2D | 3D |
---|---|
Triángulo truncado o hexágono uniforme , con diagrama de Coxeter . | Octaedro truncado , |
4D | 5D |
16 celdas truncadas , | 5-ortoplex truncado , |
Un politopo uniforme de dimensión tres o superior es un politopo transitivo de vértice limitado por facetas uniformes . Los politopos uniformes en dos dimensiones son los polígonos regulares (la definición es diferente en 2 dimensiones para excluir los polígonos de lados pares transitivos de vértice que alternan dos longitudes diferentes de aristas).
Esta es una generalización de la categoría más antigua de politopos semirregulares , pero también incluye los politopos regulares . Además, se permiten caras regulares de estrellas y figuras de vértices ( polígonos de estrellas ), lo que amplía enormemente las posibles soluciones. Una definición estricta requiere que los politopos uniformes sean finitos, mientras que una definición más amplia permite que los panales uniformes ( mosaicos bidimensionales y panales de mayor dimensión ) del espacio euclidiano e hiperbólico también se consideren politopos.
Operaciones
Casi todos los politopos uniformes pueden generarse mediante una construcción de Wythoff y representarse mediante un diagrama de Coxeter . Las excepciones notables incluyen el gran dirhombicosidodecaedro en tres dimensiones y el gran antiprisma en cuatro dimensiones. La terminología para los politopos convexos uniformes utilizados en poliedro uniforme , uniforme 4-politopo , uniformes 5-politopo , uniforme 6-politopo , embaldosado uniforme , y de nido de abeja uniformes convexos artículos fueron acuñado por Norman Johnson . [ cita requerida ]
De manera equivalente, los politopos wythoffianos se pueden generar aplicando operaciones básicas a los politopos regulares en esa dimensión. Este enfoque fue utilizado por primera vez por Johannes Kepler y es la base de la notación poliedro de Conway .
Operadores de rectificación
Los n-politopos regulares tienen n órdenes de rectificación . La rectificación cero es la forma original. La ( n −1) -ésima rectificación es la dual . Una rectificación reduce aristas a vértices, una birectificación reduce caras a vértices, una trirectificación reduce celdas a vértices, una cuadrirectificación reduce 4 caras a vértices, una quintirectificación reduce 5 caras a vértices, etc.
Se puede utilizar un símbolo Schläfli extendido para representar formas rectificadas, con un solo subíndice:
- k -ésima rectificación = t k {p 1 , p 2 , ..., p n-1 } = k r .
Operadores de truncamiento
Operaciones de truncamiento que se pueden aplicar a n -politopos regulares en cualquier combinación. El diagrama de Coxeter resultante tiene dos nodos anillados, y la operación recibe el nombre de la distancia entre ellos. El truncamiento corta vértices, la cantelación corta los bordes, la ejecución corta las caras, la esterificación corta las células. Cada operación superior también corta las inferiores, por lo que una cantelación también trunca vértices.
- t 0,1 o t : Truncamiento - aplicado a polígonos y superiores. Un truncamiento elimina los vértices e inserta una nueva faceta en lugar de cada vértice anterior. Las caras se truncan, doblando sus bordes. (El término, acuñado por Kepler , proviene del latín truncare 'cortar').
- También hay truncamientos más altos: bitruncation t 1,2 o 2t , tritruncation t 2,3 o 3t , quadritruncation t 3,4 o 4t , quintitruncation t 4,5 o 5t , etc.
- t 0,2 o rr : Cantelación - aplicada a poliedros y superiores. Puede verse como rectificando su rectificación . Una cantelación trunca tanto vértices como aristas y los reemplaza con nuevas facetas. Las células se reemplazan por copias expandidas topológicamente de sí mismas. (El término, acuñado por Johnson, se deriva del verbo cant , como bisel , que significa cortar con una cara inclinada).
- Hay más altos cantellations también: la bicantellation t 1,3 o R2R , tricantellation t 2,4 o R3R , quadricantellation t 3,5 o R4R , etc.
- t 0,1,2 o tr : Cantitruncation - aplicado a poliedros y superiores. Puede verse como truncando su rectificación . Una cantitruncación trunca tanto los vértices como las aristas y los reemplaza con nuevas facetas. Las células se reemplazan por copias expandidas topológicamente de sí mismas. (El término compuesto combina cantelación y truncamiento)
- También existen cantelaciones superiores: bicantitruncation t 1,2,3 o t2r , tricantitruncation t 2,3,4 o t3r , quadricantitruncation t 3,4,5 o t4r , etc.
