6-simplex | 6-ortoplex , 3 11 | 6 cubos (Hexeract) | 2 21 |
Ampliado 6-simplex | 6-ortoplex rectificado | 6-demicubo 1 31 (Demihexeract) | 1 22 |
En la geometría de seis dimensiones , un politopo de seis dimensiones o 6-politopo es un politopo , delimitado por facetas de 5 politopos .
Definición
Un politopo de 6 es una figura cerrada de seis dimensiones con vértices , aristas , caras , celdas (3 caras), 4 caras y 5 caras. Un vértice es un punto donde se encuentran seis o más aristas. Una arista es un segmento de línea donde se encuentran cuatro o más caras, y una cara es un polígono donde se encuentran tres o más celdas. Una celda es un poliedro . Una cara de 4 es un policoron y una de 5 caras es un politopo de 5 . Además, se deben cumplir los siguientes requisitos:
- Cada 4 caras debe unir exactamente dos 5 caras (facetas).
- Las facetas adyacentes no están en el mismo hiperplano de cinco dimensiones .
- La figura no es una combinación de otras figuras que cumplan los requisitos.
Caracteristicas
La topología de cualquier politopo 6 dado se define por sus números de Betti y coeficientes de torsión . [1]
El valor de la característica de Euler utilizada para caracterizar los poliedros no se generaliza de manera útil a dimensiones superiores y es cero para todos los 6 politopos, cualquiera que sea su topología subyacente. Esta insuficiencia de la característica de Euler para distinguir de manera confiable entre diferentes topologías en dimensiones superiores llevó al descubrimiento de los números Betti más sofisticados. [1]
De manera similar, la noción de orientabilidad de un poliedro es insuficiente para caracterizar las torsiones superficiales de los politopos toroidales, y esto llevó al uso de coeficientes de torsión. [1]
Clasificación
Los 6-politopos pueden clasificarse por propiedades como " convexidad " y " simetría ".
- Un 6-politopo es convexo si su límite (incluidas sus 5 caras, 4 caras, celdas, caras y aristas) no se interseca y el segmento de línea que une dos puntos cualesquiera del 6-politopo está contenido en el 6-politopo o su interior; de lo contrario, no es convexo . Los 6-politopos auto-intersectantes también se conocen como 6-politopos en estrella , por analogía con las formas en forma de estrella de los poliedros no convexos de Kepler-Poinsot .
- Un 6-politopo regular tiene todas las facetas idénticas del 5-politopo regular. Todos los 6 politopos regulares son convexos.
- Un 6-politopo semi-regular contiene dos o más tipos de facetas regulares de 4-politopo . Solo hay una figura de este tipo, llamada 2 21 .
- Un 6-politopo uniforme tiene un grupo de simetría bajo el cual todos los vértices son equivalentes, y sus facetas son 5-politopos uniformes . Las caras de un politopo uniforme deben ser regulares .
- Un 6-politopo prismático se construye mediante el producto cartesiano de dos politopos de menor dimensión. Un 6-politopo prismático es uniforme si sus factores son uniformes. El cubo de 6 es prismático (producto de un cuadrado y un cubo ), pero se considera por separado porque tiene simetrías distintas de las heredadas de sus factores.
- Una teselación de 5 espacios es la división del espacio euclidiano de cinco dimensiones en una cuadrícula regular de facetas de 5 politopos. Estrictamente hablando, los teselados no son 6-politopos ya que no unen un volumen "6D", pero los incluimos aquí para completarlos porque son similares en muchos aspectos a los 6-politopos. Una teselación uniforme de 5 espacios es aquella cuyos vértices están relacionados por un grupo espacial y cuyas facetas son 5 politopos uniformes .
6 politopos regulares
Se pueden generar 6 politopos regulares a partir de grupos de Coxeter representados por el símbolo de Schläfli {p, q, r, s, t} con facetas t {p, q, r, s} de 5 politopos alrededor de cada celda .
Solo hay tres politopos regulares convexos de este tipo :
- {3,3,3,3,3} - 6-simplex
- {4,3,3,3,3} - 6 cubos
- {3,3,3,3,4} - 6-ortoplex
No existen politopos regulares no convexos de 5 o más dimensiones.
Para los tres politopos regulares convexos, sus elementos son:
Nombre | Símbolo de Schläfli | Diagrama de Coxeter | Vértices | Bordes | Caras | Células | 4 caras | 5 caras | Simetría ( orden ) |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
6-simplex | {3,3,3,3,3} | 7 | 21 | 35 | 35 | 21 | 7 | A 6 (720) | |
6-ortoplex | {3,3,3,3,4} | 12 | 60 | 160 | 240 | 192 | 64 | B 6 (46080) | |
6 cubos | {4,3,3,3,3} | 64 | 192 | 240 | 160 | 60 | 12 | B 6 (46080) |
6 politopos uniformes
Aquí hay seis 6-politopos convexos uniformes simples, incluido el 6-ortoplex repetido con su construcción alternativa.
