6 E 7 E 8
Otros grupos de Lie Circulo Lorentz Poincaré Grupo conformal Difeomorfismo Círculo Euclidiana
Álgebras de mentira Correspondencia entre grupos de mentiras y álgebra de mentiras Mapa exponencial Representación adjunta Forma de matanza Índice Simetría del punto de mentira Álgebra de mentira simple
Álgebra de mentira semimple Diagramas Dynkin Subálgebra de cartan Sistema raíz Grupo Weyl Forma real Complejificación Álgebra de mentira dividida Álgebra de mentira compacta
Teoría de la representación Representación de grupos de mentiras Representación del álgebra de mentiras Teoría de representación de álgebras de Lie semisimple Representaciones de grupos de Lie clásicos Teorema del mayor peso Teorema de Borel-Weil-Bott
Grupos de mentiras en física Física de partículas y teoría de la representación Representaciones del grupo Lorentz Representaciones del grupo Poincaré Representaciones del grupo galileo
Científicos Sophus Lie Henri Poincaré Wilhelm matando Élie Cartan Hermann Weyl Claude Chevalley Harish-Chandra Armand Borel
Glosario Grupos de Tabla de mentiras
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Estructura algebraica → Teoría de grupos Teoría de grupos
Nociones basicas Subgrupo Subgrupo normal Grupo cociente Producto (semi) directo Homomorfismos de grupo núcleo imagen suma directa producto de corona sencillo finito infinito continuo multiplicativo aditivo cíclico abeliano diedro nilpotente soluble Glosario de teoría de grupos Lista de temas de teoría de grupos
Grupos finitos Clasificación de grupos simples finitos cíclico alterno Tipo de mentira esporádico Teorema de Cauchy Teorema de lagrange Teoremas de Sylow Teorema de Hall grupo p Grupo abeliano elemental Grupo Frobenius Multiplicador de Schur Grupo simétrico S n Klein de cuatro grupos V Grupo diedro D n Grupo de cuaterniones Q Grupo dicíclico Dic n
Grupos discretos Celosías Enteros ( Z ) Grupo libre Grupos modulares PSL (2, Z ) SL (2, Z ) Grupo aritmético Enrejado Grupo hiperbólico
Grupos topológicos y de mentira Solenoide Circulo GL lineal general ( n ) SL lineal especial ( n ) Ortogonal O ( n ) Euclidiana E ( n ) SO ortogonal especial ( n ) Unitario U ( n ) SU unitario especial ( n ) Simpléctica Sp ( n ) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré Conformal Difeomorfismo Círculo Grupo de mentiras de dimensión infinita O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Grupos algebraicos Grupo algebraico lineal Grupo reductivo Variedad abeliana Curva elíptica
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En matemáticas , el nombre de grupo simpléctico puede referirse a dos colecciones diferentes, pero estrechamente relacionados, de matemáticas grupos , denotado Sp (2 n , F ) y Sp ( n ) para entero positivo n y campo F (por lo general C o R ). Este último se denomina grupo simpléctico compacto . Muchos autores prefieren notaciones ligeramente diferentes, que suelen diferir en factores de 2 . La notación utilizada aquí es consistente con el tamaño de las matrices más comunes.que representan los grupos. En la clasificación de Cartan de las álgebras de Lie simples , el álgebra de Lie del grupo complejo Sp (2 n , C ) se denota C _n , y Sp ( n ) es la forma real compacta de Sp (2 n , C ) . Tenga en cuenta que cuando nos referimos a la del grupo simpléctico (compacto) se da a entender que estamos hablando de la colección de grupos simplécticos (autónomos), un índice por su dimensión n .

El nombre "grupo simpléctico" se debe a Hermann Weyl como reemplazo de los nombres confusos anteriores ( línea ) grupo complejo y grupo lineal abeliano , y es el análogo griego de "complejo".

El grupo metapléctico es una doble cobertura del grupo simpléctico sobre R ; tiene análogos sobre otros campos locales , campos finitos y anillos de Adele .

