En la teoría de la relatividad general , la gravedad linealizada es la aplicación de la teoría de la perturbación al tensor métrico que describe la geometría del espacio-tiempo . Como consecuencia, la gravedad linealizada es un método eficaz para modelar los efectos de la gravedad cuando el campo gravitacional es débil. El uso de la gravedad linealizada es parte integral del estudio de las ondas gravitacionales y las lentes gravitacionales de campo débil .
Contenido
1 Aproximación de campo débil
1.1 invariancia de calibre
1.2 Elección del calibre
1.2.1 Ancho transversal
1.2.2 Gálibo síncrono
1.2.3 Calibre de armónicos
2 Ver también
3 notas
4 Lecturas adicionales
Aproximación de campo débil
La ecuación de campo de Einstein (EFE) que describe la geometría del espacio-tiempo se da como (usando unidades naturales )
donde es el tensor de Ricci , es el escalar de Ricci , es el tensor de energía-momento y es el tensor métrico del espacio-tiempo que representan las soluciones de la ecuación.
Aunque sucinto cuando se escribe usando la notación de Einstein , ocultas dentro del tensor de Ricci y el escalar de Ricci hay dependencias excepcionalmente no lineales de la métrica que hacen que la posibilidad de encontrar soluciones exactas sea impracticable en la mayoría de los sistemas. Sin embargo, cuando se describen sistemas particulares para los que la curvatura del espacio-tiempo es pequeña (lo que significa que los términos de la EFE que son cuadrática en no contribuyen de manera significativa a las ecuaciones de movimiento), se puede modelar la solución de las ecuaciones de campo como la métrica de Minkowski [nota 1] más un pequeño término de perturbación . En otras palabras:
En este régimen, la sustitución de la métrica general por esta aproximación perturbativa da como resultado una expresión simplificada para el tensor de Ricci:
donde es el rastro de la perturbación, denota la derivada parcial con respecto a la coordenada del espacio-tiempo y es el operador de d'Alembert .
Junto con el escalar de Ricci,
el lado izquierdo de la ecuación de campo se reduce a
y así el EFE se reduce a una ecuación diferencial parcial lineal de segundo orden en términos de .
Invariancia de calibre
El proceso de descomponer el espacio-tiempo general en la métrica de Minkowski más un término de perturbación no es único. Esto se debe al hecho de que diferentes opciones de coordenadas pueden dar diferentes formas de . Para capturar este fenómeno, se introduce la aplicación de la simetría de calibre .
Las simetrías de calibre son un dispositivo matemático para describir un sistema que no cambia cuando el sistema de coordenadas subyacente se "desplaza" en una cantidad infinitesimal. Entonces, aunque la métrica de perturbación no se define consistentemente entre diferentes sistemas de coordenadas, el sistema general que describe sí lo es .
Para captar esto formalmente, la no unicidad de la perturbación se representa como una consecuencia de la diversa colección de difeomorfismos sobre el espacio-tiempo que dejan suficientemente pequeños. Por lo tanto, para continuar, se requiere que se defina en términos de un conjunto general de difeomorfismos y luego seleccione el subconjunto de estos que conservan la pequeña escala que requiere la aproximación de campo débil. Por tanto, se puede definir para denotar un difeomorfismo arbitrario que mapea el espacio-tiempo plano de Minkowski con el espacio-tiempo más general representado por la métrica . Con esto, la métrica de perturbación se puede definir como la diferencia entre el retroceso de y la métrica de Minkowski:
Por tanto, los difeomorfismos pueden elegirse de manera que .
Dado entonces un campo vectorial definido en el espacio-tiempo de fondo plano, se puede definir una familia adicional de difeomorfismos como los generados y parametrizados por . Estos nuevos difeomorfismos se utilizarán para representar las transformaciones de coordenadas para "cambios infinitesimales" como se discutió anteriormente. Junto con , una familia de perturbaciones viene dada por
Por lo tanto, en el límite ,
donde es la derivada de Lie a lo largo del campo vectorial .
La derivada de Lie da como resultado la transformación de calibre final de la métrica de perturbación :
que definen con precisión el conjunto de métricas de perturbación que describen el mismo sistema físico. En otras palabras, caracteriza la simetría de calibre de las ecuaciones de campo linealizadas.