- t 0,3 : Runcination - aplicado a Uniform 4-polytope y superior. Runcination trunca vértices, aristas y caras, reemplazándolos cada uno con nuevas facetas. Las 4 caras se reemplazan por copias expandidas topológicamente de sí mismas. (El término, acuñado por Johnson, se deriva del latín runcina ' avión de carpintero ').
- También hay más corrimientos : biruncinación t 1,4 , triruncinación t 2,5 , etc.
- t 0,4 o 2r2r : Estericación : se aplica a 5 politopos uniformes y superiores. Puede verse como birectificando su birectificación. La esterificación trunca vértices, aristas, caras y celdas, reemplazando cada uno con nuevas facetas. Las 5 caras se reemplazan por copias expandidas topológicamente de sí mismas. (El término, acuñado por Johnson, se deriva de los estéreos griegos 'sólido').
- También hay estericaciones superiores: bistericación t 1,5 o 2r3r , tristericación t 2,6 o 2r4r , etc.
- t 0,2,4 o 2t2r : Estericantelación : se aplica a 5 politopos uniformes y superiores. Puede verse como bitruncando su birectificación.
- También hay estericaciones superiores: bistericalación t 1,3,5 o 2t3r , tristericantelación t 2,4,6 o 2t4r , etc.
- t 0,5 : Pentelación : se aplica a 6 politopos uniformes y superiores. La pentelación trunca vértices, aristas, caras, celdas y 4 caras, reemplazando cada uno con nuevas facetas. Las 6 caras se reemplazan por copias expandidas topológicamente de sí mismas. (La pentelación se deriva del griego pente 'cinco').
- También existen pentelaciones superiores: bipentelación t 1,6 , tripentelación t 2,7 , etc.
- t 0,6 o 3r3r : Hexicación : se aplica a 7 politopos uniformes y superiores. Puede verse como trirectificando su trirectificación. Hexication trunca vértices, aristas, caras, celdas, 4 caras y 5 caras, reemplazando cada una con nuevas facetas. Las 7 caras se reemplazan por copias expandidas topológicamente de sí mismas. (Hexicación se deriva del hexadecimal griego 'seis').
- También hay hexicaciones superiores: bihexicación : t 1,7 o 3r4r , trihexicación : t 2,8 o 3r5r , etc.
- t 0,3,6 o 3t3r : Hexiruncinado : aplicado a 7 politopos uniformes y superiores. Puede verse como tritruncando su trirectificación.
- También hay hexiruncinaciones superiores: bihexiruncinadas : t 1,4,7 o 3t4r , trihexiruncinadas : t 2,5,8 o 3t5r , etc.
- t 0,7 : heptelación : se aplica a 8 politopos uniformes y superiores. La heptelación trunca vértices, aristas, caras, celdas, 4 caras, 5 caras y 6 caras, reemplazando cada una con nuevas facetas. Las 8 caras se reemplazan por copias expandidas topológicamente de sí mismas. (La heptelación se deriva del griego hepta 'siete').
- También hay heptelaciones superiores: biheptelación t 1,8 , triheptelación t 2,9 , etc.
- t 0,8 o 4r4r : octelación : se aplica a 9 politopos uniformes y superiores.
- t 0,9 : Ennecation - aplicado a Uniform 10-polytopes y superior.
Además se pueden realizar combinaciones de truncamientos que también generan nuevos politopos uniformes. Por ejemplo, un runcitruncation es un runcination y un truncamiento aplicados juntos.
Si todos los truncamientos se aplican a la vez, la operación se puede llamar más generalmente omnitruncación .
Alternancia
Una operación especial, llamada alternancia , elimina vértices alternos de un politopo con solo caras pares. Un politopo omnitruncado alterno se llama desaire .
Los politopos resultantes siempre se pueden construir, y generalmente no son reflectantes, y tampoco tienen en general soluciones politopicas uniformes .
El conjunto de politopos formados alternando los hipercubos se conoce como semicubos . En tres dimensiones, esto produce un tetraedro ; en cuatro dimensiones, esto produce un 16 células , o demitesseract .
Figura de vértice
Los politopos uniformes se pueden construir a partir de su figura de vértice , la disposición de los bordes, caras, celdas, etc. alrededor de cada vértice. Los politopos uniformes representados por un diagrama de Coxeter , que marcan espejos activos mediante anillos, tienen simetría de reflexión y pueden construirse simplemente mediante reflejos recursivos de la figura del vértice.
Un número menor de politopos uniformes no reflectantes tiene una figura de vértice único, pero no se repiten mediante reflejos simples. La mayoría de estos se pueden representar con operaciones como la alternancia de otros politopos uniformes.