Sp (2 n , F )

El grupo simpléctico es un grupo clásico definido como el conjunto de las transformaciones lineales de un 2 n -dimensional espacio vectorial sobre el campo F que preservan un no degenerado antisimétrica forma bilineal . Tal espacio vectorial se denomina espacio vectorial simpléctico , y el grupo simpléctico de un espacio vectorial simpléctico abstracto V se denomina Sp ( V ) . Al fijar una base para V , el grupo simpléctico se convierte en el grupo de matrices simplécticas de 2 n × 2 n , con entradas en F , bajo la operación de multiplicación de matrices . Este grupo se denota Sp (2 n , F ) o Sp ( n , F ) . Si la forma bilineal está representada por la matriz de simetría oblicua no singular Ω, entonces

${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,F)=\{M\in M_{2n\times 2n}(F):M^{\mathrm {T} }\Omega M=\Omega \},}$

donde M ^T es la transpuesta de M . A menudo, Ω se define como

${\displaystyle \Omega ={\begin{pmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{pmatrix}},}$

donde I _n es la matriz de identidad. En este caso, Sp (2 n , F ) se puede expresar como esas matrices de bloques , donde , satisfaciendo las ecuaciones:${\displaystyle ({\begin{smallmatrix}A&B\\C&D\end{smallmatrix}})}$${\displaystyle A,B,C,D\in M_{n\times n}(F)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}-C^{\mathrm {T} }A+A^{\mathrm {T} }C&=0,\\-C^{\mathrm {T} }B+A^{\mathrm {T} }D&=I_{n},\\-D^{\mathrm {T} }A+B^{\mathrm {T} }C&=-I_{n},\\-D^{\mathrm {T} }B+B^{\mathrm {T} }D&=0.\end{aligned}}}$

Dado que todas las matrices simplécticas tienen determinante 1 , el grupo simpléctico es un subgrupo del grupo lineal especial SL (2 n , F ) . Cuando n = 1 , la condición simpléctica en una matriz se satisface si y solo si el determinante es uno, de modo que Sp (2, F ) = SL (2, F ) . Para n > 1 , hay condiciones adicionales, es decir, Sp (2 n , F ) es entonces un subgrupo adecuado de SL (2 n , F ) .

Típicamente, el campo F es el campo de números reales R o números complejos C . En estos casos, Sp (2 n , F ) es un grupo de Lie real / complejo de dimensión real / compleja n (2 n + 1) . Estos grupos están conectados pero no son compactos .

El centro de Sp (2 n , F ) consta de las matrices I _{2 n} y - I _{2 n} siempre que la característica del campo no sea 2 . ^[1] Dado que el centro de Sp (2 n , F ) es discreto y su cociente módulo el centro es un grupo simple , Sp (2 n , F ) se considera un grupo de Lie simple .

El rango real del álgebra de Lie correspondiente y, por tanto, del grupo de Lie Sp (2 n , F ) , es n .

El álgebra de Lie de Sp (2 n , F ) es el conjunto

${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(2n,F)=\{X\in M_{2n\times 2n}(F):\Omega X+X^{\mathrm {T} }\Omega =0\},}$

equipado con el conmutador como su soporte de Lie. ^[2] Para la forma bilineal simétrica sesgada estándar , este álgebra de Lie es el conjunto de todas las matrices de bloques sujetas a las condiciones${\displaystyle \Omega =({\begin{smallmatrix}0&I\\-I&0\end{smallmatrix}})}$${\displaystyle ({\begin{smallmatrix}A&B\\C&D\end{smallmatrix}})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=-D^{\mathrm {T} },\\B&=B^{\mathrm {T} },\\C&=C^{\mathrm {T} }.\end{aligned}}}$

Sp (2 n , C )

El grupo simpléctico sobre el campo de los números complejos es un no compacto , simplemente conectado , grupo de Lie sencilla .

