En matemáticas , una forma diferencial de valor vectorial en un colector de M es una forma diferencial en M con valores en un espacio vectorial V . Más en general, es una forma diferencial con valores en algún paquete del vector E sobre M . Las formas diferenciales ordinarias pueden verse como formas diferenciales con valor R.
Un caso importante de formas diferenciales con valores vectoriales son las formas con valores de álgebra de Lie . (Un formulario de conexión es un ejemplo de dicho formulario).
Definición
Deje que M sea un múltiple liso y E → M sea un suave paquete del vector sobre M . Denotamos el espacio de las secciones lisas de un paquete E por Γ ( E ). Un E -valued forma diferencial de grado p es una sección lisa de la agrupación de productos tensor de E con Λ p ( T * M ), el p -ésimo de potencia exterior del fibrado cotangente de M . El espacio de tales formas se denota por
Debido a que Γ es un funtor monoidal fuerte , [1] esto también se puede interpretar como
donde los dos últimos productos tensoriales son el producto tensorial de módulos sobre el anillo Ω 0 ( M ) de funciones suaves con valor R en M (vea el séptimo ejemplo aquí ). Por convención, un E -valued 0-forma es simplemente una sección del haz E . Es decir,
De manera equivalente, una forma diferencial con valor E se puede definir como un morfismo de paquete
que es totalmente simétrico sesgado .
Sea V un espacio vectorial fijo . A V -valued forma diferencial de grado p es una forma diferencial de grado p con valores en el paquete trivial M × V . El espacio de tales formas se denota Ω p ( M , V ). Cuando V = R se recupera la definición de forma diferencial ordinaria. Si V es de dimensión finita, entonces se puede demostrar que el homomorfismo natural
donde el primer producto tensorial es de espacios vectoriales sobre R , es un isomorfismo. [2]
Operaciones en formas con valores vectoriales
Echar para atrás
Se puede definir el retroceso de las formas con valores vectoriales mediante mapas suaves al igual que para las formas ordinarias. El retroceso de una forma con valor E en N mediante un mapa suave φ: M → N es una forma con valor (φ * E ) en M , donde φ * E es el paquete de retroceso de E por φ.
La fórmula se da como en el caso ordinario. Para cualquier E -valued p -form ω en N la retirada φ * ω está dada por
Producto de cuña
Al igual que para las formas diferenciales ordinarias, se puede definir un producto de cuña de formas con valores vectoriales. El producto de cuña de un E 1 -valued p -form con un E 2 -valued q -form es, naturalmente, una ( E 1 ⊗ E 2 ) -valued ( p + q ) -forma:
La definición es igual que para las formas ordinarias, con la excepción de que la multiplicación real se reemplaza con el producto tensorial :
En particular, el producto de cuña de una ordinaria ( R -valued) p -form con un E -valued q -form es, naturalmente, un E -valued ( p + q ) forma (ya que el producto tensorial de E con el paquete trivial M × R es naturalmente isomorfo a E ). Para ω ∈ Ω p ( M ) y η ∈ Ω q ( M , E ) se tiene la relación de conmutatividad habitual:
En general, el producto de cuña de dos formas con valor E no es otra forma con valor E , sino más bien una forma con valor ( E ⊗ E ). Sin embargo, si E es un haz de álgebra (es decir, un haz de álgebra en lugar de espacios vectoriales sólo) se puede componer con la multiplicación en E para obtener una E forma -valued. Si E es un conjunto de álgebras asociativas conmutativas , entonces, con este producto de cuña modificado, el conjunto de todas las formas diferenciales valoradas en E
se convierte en un álgebra asociativa conmutativa graduada . Si las fibras de E no son conmutativas, entonces Ω ( M , E ) no será conmutativa graduada.
Derivado exterior
Para cualquier espacio vectorial V hay una derivada exterior natural en el espacio de formas valoradas en V. Esto es sólo el ordinario exterior actuación derivado de componente a componente con relación a cualquier base de V . Explícitamente, si { e α } es una base para V , entonces el diferencial de una V -valued p -form ω = ω α e α viene dado por
La derivada exterior en formas valoradas en V se caracteriza completamente por las relaciones habituales:
Más en general, las observaciones anteriores se aplican a E -valued formas donde E es cualquier paquete del vector plana sobre M (es decir, un paquete del vector cuyas funciones de transición son constantes). El derivado exterior se define como anteriormente en cualquier trivialización locales de E .