Las figuras de vértice para los diagramas de Coxeter de un solo anillo se pueden construir a partir del diagrama eliminando el nodo del anillo y haciendo sonar los nodos vecinos. Tales figuras de vértice son en sí mismas transitivas de vértice.
Los politopos de múltiples alas se pueden construir mediante un proceso de construcción un poco más complicado, y su topología no es un politopo uniforme. Por ejemplo, la figura del vértice de un politopo regular truncado (con 2 anillos) es una pirámide. Un politopo omnitruncado (todos los nodos anillados) siempre tendrá un simplex irregular como su figura de vértice.
Circumradius
Los politopos uniformes tienen la misma longitud de los bordes y todos los vértices están a la misma distancia del centro, llamado circunradio .
Los politopos uniformes cuyo radio de circunferencia es igual a la longitud del borde se pueden utilizar como figuras de vértice para panales uniformes . Por ejemplo, el hexágono regular se divide en 6 triángulos equiláteros y es la figura del vértice del mosaico triangular regular . Además, el cuboctaedro se divide en 8 tetraedros regulares y 6 pirámides cuadradas (medio octaedro ), y es la figura del vértice del panal cúbico alternado .
Politopos uniformes por dimensión
Es útil clasificar los politopos uniformes por dimensión. Esto es equivalente al número de nodos en el diagrama de Coxeter, o al número de hiperplanos en la construcción Wythoffian. Debido a que los politopos ( n +1) -dimensionales son mosaicos del espacio esférico n- dimensional, los mosaicos del espacio euclidiano e hiperbólico n -dimensional también se consideran ( n +1) -dimensionales. Por lo tanto, los mosaicos del espacio bidimensional se agrupan con los sólidos tridimensionales.
Una dimensión
El único politopo unidimensional es el segmento de línea. Corresponde a la familia Coxeter A 1 .
Dos dimensiones
En dos dimensiones, existe una familia infinita de politopos uniformes convexos, los polígonos regulares , siendo el más simple el triángulo equilátero . Los polígonos regulares truncados se convierten en polígonos bicolores geométricamente cuasirregulares de el doble de lados, t {p} = {2p}. Los primeros polígonos regulares (y formas cuasirregulares) se muestran a continuación:
Nombre | Triángulo ( 2-simplex ) | Cuadrado ( 2 ortoplex ) ( 2 cubos ) | Pentágono | Hexágono | Heptágono | Octágono | Eneagon | Decágono | Endecágono |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Schläfli | {3} | {4} t {2} | {5} | {6} t {3} | {7} | {8} t {4} | {9} | {10} t {5} | {11} |
Diagrama de Coxeter | |||||||||
Imagen | |||||||||
Nombre | Dodecágono | Tridecágono | Tetradecágono | Pentadecágono | Hexadecágono | Heptadecágono | Octadecágono | Eneadecágono | Icoságono |
Schläfli | {12} t {6} | {13} | {14} t {7} | {15} | {16} t {8} | {17} | {18} t {9} | {19} | {20} t {10} |
Diagrama de Coxeter | |||||||||
Imagen |
También hay un conjunto infinito de polígonos estelares (uno por cada número racional mayor que 2), pero estos no son convexos. El ejemplo más simple es el pentagrama , que corresponde al número racional 5/2. Los polígonos de estrellas regulares, {p / q}, se pueden truncar en polígonos de estrellas semirregulares, t {p / q} = t {2p / q}, pero se convierten en doble cobertura si q es par. También se puede hacer un truncamiento con un polígono de orientación inversa t {p / (pq)} = {2p / (pq)}, por ejemplo t {5/3} = {10/3}.