Sp (2 n , R )

Sp (2 n , C ) es la complexificación del grupo real Sp (2 n , R ) . Sp (2 n , R ) es un grupo de Lie real, no compacto , conectado y simple . ^[3] Tiene un grupo fundamental isomorfo al grupo de enteros bajo suma. Como la forma real de un grupo de Lie simple, su álgebra de Lie es un álgebra de Lie divisible .

Algunas propiedades adicionales de Sp (2 n , R ) :

• El mapa exponencial del álgebra de Lie sp (2 n , R ) al grupo Sp (2 n , R ) no es sobreyectivo . Sin embargo, cualquier elemento del grupo puede generarse mediante la multiplicación grupal de dos elementos. ^[4] En otras palabras,

${\displaystyle \forall S\in \operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} )\,\,\exists X,Y\in {\mathfrak {sp}}(2n,\mathbf {R} )\,\,S=e^{X}e^{Y}.}$

• Para todo S en Sp (2 n , R ) :

${\displaystyle S=OZO'\quad {\text{such that}}\quad O,O'\in \operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} )\cap \operatorname {SO} (2n)\cong U(n)\quad {\text{and}}\quad Z={\begin{pmatrix}D&0\\0&D^{-1}\end{pmatrix}}.}$

La matriz D es positiva-definida y diagonal . El conjunto de tales Z s forma un subgrupo no compacto de Sp (2 n , R ) mientras que U ( n ) forma un subgrupo compacto. Esta descomposición se conoce como descomposición de 'Euler' o 'Bloch-Mesías'. ^[5] Se pueden encontrar más propiedades de la matriz simpléctica en esa página de Wikipedia.

• Como grupo de Lie , Sp (2 n , R ) tiene una estructura múltiple. La variedad para Sp (2 n , R ) es difeomórfica al producto cartesiano del grupo unitario U ( n ) con un espacio vectorial de dimensión n ( n +1) . ^[6]

Generadores infinitesimales

Los miembros del álgebra simpléctica de Lie sp (2 n , F ) son las matrices hamiltonianas .

Estas son matrices, tales que${\displaystyle Q}$

${\displaystyle Q={\begin{pmatrix}A&B\\C&-A^{\mathrm {T} }\end{pmatrix}}}$

donde B y C son matrices simétricas . Ver grupo clásico para una derivación.

Ejemplo de matrices simplécticas

Para Sp (2, R ) , el grupo de matrices 2 × 2 con determinante 1 , las tres matrices simplécticas (0, 1) son: ^[7]

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad {\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}.}$

Sp (n, R)

Resulta que puede tener una descripción bastante explícita utilizando generadores. Si denotamos las matrices simétricas , entonces se genera por donde${\displaystyle \operatorname {Sp} (n,\mathbf {R} )}$${\displaystyle \operatorname {Sym} (n)}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle \operatorname {Sp} (n,\mathbf {R} )}$${\displaystyle D(n)\cup N(n)\cup \{\Omega \},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}D(n)&=\left\{\left.{\begin{bmatrix}A&0\\0&(A^{T})^{-1}\end{bmatrix}}\,\right|\,A\in \operatorname {GL} (n,\mathbf {R} )\right\}\\[6pt]N(n)&=\left\{\left.{\begin{bmatrix}I_{n}&B\\0&I_{n}\end{bmatrix}}\,\right|\,B\in \operatorname {Sym} (n)\right\}\end{aligned}}}$

son subgrupos de ^{[8] pág. 173 [9] pág} . ² .${\displaystyle \operatorname {Sp} (n,\mathbf {R} )}$

Relación con la geometría simpléctica

La geometría simpléctica es el estudio de variedades simplécticas . El espacio tangente en cualquier punto de una variedad simpléctica es un espacio vectorial simpléctico . ^[10] Como se señaló anteriormente, las transformaciones que conservan la estructura de un espacio vectorial simpléctico forman un grupo y este grupo es Sp (2 n , F ) , dependiendo de la dimensión del espacio y el campo sobre el que está definido.