Nombre | Símbolo (s) de Schläfli | Diagrama (s) de Coxeter | Vértices | Bordes | Caras | Células | 4 caras | 5 caras | Simetría ( orden ) |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Ampliado 6-simplex | t 0,5 {3,3,3,3,3} | 42 | 210 | 490 | 630 | 434 | 126 | 2 × A 6 (1440) | |
6-ortoplex , 3 11 (construcción alternativa) | {3,3,3,3 1,1 } | 12 | 60 | 160 | 240 | 192 | 64 | D 6 (23040) | |
6-demicubo | {3,3 3,1 } h {4,3,3,3,3} | 32 | 240 | 640 | 640 | 252 | 44 | D 6 (23040) ½B 6 | |
6-ortoplex rectificado | t 1 {3,3,3,3,4} t 1 {3,3,3,3 1,1 } | 60 | 480 | 1120 | 1200 | 576 | 76 | B 6 (46080) 2 × D 6 | |
2 21 politopo | {3,3,3 2,1 } | 27 | 216 | 720 | 1080 | 648 | 99 | E 6 (51840) | |
1 22 politopo | {3,3 2,2 } | o | 72 | 720 | 2160 | 2160 | 702 | 54 | 2 × Mi 6 (103680) |
El 6-simplex expandido es la figura del vértice del panal uniforme de 6-simplex ,. El panal de 6 semicubos ,, la figura del vértice es un 6-ortoplex rectificado y las facetas son el 6-ortoplex y el 6-demicubo . El uniforme 2 22 panal ,, tiene 1 22 politopo es la figura del vértice y 2 21 facetas.
Referencias
- ↑ a b c Richeson, D .; La gema de Euler: la fórmula del poliedro y el nacimiento de la topoplogía , Princeton, 2008.
- T.Gosset : Sobre las figuras regulares y semirregulares en el espacio de n dimensiones , Messenger of Mathematics , Macmillan, 1900
- A. Boole Stott : deducción geométrica de semirregular de politopos regulares y rellenos espaciales , Verhandelingen de la academia Koninklijke van Wetenschappen unidad de ancho Amsterdam, Eerste Sectie 11,1, Amsterdam, 1910
- HSM Coxeter :
- HSM Coxeter, MS Longuet-Higgins y JCP Miller: Poliedros uniformes , Transacciones filosóficas de la Royal Society of London, Londne, 1954
- HSM Coxeter, Regular Polytopes , 3.a edición, Dover Nueva York, 1973
- Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen , Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (Documento 22) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi regulares I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
- (Documento 23) HSM Coxeter, Politopos regulares y semirregulares II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
- (Documento 24) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi-regulares III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3 a 45]
- NW Johnson : La teoría de politopos uniformes y panales , Ph.D. Disertación, Universidad de Toronto, 1966
- Klitzing, Richard. "Politopos uniformes 6D (polypeta)" .
enlaces externos
- Nombres de politopos
- Politopos de varias dimensiones , Jonathan Bowers
- Glosario multidimensional
- Glosario de hiperespacio , George Olshevsky.
Familia | A n | B n | I 2 (p) / D n | E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2 | H n | |||||||
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Polígono regular | Triángulo | Cuadrado | p-gon | Hexágono | Pentágono | |||||||
Poliedro uniforme | Tetraedro | Octaedro • Cubo | Demicubo | Dodecaedro • Icosaedro | ||||||||
Policoron uniforme | 5 celdas | 16 celdas • Tesseract | Demitesseract | 24 celdas | 120 celdas • 600 celdas | |||||||
5 politopos uniformes | 5-simplex | 5 ortoplex • 5 cubos | 5-demicubo | |||||||||
6 politopos uniformes | 6-simplex | 6 ortoplex • 6 cubos | 6-demicubo | 1 22 • 2 21 | ||||||||
7 politopos uniformes | 7-simplex | 7-ortoplex • 7-cubo | 7-demicubo | 1 32 • 2 31 • 3 21 | ||||||||
Politopo uniforme de 8 | 8 simplex | 8 ortoplex • 8 cubos | 8-demicubo | 1 42 • 2 41 • 4 21 | ||||||||
9 politopos uniformes | 9 simplex | 9-ortoplex • 9-cubo | 9-demicubo | |||||||||
Politopo uniforme 10 | 10-simplex | 10-ortoplex • 10-cubo | 10-demicubo | |||||||||
Uniforme n - politopo | n - simplex | n - ortoplex • n - cubo | n - demicube | 1 k2 • 2 k1 • k 21 | n - politopo pentagonal | |||||||
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