Nombre | Pentagrama | Heptagramas | Octagrama | Eneagramas | Decagramo | ... n-gramas | ||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Schläfli | {5/2} | {7/2} | {7/3} | {8/3} t {4/3} | {2/9} | {9/4} | {10/3} t {5/3} | { p / q } |
Diagrama de Coxeter | ||||||||
Imagen |
Polígonos regulares, representados por el símbolo de Schläfli {p} para un p-gon. Los polígonos regulares son auto-duales, por lo que la rectificación produce el mismo polígono. La operación de truncamiento uniforme duplica los lados a {2p}. La operación de desaire, alternando el truncamiento, restaura el polígono original {p}. Por tanto, todos los polígonos uniformes también son regulares. Las siguientes operaciones se pueden realizar en polígonos regulares para derivar los polígonos uniformes, que también son polígonos regulares:
Operación | Símbolos de Schläfli extendidos | Resultado regular | Diagrama de Coxeter | Posición | Simetría | ||
---|---|---|---|---|---|---|---|
(1) | (0) | ||||||
Padre | {pag} | t 0 {p} | {pag} | {} | - | [p] (orden 2p) | |
Rectificado (Dual) | r {p} | t 1 {p} | {pag} | - | {} | [p] (orden 2p) | |
Truncado | t {p} | t 0,1 {p} | {2p} | {} | {} | [[p]] = [2p] (orden 4p) | |
Mitad | h {2p} | {pag} | - | - | [1 + , 2p] = [p] (orden 2p) | ||
Desaire | s {p} | {pag} | - | - | [[p]] + = [p] (orden 2p) |
Tres dimensiones
En tres dimensiones, la situación se vuelve más interesante. Hay cinco poliedros regulares convexos, conocidos como sólidos platónicos :
Nombre | Schläfli {p, q} | Diagrama | Imagen (transparente) | Imagen (sólida) | Imagen (esfera) | Caras {p} | Bordes | Vértices {q} | Simetría | Doble |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Tetraedro ( 3-simplex ) (Pirámide) | {3,3} | 4 {3} | 6 | 4 {3} | T d | (uno mismo) | ||||
Cubo ( 3 cubos ) (Hexaedro) | {4,3} | 6 {4} | 12 | 8 {3} | O h | Octaedro | ||||
Octaedro ( 3-ortoplex ) | {3,4} | 8 {3} | 12 | 6 {4} | O h | Cubo | ||||
Dodecaedro | {5,3} | 12 {5} | 30 | 20 {3} 2 | Yo h | Icosaedro | ||||
Icosaedro | {3,5} | 20 {3} | 30 | 12 {5} | Yo h | Dodecaedro |
Además de estos, también hay 13 poliedros semirregulares, o sólidos de Arquímedes , que se pueden obtener mediante construcciones Wythoff , o realizando operaciones como el truncamiento de los sólidos platónicos, como se demuestra en la siguiente tabla:
Padre | Truncado | Rectificado | Bitruncado (tr. Dual) | Birectificado (dual) | Cantelado | Omnitruncado ( Cantitruncado ) | Desaire | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Tetraédrico 3-3-2 | {3,3} | (3.6.6) | (3.3.3.3) | (3.6.6) | {3,3} | (3.4.3.4) | (4.6.6) | (3.3.3.3.3) |
octaédrica 4-3-2 | {4,3} | (3.8.8) | (3.4.3.4) | (4.6.6) | {3,4} | (3.4.4.4) | (4.6.8) | (3.3.3.3.4) |
5-3-2 icosaédrico | {5,3} | (3.10.10) | (3.5.3.5) | (5.6.6) | {3,5} | (3.4.5.4) | (4.6.10) | (3.3.3.3.5) |
También existe el conjunto infinito de prismas , uno para cada polígono regular, y un conjunto correspondiente de antiprismas .
# | Nombre | Imagen | Embaldosado | Figura de vértice | Diagrama y símbolos de Schläfli |
---|---|---|---|---|---|
P 2p | Prisma | tr {2, p} | |||
Una p | Antiprisma | sr {2, p} |
Los poliedros de estrellas uniformes incluyen otros 4 poliedros de estrellas regulares, los poliedros de Kepler-Poinsot y 53 poliedros de estrellas semirregulares. También hay dos conjuntos infinitos, los prismas estelares (uno para cada polígono estelar) y los antiprismas estelares (uno para cada número racional mayor que 3/2).
Construcciones
Los poliedros y mosaicos uniformes Wythoffianos se pueden definir por su símbolo Wythoff , que especifica la región fundamental del objeto. Una extensión de la notación Schläfli , también utilizada por Coxeter , se aplica a todas las dimensiones; consta de la letra 't', seguida de una serie de números con subíndices correspondientes a los nodos anillados del diagrama de Coxeter , y seguida del símbolo de Schläfli del politopo semilla regular. Por ejemplo, el octaedro truncado está representado por la notación: t 0,1 {3,4}.