Un espacio vectorial simpléctico es en sí mismo una variedad simpléctica. Una transformación bajo una acción del grupo simpléctico es así, en cierto sentido, una versión linealizada de un simpléctomorfismo que es una estructura más general que conserva la transformación en una variedad simpléctica.

Sp ( n )

El grupo simpléctico compacto ^[11] Sp ( n ) es la intersección de Sp (2 n , C ) con el grupo unitario:${\displaystyle 2n\times 2n}$

${\displaystyle \operatorname {Sp} (n):=\operatorname {Sp} (2n;\mathbf {C} )\cap \operatorname {U} (2n)=\operatorname {Sp} (2n;\mathbf {C} )\cap \operatorname {SU} (2n).}$

A veces se escribe USp (2 n ) . Alternativamente, Sp ( n ) se puede describir como el subgrupo de GL ( n , H ) ( matrices cuaterniónicas invertibles ) que conserva la forma hermitiana estándar en H ⁿ :

${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\bar {x}}_{1}y_{1}+\cdots +{\bar {x}}_{n}y_{n}.}$

Es decir, Sp ( n ) es solo el grupo unitario cuaterniónico , U ( n , H ) . ^[12] De hecho, a veces se le denomina grupo hiperunitario . También Sp (1) es el grupo de cuaterniones de norma 1 , equivalente a SU (2) y topológicamente una 3 -esfera S ³ .

Tenga en cuenta que Sp ( n ) no es un grupo simpléctico en el sentido de la sección anterior; no conserva una forma H -bilineal asimétrica asimétrica no degenerada en H ⁿ : no existe tal forma excepto la forma cero. Más bien, es isomorfo a un subgrupo de Sp (2 n , C ) , y por lo tanto conserva una forma simpléctica compleja en un espacio vectorial de dimensión dos veces mayor. Como se explica a continuación, el álgebra de Lie de Sp ( n ) es la forma real compacta del álgebra de Lie simpléctica compleja sp (2 n , C ).

Sp ( n ) es un grupo de Lie real con dimensión (real) n (2 n + 1) . Es compacto , conectado y simplemente conectado . ^[13]

El álgebra de Lie de Sp ( n ) está dada por las matrices cuaterniónicas sesgadas-hermitianas , el conjunto de n- por- n matrices cuaterniónicas que satisfacen

${\displaystyle A+A^{\dagger }=0}$

donde A ^† es la transpuesta conjugada de A (aquí se toma el conjugado cuaterniónico). El corchete de Lie viene dado por el conmutador.

Subgrupos importantes

Algunos subgrupos principales son:

${\displaystyle \operatorname {Sp} (n)\supset \operatorname {Sp} (n-1)}$

${\displaystyle \operatorname {Sp} (n)\supset \operatorname {U} (n)}$

${\displaystyle \operatorname {Sp} (2)\supset \operatorname {O} (4)}$

Por el contrario, es en sí mismo un subgrupo de algunos otros grupos:

${\displaystyle \operatorname {SU} (2n)\supset \operatorname {Sp} (n)}$

${\displaystyle \operatorname {F} _{4}\supset \operatorname {Sp} (4)}$

${\displaystyle \operatorname {G} _{2}\supset \operatorname {Sp} (1)}$

También están los isomorfismos de las álgebras de Lie sp (2) = so (5) y sp (1) = so (3) = su (2) .

Relación entre los grupos simplécticos

Todo álgebra de Lie compleja y semisimple tiene una forma real dividida y una forma real compacta ; el primero se denomina una complexificación de los dos últimos.

El álgebra de Lie de Sp (2 n , C ) es semisimple y se denota sp (2 n , C ) . Su forma real dividida es sp (2 n , R ) y su forma real compacta es sp ( n ) . Estos corresponden a los grupos de Lie Sp (2 n , R ) y Sp ( n ) respectivamente.