Si E no es plano, entonces no existe una noción natural de un derivado exterior que actúe sobre formas valoradas en E. Lo que se necesita es una opción de conexión de E . Una conexión en E es un operador diferencial lineal que toma secciones de E a una forma de valor E :
Si E está equipado con una conexión ∇, entonces hay una derivada exterior covariante única
extendiendo ∇. La derivada covariante exterior se caracteriza por la linealidad y la ecuación
donde ω es una E -valued p -forma y η es un ordinario q -form. En general, no es necesario que d ∇ 2 = 0. De hecho, esto sucede si y solo si la conexión ∇ es plana (es decir, tiene una curvatura de fuga ).
Formas básicas o tensoriales en paquetes principales
Deje E → M sea un haz vector suave de rango k sobre M y dejar π : F ( E ) → M sea el ( asociado ) haz marco de E , que es un director GL k ( R ) haz sobre M . El retroceso de E por π es canónicamente isomorfo a F ( E ) × ρ R k a través de la inversa de [ u , v ] → u ( v ), donde ρ es la representación estándar. Por lo tanto, el retroceso por π de una forma valorada en E en M determina una forma valorada en R k en F ( E ). No es difícil comprobar que esta forma retraída es equivariante a la derecha con respecto a la acción natural de GL k ( R ) en F ( E ) × R k y desaparece en los vectores verticales (vectores tangentes a F ( E ) que se encuentran en el núcleo de d π ). Tales formas con valores vectoriales en F ( E ) son lo suficientemente importantes como para justificar una terminología especial: se denominan formas básicas o tensoriales en F ( E ).
Sea π : P → M un paquete G principal (suave) y sea V un espacio vectorial fijo junto con una representación ρ : G → GL ( V ). Una forma básica o tensorial en P de tipo ρ es una forma ω valorada en V en P que es equivariante y horizontal en el sentido de que
- para todo g ∈ G , y
- siempre que al menos uno de los v i sea vertical (es decir, d π ( v i ) = 0).
Aquí R g denota la correcta acción de G sobre P para algunos g ∈ G . Tenga en cuenta que para las formas 0, la segunda condición es vacuosamente verdadera .
- Ejemplo: si ρ es la representación adjunta de G en el álgebra de Lie, entonces la forma de conexión ω satisface la primera condición (pero no la segunda). La forma de curvatura asociada Ω satisface ambos; por tanto, Ω es una forma tensorial de tipo adjunto. La "diferencia" de dos formas de conexión es una forma tensorial.
Dada P y ρ como anteriormente se puede construir el vector asociado haz E = P × ρ V . Tensoriales q -formas sobre P están en una correspondencia natural de uno-a-uno con E -valued q -formas en M . Como en el caso del paquete principal F ( E ) anterior, dada una forma qen M con valores en E , defina φ en P en función de la fibra mediante, digamos, en u ,
donde u se ve como un isomorfismo lineal. φ es entonces una forma tensorial de tipo ρ. Por el contrario, dada una forma tensorial φ de tipo ρ, la misma fórmula define una forma valorada en Een M (cf. el homomorfismo de Chern-Weil ). En particular, hay un isomorfismo natural de los espacios vectoriales
- .
- Ejemplo: Sea E el fibrado tangente de M . A continuación, haz identidad mapa ID E : E → E es un E -valued una forma de M . La única forma tautológica es una forma única en el marco del paquete de E que corresponde al ID E . Denominado por θ, es una forma tensorial de tipo estándar.
Ahora, supongamos que hay una conexión en P de modo que hay una diferenciación covariante exterior D en (diversas) formas con valores vectoriales en P . A través de la correspondencia anterior, D también actúa en formas con valor E : define ∇ por
En particular para formas cero,
- .
Esta es exactamente la derivada covariante para la conexión en el paquete del vector E . [3]
Ejemplos de
Las formas modulares de Siegel surgen como formas diferenciales valoradas por vectores en las variedades modulares de Siegel . [4]
Notas
- ^ "Secciones globales de un producto tensorial de paquetes vectoriales en una variedad suave" . math.stackexchange.com . Consultado el 27 de octubre de 2014 .
- ^ Demostración: se puede verificar esto para p = 0 convirtiendo una base para V en un conjunto de funciones constantes a V , lo que permite la construcción de una inversa al homomorfismo anterior. El caso general puede probarse observando que
- ^ Prueba:para cualquier forma cero tensorial de valor escalar f y cualquier forma cero tensorial φ de tipo ρ, y Df = df ya que f desciende a una función en M ; cf. este Lema 2 .
- ^ Hulek, Klaus; Sankaran, GK (2002). "La geometría de las variedades modulares Siegel". Estudios Avanzados en Matemática Pura . 35 : 89-156.
Referencias
- Shoshichi Kobayashi y Katsumi Nomizu (1963) Fundamentos de la geometría diferencial , vol. 1, Wiley Interscience .