Operación | Símbolo de Schläfli | Diagrama de Coxeter | Símbolo de Wythoff | Posición: | |||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Padre | {p, q} | t 0 {p, q} | q | 2 p | {pag} | {} | - | - | - | {} | ||||
Birectificado (o dual ) | {q, p} | t 2 {p, q} | p | 2 q | - | {} | {q} | {} | - | - | ||||
Truncado | t {p, q} | t 0,1 {p, q} | 2 q | pag | {2p} | {} | {q} | - | {} | {} | ||||
Bitruncado (o doble truncado) | t {q, p} | t 1,2 {p, q} | 2 p | q | {pag} | {} | {2q} | {} | {} | - | ||||
Rectificado | r {p, q} | t 1 {p, q} | 2 | pq | {pag} | - | {q} | - | {} | - | ||||
Cantelado (o expandido ) | rr {p, q} | t 0,2 {p, q} | pq | 2 | {pag} | {} × {} | {q} | {} | - | {} | ||||
Cantitruncado (u Omnitruncado ) | tr {p, q} | t 0,1,2 {p, q} | 2 pq | | {2p} | {} × {} | {2q} | {} | {} | {} |
Operación | Símbolo de Schläfli | Diagrama de Coxeter | Símbolo de Wythoff | Posición: | |||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Desaire rectificado | sr {p, q} | | 2 pq | {pag} | {3} {3} | {q} | - | - | - | |||||
Desaire | s {p, 2q} | ht 0,1 {p, q} | s {2p} | {3} | {q} | - | {3} |
Generando triángulos |
Cuatro dimensiones
En cuatro dimensiones, hay 6 politopos regulares convexos , 17 prismas en los sólidos platónicos y de Arquímedes (excluyendo el prisma cúbico, que ya se ha contado como tesseract ), y dos conjuntos infinitos: los prismas en los antiprismas convexos, y los duoprismas . También hay 41 4 politopos convexos semirregulares, incluido el gran antiprisma no Wythoffiano y el chato de 24 celdas . Ambos de estos 4 politopos especiales están compuestos por subgrupos de los vértices de las 600 celdas .
No se han enumerado todos los politopos estelares uniformes de cuatro dimensiones. Los que tienen incluyen los 4 politopos de 10 estrellas regulares (Schläfli-Hess) y 57 prismas en los poliedros de estrellas uniformes, así como tres familias infinitas: los prismas en los antiprismas de estrellas, los duoprismas formados al multiplicar dos polígonos de estrellas, y los duoprismas formados al multiplicar un polígono ordinario por un polígono en estrella. Hay un número desconocido de 4 politopos que no encajan en las categorías anteriores; hasta ahora se han descubierto más de mil.
Cada politopo regular puede verse como las imágenes de una región fundamental en una pequeña cantidad de espejos. En un politopo de 4 dimensiones (o panal cúbico de 3 dimensiones) la región fundamental está delimitada por cuatro espejos. Un espejo en el espacio cuádruple es un hiperplano tridimensional , pero es más conveniente para nuestros propósitos considerar solo su intersección bidimensional con la superficie tridimensional de la hiperesfera ; así, los espejos forman un tetraedro irregular .
Cada uno de los dieciséis 4 politopos regulares es generado por uno de los cuatro grupos de simetría, como sigue:
- grupo [3,3,3]: el {3,3,3} de 5 celdas , que es auto-dual;
- grupo [3,3,4]: 16 celdas {3,3,4} y su tesseract dual {4,3,3};
- grupo [3, 4, 3]: el {3, 4, 3} de 24 celdas , auto-dual;
- grupo [3,3,5]: {3,3,5} de 600 celdas , su doble {5,3,3} de 120 celdas y sus diez estelas regulares.
- grupo [3 1,1,1 ]: contiene solo miembros repetidos de la familia [3,3,4].
(Los grupos se nombran en notación Coxeter ).
Ocho de los panales uniformes convexos en el espacio tridimensional euclidiano se generan de manera análoga a partir del panal de abejas cúbico {4,3,4}, aplicando las mismas operaciones utilizadas para generar los 4 politopos uniformes Wythoffianos.
Para una simetría simplex dada, se puede colocar un punto generador en cualquiera de los cuatro vértices, 6 aristas, 4 caras o el volumen interior. En cada uno de estos 15 elementos hay un punto cuyas imágenes, reflejadas en los cuatro espejos, son los vértices de un 4-politopo uniforme.
Los símbolos extendidos de Schläfli están formados por una t seguida de la inclusión de uno a cuatro subíndices 0,1,2,3. Si hay un subíndice, el punto generador está en una esquina de la región fundamental, es decir, un punto donde se encuentran tres espejos. Estas esquinas están anotadas como
- 0 : vértice del 4-politopo principal (centro de la celda del dual)
- 1 : centro del borde del padre (centro de la cara del doble)
- 2 : centro de la cara del padre (centro del borde del dual)
- 3 : centro de la celda del padre (vértice del dual)
(Para los dos 4-politopos auto-duales, "dual" significa un 4-politopo similar en posición dual). Dos o más subíndices significan que el punto de generación está entre las esquinas indicadas.