Las álgebras, sp ( p , n - p ) , que son las álgebras de Lie de Sp ( p , n - p ) , son la firma indefinida equivalente a la forma compacta.

Importancia física

Mecánica clásica

El grupo simpléctico compacto Sp ( n ) aparece en la física clásica como las simetrías de las coordenadas canónicas que preservan el corchete de Poisson.

Considere un sistema de n partículas, que evoluciona según las ecuaciones de Hamilton, cuya posición en el espacio de fase en un momento dado se indica mediante el vector de coordenadas canónicas ,

${\displaystyle \mathbf {z} =(q^{1},\ldots ,q^{n},p_{1},\ldots ,p_{n})^{\mathrm {T} }.}$

Los elementos del grupo Sp (2 n , R ) son, en cierto sentido, transformaciones canónicas sobre este vector, es decir, conservan la forma de las ecuaciones de Hamilton . ^{[14] [15]} Si

${\displaystyle \mathbf {Z} =\mathbf {Z} (\mathbf {z} ,t)=(Q^{1},\ldots ,Q^{n},P_{1},\ldots ,P_{n})^{\mathrm {T} }}$

son nuevas coordenadas canónicas, entonces, con un punto que denota derivada del tiempo,

${\displaystyle {\dot {\mathbf {Z} }}=M({\mathbf {z} },t){\dot {\mathbf {z} }},}$

dónde

${\displaystyle M(\mathbf {z} ,t)\in \operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} )}$

para todo t y todo z en el espacio de fase. ^[dieciséis]

Para el caso especial de una variedad de Riemann , las ecuaciones de Hamilton describen las geodésicas en esa variedad. Las coordenadas viven en el haz tangente a la variedad y los momentos viven en el haz cotangente . Ésta es la razón por la que estos se escriben convencionalmente con índices superior e inferior; es distinguir sus ubicaciones. El hamiltoniano correspondiente consiste puramente en la energía cinética: es donde es la inversa del tensor métrico en la variedad de Riemann. ^{[17] [15]} El paquete cotangente de cualquier variedad de Riemanninan es un caso especial de variedad simpléctica .${\displaystyle q^{i}}$${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle H={\tfrac {1}{2}}g^{ij}(q)p_{i}p_{j}}$${\displaystyle g^{ij}}$ ${\displaystyle g_{ij}}$

Mecánica cuántica

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Considere un sistema de n partículas cuyo estado cuántico codifica su posición y momento. Estas coordenadas son variables continuas y, por tanto, el espacio de Hilbert , en el que vive el estado, es de dimensión infinita. Esto a menudo dificulta el análisis de esta situación. Un enfoque alternativo es considerar la evolución de los operadores de posición y momento bajo la ecuación de Heisenberg en el espacio de fase .

Construya un vector de coordenadas canónicas ,

${\displaystyle \mathbf {\hat {z}} =({\hat {q}}^{1},\ldots ,{\hat {q}}^{n},{\hat {p}}_{1},\ldots ,{\hat {p}}_{n})^{\mathrm {T} }.}$

La relación de conmutación canónica se puede expresar simplemente como

${\displaystyle [\mathbf {\hat {z}} ,\mathbf {\hat {z}} ^{\mathrm {T} }]=i\hbar \Omega }$

dónde

${\displaystyle \Omega ={\begin{pmatrix}\mathbf {0} &I_{n}\\-I_{n}&\mathbf {0} \end{pmatrix}}}$

e I _n es la matriz identidad n × n .

Muchas situaciones físicas solo requieren hamiltonianos cuadráticos , es decir, hamiltonianos de la forma

${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {1}{2}}\mathbf {\hat {z}} ^{\mathrm {T} }K\mathbf {\hat {z}} }$

donde K es una matriz simétrica real de 2 n × 2 n . Esto resulta ser una restricción útil y nos permite reescribir la ecuación de Heisenberg como

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {\hat {z}} }{dt}}=\Omega K\mathbf {\hat {z}} }$

La solución a esta ecuación debe preservar la relación de conmutación canónica . Se puede demostrar que la evolución temporal de este sistema es equivalente a una acción del grupo simpléctico real, Sp (2 n , R ) , sobre el espacio de fase.

