Azulejos octogonales Order-4 | |
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Modelo de disco de Poincaré del plano hiperbólico | |
Tipo | Mosaico hiperbólico regular |
Configuración de vértice | 8 4 |
Símbolo de Schläfli | {8,4} r {8,8} |
Símbolo de Wythoff | 4 | 8 2 |
Diagrama de Coxeter | o |
Grupo de simetría | [8,4], (* 842) [8,8], (* 882) |
Doble | Azulejos cuadrados Order-8 |
Propiedades | Vértice-transitivo , borde-transitivo , cara-transitivo |
En geometría , el mosaico octagonal de orden 4 es un mosaico regular del plano hiperbólico . Tiene el símbolo de Schläfli de {8,4}. Su color de tablero de ajedrez se puede llamar un mosaico octaoctagonal y el símbolo de Schläfli de r {8,8}.
Construcciones uniformes
Hay cuatro construcciones uniformes de este mosaico, tres de ellas construidas mediante la extracción de un espejo del caleidoscopio [8,8] . Quitar el espejo entre los puntos de orden 2 y 4, [8,8,1 + ], da [(8,8,4)], (* 884) simetría. Eliminar dos espejos como [8,4 * ], deja los espejos restantes * 4444 simetría.
Uniforme para colorear | ||||
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Simetría | [8,4] (* 842) | [8,8] (* 882) = | [(8,4,8)] = [8,8,1 + ] (* 884) = = | [1 + , 8,8,1 + ] (* 4444) = |
Símbolo | {8,4} | r {8,8} | r (8,4,8) = r {8,8} 1 ⁄ 2 | r {8,4} 1 ⁄ 8 = r {8,8} 1 ⁄ 4 |
Diagrama de Coxeter | = = | = = = |
Simetría
Este mosaico representa un caleidoscopio hiperbólico de 8 espejos que se encuentran como bordes de un hexágono regular. Esta simetría por notación orbifold se llama (* 22222222) o (* 2 8 ) con 8 intersecciones de espejo de orden 2. En la notación de Coxeter se puede representar como [8 * , 4], eliminando dos de los tres espejos (que pasan por el centro del octágono) en la simetría [8,4]. Agregar un espejo bisectorial a través de 2 vértices de un dominio fundamental octagonal define una simetría trapezoédrica * 4422 . Agregar 4 espejos bisectantes a través de los vértices define la simetría * 444 . La adición de 4 espejos bisectantes a través del borde define la simetría * 4222 . Sumar las 8 bisectrices conduce a una simetría completa * 842 .
* 444 | * 4222 | * 832 |
Los dominios caleidoscópicos pueden verse como mosaicos octogonales bicolores, que representan imágenes especulares del dominio fundamental. Esta coloración representa el mosaico uniforme r {8,8}, un mosaico cuasirregular y se puede llamar un mosaico octaoctagonal .
Poliedros y mosaicos relacionados
Este mosaico está relacionado topológicamente como parte de una secuencia de mosaicos regulares con caras octogonales , comenzando con el mosaico octogonal , con el símbolo de Schläfli {8, n} y el diagrama de Coxeter. , progresando hasta el infinito.
* n 42 mutación de simetría de teselaciones regulares: { n , 4} | |||||||
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Esférico | Euclidiana | Azulejos hiperbólicos | |||||
2 4 | 3 4 | 4 4 | 5 4 | 6 4 | 7 4 | 8 4 | ... ∞ 4 |
Mosaicos regulares: {n, 8} | |||||||||||
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Esférico | Azulejos hiperbólicos | ||||||||||
{2,8} | {3,8} | {4,8} | {5,8} | {6,8} | {7,8} | {8,8} | ... | {∞, 8} |
Este mosaico también está relacionado topológicamente como parte de una secuencia de poliedros regulares y mosaicos con cuatro caras por vértice, comenzando con el octaedro , con el símbolo de Schläfli {n, 4} y el diagrama de Coxeter., con n progresando hasta el infinito.
{3,4} | {4,4} | {5,4} | {6,4} | {7,4} | {8,4} | ... | {∞, 4} |
Azulejos uniformes octogonales / cuadrados | |||||||||||
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[8,4], (* 842) (con [8,8] (* 882), [(4,4,4)] (* 444), [∞, 4, ∞] (* 4222) índice 2 subsimetrías ) (Y [(∞, 4, ∞, 4)] (* 4242) índice 4 subsimetría) | |||||||||||
= = = | = | = = = | = | = = | = | ||||||
{8,4} | t {8,4} | r {8,4} | 2t {8,4} = t {4,8} | 2r {8,4} = {4,8} | rr {8,4} | tr {8,4} | |||||
Duales uniformes | |||||||||||
V8 4 | V4.16.16 | V (4,8) 2 | V8.8.8 | V4 8 | V4.4.4.8 | V4.8.16 | |||||
Alternancias | |||||||||||
[1 + , 8,4] (* 444) | [8 + , 4] (8 * 2) | [8,1 + , 4] (* 4222) | [8,4 + ] (4 * 4) | [8,4,1 + ] (* 882) | [(8,4,2 + )] (2 * 42) | [8,4] + (842) | |||||
= | = | = | = | = | = | ||||||
h {8,4} | s {8,4} | h {8,4} | s {4,8} | h {4,8} | hrr {8,4} | sr {8,4} | |||||
Duales de alternancia | |||||||||||
V (4,4) 4 | V3. (3.8) 2 | V (4.4.4) 2 | V (3,4) 3 | V8 8 | V4.4 4 | V3.3.4.3.8 |
Azulejos octaoctagonales uniformes | |||||||||||
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Simetría: [8,8], (* 882) | |||||||||||
= = | = = | = = | = = | = = | = = | = = | |||||
{8,8} | t {8,8} | r {8,8} | 2t {8,8} = t {8,8} | 2r {8,8} = {8,8} | rr {8,8} | tr {8,8} | |||||
Duales uniformes | |||||||||||
V8 8 | V8.16.16 | V8.8.8.8 | V8.16.16 | V8 8 | V4.8.4.8 | V4.16.16 | |||||
Alternancias | |||||||||||
[1 + , 8,8] (* 884) | [8 + , 8] (8 * 4) | [8,1 + , 8] (* 4242) | [8,8 + ] (8 * 4) | [8,8,1 + ] (* 884) | [(8,8,2 + )] (2 * 44) | [8,8] + (882) | |||||
= | = | = | = = | = = | |||||||
h {8,8} | s {8,8} | h {8,8} | s {8,8} | h {8,8} | hrr {8,8} | sr {8,8} | |||||
Duales de alternancia | |||||||||||
V (4,8) 8 | V3.4.3.8.3.8 | V (4,4) 4 | V3.4.3.8.3.8 | V (4,8) 8 | V4 6 | V3.3.8.3.8 |
Ver también
- Azulejos cuadrados
- Mosaicos de polígonos regulares
- Lista de teselaciones planas uniformes
- Lista de politopos regulares
Referencias
- John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, Las simetrías de las cosas 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Capítulo 19, Las teselaciones hiperbólicas de Arquímedes)
- "Capítulo 10: panales regulares en el espacio hiperbólico". La belleza de la geometría: doce ensayos . Publicaciones de Dover. 1999. ISBN 0-486-40919-8. LCCN 99035678 .
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Mosaico hiperbólico" . MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Disco hiperbólico de Poincaré" . MathWorld .
- Galería de mosaico hiperbólico y esférico
- KaleidoTile 3: software educativo para crear mosaicos esféricos, planos e hiperbólicos
- Teselaciones planas hiperbólicas, Don Hatch