Resumen constructivo
Las 15 formas constructivas por familia se resumen a continuación. Las familias auto-duales se enumeran en una columna y otras como dos columnas con entradas compartidas en los diagramas simétricos de Coxeter . La décima fila final enumera las construcciones de 24 celdas desaire. Esto incluye todos los 4 politopos uniformes no prismáticos, excepto el gran antiprisma no wythoffiano , que no tiene familia Coxeter.
A 4 | BC 4 | D 4 | F 4 | H 4 | ||
---|---|---|---|---|---|---|
[3,3,3] | [4,3,3] | [3,3 1,1 ] | [3,4,3] | [5,3,3] | ||
5 celdas {3,3,3} | 16 celdas {3,3,4} | tesseract {4,3,3} | demitesseract {3,3 1,1 } | 24 celdas {3,4,3} | 600 celdas {3,3,5} | 120 celdas {5,3,3} |
rectificado de 5 celdas r {3,3,3} | rectificado de 16 celdas r {3,3,4} | tesseract rectificado r {4,3,3} | demitesseract rectificado r {3,3 1,1 } | rectificado de 24 celdas r {3,4,3} | 600 celdas rectificadas r {3,3,5} | 120 celdas rectificadas r {5,3,3} |
truncado de 5 celdas t {3,3,3} | 16 celdas truncadas t {3,3,4} | tesseract truncado t {4,3,3} | demitesseract truncado t {3,3 1,1 } | 24 celdas truncadas t {3,4,3} | 600 celdas truncadas t {3,3,5} | 120 celdas truncadas t {5,3,3} |
5 celdas canteladas rr {3,3,3} | 16 celdas canteladas rr {3,3,4} | tesseract cantelado rr {4,3,3} | demitasseract cantelado 2r {3,3 1,1 } | 24 celdas canteladas rr {3,4,3} | 600 celdas canteladas rr {3,3,5} | 120 celdas canteladas rr {5,3,3} |
runcinated de 5 celdas t 0,3 {3,3,3} | runcinated de 16 celdas t 0,3 {3,3,4} | tesseract runcinated t 0,3 {4,3,3} | runcinated de 24 celdas t 0,3 {3,4,3} | runcinated 600 células runcinated 120 células t 0,3 {3,3,5} | ||
bitruncado de 5 celdas t 1,2 {3,3,3} | bitruncado de 16 celdas 2t {3,3,4} | tesseract bitruncado 2t {4,3,3} | demitesseract cantitruncado 2t {3,3 1,1 } | bitruncado de 24 celdas 2t {3,4,3} | bitruncated 600 celdas bitruncated 120 celdas 2t {3,3,5} | |
5 celdas cantitruncadas tr {3,3,3} | cantitruncado de 16 celdas tr {3,3,4} | tesseract cantitruncado tr {4,3,3} | demitesseract omnitruncado tr {3,3 1,1 } | cantitruncado de 24 celdas tr {3,4,3} | 600 celdas cantitruncadas tr {3,3,5} | 120 celdas cantitruncadas tr {5,3,3} |
runcitruncated 5 celdas t 0,1,3 {3,3,3} | runcitruncated 16 celdas t 0,1,3 {3,3,4} | tesseract truncado t 0,1,3 {4,3,3} | demitasseract rr {3,3 1,1 } | runcitruncated 24 celdas t 0,1,3 {3,4,3} | runcitruncated 600 celdas t 0,1,3 {3,3,5} | runcitruncated 120 celdas t 0,1,3 {5,3,3} |
omnitruncado de 5 celdas t 0,1,2,3 {3,3,3} | 16 celdas omnitruncadas t 0,1,2,3 {3,3,4} | tesseract omnitruncado t 0,1,2,3 {3,3,4} | 24 celdas omnitruncadas t 0,1,2,3 {3,4,3} | omnitruncado de 120 celdas omnitruncado de 600 celdas t 0,1,2,3 {5,3,3} | ||
alternado cantitruncado de 16 celdas sr {3,3,4} | desaire demitasseract sr {3,3 1,1 } | 24 celdas truncadas alternas s {3,4,3} |
Formas truncadas
La siguiente tabla define los 15 formularios. Cada forma de trunción puede tener de uno a cuatro tipos de células, ubicadas en las posiciones 0, 1, 2, 3 como se definió anteriormente. Las celdas están etiquetadas mediante notación de truncamiento poliédrico.