Ver también

• Grupo ortogonal
• Grupo unitario
• Grupo unitario proyectivo
• Variedad simpléctica , matriz Simpléctica , espacio vectorial Simpléctica , representación Simpléctica
• Representaciones de grupos de Lie clásicos
• Mecánica hamiltoniana
• Grupo metapléctico
• Θ10

Notas

1. "Grupo simpléctico" , Enciclopedia de matemáticas recuperado el 13 de diciembre de 2014.
2. Salón 2015 Prop. 3.25
3. "¿Es simple el grupo simpléctico Sp (2 n , R )?" , Stack Exchange. Obtenido el 14 de diciembre de 2014.
4. "¿Es el mapa exponencial para Sp (2 n , R ) sobreyectivo?" , Stack Exchange. Obtenido el 5 de diciembre de 2014.
5. "Formas estándar e ingeniería de entrelazamiento de estados gaussianos multimodo bajo operaciones locales - Serafini y Adesso" , obtenido el 30 de enero de 2015.
6. "Geometría simpléctica - Arnol'd y Givental" , obtenido el 30 de enero de 2015.
7. Symplectic Group , (fuente: Wolfram MathWorld ), descargado el 14 de febrero de 2012
8. Gerald B. Folland. (2016). Análisis de armónicos en el espacio de fase . Princeton: Princeton Univ Press. pag. 173. ISBN 1-4008-8242-7. OCLC  945482850 .
9. Habermann, Katharina, 1966- (2006). Introducción a los operadores simplécticos de Dirac . Saltador. ISBN 978-3-540-33421-7. OCLC  262692314 .
10. "Lecture Notes - Lecture 2: Symplectic Reduction" , obtenido el 30 de enero de 2015.
11. Salón 2015 Sección 1.2.8
12. Salón 2015 p. 14
13. Salón 2015 Prop. 13.12
14. Arnold 1989 ofrece una amplia descripción matemática de la mecánica clásica. Consulte el capítulo 8 para conocer las variedades simplécticas .
15. Ralph Abraham y Jerrold E. Marsden , Fundamentos de la mecánica , (1978) Benjamin-Cummings, Londres ISBN 0-8053-0102-X 
16. Goldstein 1980 , sección 9.3
17. Jurgen Jost, (1992) Geometría riemanniana y análisis geométrico , Springer.

Referencias

• Arnold, VI (1989), Métodos matemáticos de la mecánica clásica , Textos de posgrado en matemáticas , 60 (segunda ed.), Springer-Verlag , ISBN 0-387-96890-3
• Hall, Brian C. (2015), grupos de Lie, álgebras de Lie y representaciones: una introducción elemental , Textos de posgrado en matemáticas, 222 (2a ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Fulton, W .; Harris, J. (1991), Teoría de la representación, Un primer curso , Textos de posgrado en matemáticas , 129 , Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-97495-8.
• Goldstein, H. (1980) [1950]. "Capítulo 7". Mecánica clásica (2ª ed.). Lectura MA: Addison-Wesley . ISBN 0-201-02918-9.
• Lee, JM (2003), Introducción a las variedades suaves , Textos de posgrado en matemáticas , 218 , Springer-Verlag , ISBN 0-387-95448-1
• Rossmann, Wulf (2002), Lie Groups - An Introduction Through Linear Groups , Oxford Graduate Texts in Mathematics, Oxford Science Publications, ISBN 0-19-859683-9
• Ferraro, Alessandro; Olivares, Stefano; París, Matteo GA (marzo de 2005), "Estados gaussianos en información cuántica variable continua", arXiv : quant-ph / 0503237.