Elección de calibre
Al explotar la invariancia de calibre, se pueden garantizar ciertas propiedades de la métrica de perturbación eligiendo un campo vectorial adecuado .
Calibre transversal
Para estudiar cómo la perturbación distorsiona las medidas de longitud, es útil definir el siguiente tensor espacial:
(Tenga en cuenta que los índices abarcan solo componentes espaciales :) . Por lo tanto, al usar , los componentes espaciales de la perturbación se pueden descomponer como
donde .
El tensor , por construcción, no tiene trazas y se denomina deformación, ya que representa la cantidad en la que la perturbación se estira y contrae las medidas del espacio . En el contexto del estudio de la radiación gravitacional , la deformación es particularmente útil cuando se utiliza con el medidor transversal. Este indicador se define eligiendo los componentes espaciales de para satisfacer la relación
luego eligiendo el componente de tiempo para satisfacer
Después de realizar la transformación de calibre utilizando la fórmula de la sección anterior, la deformación se vuelve espacialmente transversal:
con la propiedad adicional:
Manómetro sincrónico
El medidor síncrono simplifica la métrica de perturbación al requerir que la métrica no distorsione las mediciones del tiempo. Más precisamente, el medidor síncrono se elige de tal manera que los componentes no espaciales de sean cero, es decir
Esto se puede lograr requiriendo el componente de tiempo de para satisfacer
y requiriendo que los componentes espaciales satisfagan
Calibre armónico
El calibre armónico (también conocido como calibre de Lorenz [nota 2] ) se selecciona siempre que sea necesario reducir las ecuaciones de campo linealizadas tanto como sea posible. Esto se puede hacer si la condición
es verdad. Para lograr esto, se requiere satisfacer la relación
En consecuencia, al usar el calibre armónico, el tensor de Einstein se reduce a
Por lo tanto, al escribirlo en términos de una métrica de "traza inversa" , las ecuaciones de campo linealizadas se reducen a
Lo cual se puede resolver exactamente usando las soluciones de ondas que definen la radiación gravitacional .
Ver también
Principio de correspondencia
Gravitoelectromagnetismo
Tensor de Lanczos
Formalismo post-newtoniano parametrizado
Expansión post-newtoniana
Modo cuasinormal
Notas
^ Esto supone que el espacio-tiempo de fondo es plano. La teoría de la perturbación aplicada en el espacio-tiempo que ya es curvo puede funcionar igual de bien reemplazando este término con la métrica que representa el fondo curvo.
^ No confundir con Lorentz.
Otras lecturas
Sean M. Carroll (2003). Espacio-tiempo y geometría, una introducción a la relatividad general . Pearson. ISBN 978-0805387322.
vtmiRelatividad
Relatividad especial
Fondo
Principio de relatividad ( relatividad galileana
Transformación galileana )
Relatividad especial
Relatividad doblemente especial
Conceptos fundamentales
Marco de referencia
Velocidad de la luz
Ortogonalidad hiperbólica
Rapidez
Ecuaciones de Maxwell
Longitud adecuada
Momento apropiado
Masa relativista
Formulación
Transformación de Lorentz
Fenómenos
Dilatación del tiempo
Equivalencia masa-energía
Contracción de la longitud
Relatividad de la simultaneidad
Efecto Doppler relativista
Precesión de tomás
Paradoja de la escalera
Paradoja de los gemelos
Tiempo espacial
Cono de luz
Línea mundial
Diagrama de Minkowski
Biquaternions
Espacio Minkowski
Relatividad general
Fondo
Introducción
Formulación matemática
Conceptos fundamentales
Principio de equivalencia
Geometría riemanniana
Diagrama de Penrose
Geodésicas
Principio de Mach
Formulación
Formalismo ADM
Formalismo BSSN
Ecuaciones de campo de Einstein
Gravedad linealizada
Formalismo posnewtoniano
Ecuación de Raychaudhuri
Ecuación de Hamilton – Jacobi – Einstein
Ecuación de Ernst
Fenómenos
Calabozo
Horizonte de eventos
Singularidad
Problema de dos cuerpos
Ondas gravitacionales : astronomía
detectores ( LIGO y colaboración
Virgo
LISA Pathfinder
GEO )
Binario de Hulse-Taylor
Otras pruebas : precesión de Mercurio
lente
corrimiento al rojo
Retraso de Shapiro
efecto de arrastre de fotogramas / geodésico ( precesión de lente-sed )