- Un prisma n -gonal se representa como: {n} × {}.
- El fondo verde se muestra en formularios que son equivalentes al padre o al dual.
- El fondo rojo muestra los truncamientos del padre y el azul los truncamientos del dual.
Operación | Símbolo de Schläfli | Diagrama de Coxeter | Celdas por posición: | ||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
(3) | (2) | (1) | (0) | ||||
Padre | {p, q, r} | t 0 {p, q, r} | {p, q} | - | - | - | |
Rectificado | r {p, q, r} | t 1 {p, q, r} | r {p, q} | - | - | {q, r} | |
Birectificado (o rectificado dual) | 2r {p, q, r} = r {r, q, p} | t 2 {p, q, r} | {q, p} | - | - | r {q, r} | |
Trirectifed (o dual ) | 3r {p, q, r} = {r, q, p} | t 3 {p, q, r} | - | - | - | {r, q} | |
Truncado | t {p, q, r} | t 0,1 {p, q, r} | t {p, q} | - | - | {q, r} | |
Bitruncado | 2t {p, q, r} | 2t {p, q, r} | t {q, p} | - | - | t {q, r} | |
Tritruncado (o doble truncado) | 3t {p, q, r} = t {r, q, p} | t 2,3 {p, q, r} | {q, p} | - | - | t {r, q} | |
Cantelado | rr {p, q, r} | t 0,2 {p, q, r} | rr {p, q} | - | {} × {r} | r {q, r} | |
Bicantelado (o cantelado dual) | r2r {p, q, r} = rr {r, q, p} | t 1,3 {p, q, r} | r {p, q} | {p} × {} | - | rr {q, r} | |
Runcinado (o expandido ) | e {p, q, r} | t 0,3 {p, q, r} | {p, q} | {p} × {} | {} × {r} | {r, q} | |
Cantitruncado | tr {p, q, r} | tr {p, q, r} | tr {p, q} | - | {} × {r} | t {q, r} | |
Bicantitruncated (o cantitruncated dual) | t2r {p, q, r} = tr {r, q, p} | t 1,2,3 {p, q, r} | t {q, p} | {p} × {} | - | tr {q, r} | |
Runcitruncated | e t {p, q, r} | t 0,1,3 {p, q, r} | t {p, q} | {2p} × {} | {} × {r} | rr {q, r} | |
Runcicantellated (o runcitruncated dual) | e 3t {p, q, r} = e t {r, q, p} | t 0,2,3 {p, q, r} | tr {p, q} | {p} × {} | {} × {2r} | t {r, q} | |
Runcicantitruncated (u omnitruncated ) | o {p, q, r} | t 0,1,2,3 {p, q, r} | tr {p, q} | {2p} × {} | {} × {2r} | tr {q, r} |
Formas medias
Existen medias construcciones con agujeros en lugar de nudos anillados. Las ramas vecinas a los agujeros y los nodos inactivos deben ser de orden uniforme. La mitad de la construcción tiene los vértices de una construcción anillada idénticamente.
Operación | Símbolo de Schläfli | Diagrama de Coxeter | Celdas por posición: | ||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
(3) | (2) | (1) | (0) | ||||
Medio alterno | h {p, 2q, r} | ht 0 {p, 2q, r} | h {p, 2q} | - | - | - | |
Alternado rectificado | hr {2p, 2q, r} | ht 1 {2p, 2q, r} | hr {2p, 2q} | - | - | h {2q, r} | |
Truncamiento alternativo de desaire | s {p, 2q, r} | ht 0,1 {p, 2q, r} | s {p, 2q} | - | - | h {2q, r} | |
Bitruncation alternativo de Bisnub | 2 s {2p, q, 2r} | ht 1,2 {2p, q, 2r} | s {q, 2p} | - | - | s {q, 2r} | |
Chapado rectificado Alternado truncado rectificado | sr {p, q, 2r} | ht 0,1,2 {p, q, 2r} | sr {p, q} | - | s {2,2r} | s {q, 2r} | |
Omnisnub Omnitruncación alternada | os {p, q, r} | ht 0,1,2,3 {p, q, r} | sr {p, q} | {p} × {} | {} × {r} | sr {q, r} |
Cinco y mayores dimensiones
En cinco y más dimensiones, hay 3 politopos regulares, el hipercubo , el simplex y el politopo cruzado . Son generalizaciones del cubo tridimensional, tetraedro y octaedro, respectivamente. No hay politopos en estrella regulares en estas dimensiones. La mayoría de los politopos uniformes de dimensiones superiores se obtienen modificando los politopos regulares o tomando el producto cartesiano de los politopos de dimensiones inferiores.
En seis, siete y ocho dimensiones, entran en juego los excepcionales grupos Lie simples , E 6 , E 7 y E 8 . Al colocar anillos en un número distinto de cero de nodos de los diagramas de Coxeter , se pueden obtener 63 nuevos 6-politopos, 127 nuevos 7-politopos y 255 nuevos 8-politopos. Un ejemplo notable es el politopo 4 21 .
Panales uniformes
Relacionado con el tema de los politopos uniformes finitos están los panales uniformes en los espacios euclidianos e hiperbólicos. Los panales uniformes euclidianos son generados por grupos Coxeter afines y los panales hiperbólicos son generados por los grupos Coxeter hiperbólicos . Se pueden multiplicar dos grupos afines de Coxeter.
Hay dos clases de grupos Coxeter hiperbólicos, compactos y paracompactos. Los panales uniformes generados por grupos compactos tienen facetas finitas y figuras de vértice, y existen en 2 a 4 dimensiones. Los grupos paracompactos tienen subgrafos afines o hiperbólicos e infinitas facetas o figuras de vértices, y existen en 2 a 10 dimensiones.
Ver también
- Símbolo de Schläfli
Referencias
- Coxeter La belleza de la geometría: Doce ensayos , Publicaciones de Dover, 1999, ISBN 978-0-486-40919-1 (Capítulo 3: Construcción de Wythoff para politopos uniformes)
- Politopos uniformes de Norman Johnson , Manuscrito (1991)
- NW Johnson : La teoría de politopos uniformes y panales , Ph.D. Disertación, Universidad de Toronto, 1966
- A. Boole Stott : deducción geométrica de semirregular de politopos regulares y rellenos espaciales , Verhandelingen de la academia Koninklijke van Wetenschappen unidad de ancho Amsterdam, Eerste Sectie 11,1, Amsterdam, 1910
- HSM Coxeter :
- HSM Coxeter, MS Longuet-Higgins y JCP Miller: Poliedros uniformes , Transacciones filosóficas de la Royal Society of London, Londne, 1954
- HSM Coxeter, Regular Polytopes , 3.a edición, Dover Nueva York, 1973
- Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6
- (Documento 22) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi regulares I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
- (Documento 23) HSM Coxeter, Politopos regulares y semirregulares II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
- (Documento 24) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi-regulares III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3 a 45]
- Coxeter , Longuet-Higgins, Miller, Poliedros uniformes , Phil. Trans. 1954, 246 A, 401-50. (Se utiliza notación Schläfli ampliada)
- Marco Möller, Vierdimensionale Archimedische Polytope , Disertación, Universität Hamburg, Hamburg (2004) (en alemán)
enlaces externos
- Olshevsky, George. "Politopo uniforme" . Glosario de hiperespacio . Archivado desde el original el 4 de febrero de 2007.
- politopos convexos uniformes en cuatro dimensiones:, Marco Möller (en alemán)
Familia | Un n | B n | Yo 2 (p) / D n | E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2 | H n | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Polígono regular | Triángulo | Cuadrado | p-gon | Hexágono | Pentágono | |||||||
Poliedro uniforme | Tetraedro | Octaedro • Cubo | Demicubo | Dodecaedro • Icosaedro | ||||||||
Policoron uniforme | Pentacoron | 16 celdas • Tesseract | Demitesseract | 24 celdas | 120 celdas • 600 celdas | |||||||
5 politopos uniformes | 5 simplex | 5-ortoplex • 5-cubo | 5-demicubo | |||||||||
6 politopos uniformes | 6-simplex | 6 ortoplex • 6 cubos | 6-demicubo | 1 22 • 2 21 | ||||||||
7 politopos uniformes | 7-simplex | 7-ortoplex • 7-cubo | 7-demicubo | 1 32 • 2 31 • 3 21 | ||||||||
Politopo uniforme de 8 | 8 simplex | 8 ortoplex • 8 cubos | 8-demicubo | 1 42 • 2 41 • 4 21 | ||||||||
9 politopos uniformes | 9 simplex | 9-ortoplex • 9-cubo | 9-demicubo | |||||||||
Politopo uniforme 10 | 10-simplex | 10-ortoplex • 10-cubo | 10-demicubo | |||||||||
Uniforme n - politopo | n - simplex | n - ortoplejo • n - cubo | n - demicube | 1 k2 • 2 k1 • k 21 | n - politopo pentagonal | |||||||
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