La longitud del arco es la distancia entre dos puntos a lo largo de una sección de una curva .
La determinación de la longitud de un segmento de arco irregular también se denomina rectificación de una curva. El advenimiento del cálculo infinitesimal condujo a una fórmula general que proporciona soluciones de forma cerrada en algunos casos.
Enfoque general
Una curva en el plano se puede aproximar conectando un número finito de puntos en la curva usando segmentos de línea para crear una trayectoria poligonal . Dado que es sencillo calcular la longitud de cada segmento lineal (utilizando el teorema de Pitágoras en el espacio euclidiano, por ejemplo), la longitud total de la aproximación se puede encontrar sumando las longitudes de cada segmento lineal;esa aproximación se conoce como distancia cordal (acumulativa) . [1]
Si la curva no es ya una trayectoria poligonal, el uso de un número progresivamente mayor de segmentos de longitudes más pequeñas dará como resultado mejores aproximaciones. Las longitudes de las aproximaciones sucesivas no disminuirán y pueden seguir aumentando indefinidamente, pero para curvas suaves tenderán a un límite finito a medida que las longitudes de los segmentos se vuelvan arbitrariamente pequeñas .
Para algunas curvas hay un número mínimo que es un límite superior en la longitud de cualquier aproximación poligonal. Estas curvas se denominan rectificables y el númerose define como la longitud del arco .
Definición de una curva suave
Dejar ser una función inyectiva y continuamente diferenciable . La longitud de la curva definida porpuede definirse como el límite de la suma de las longitudes de los segmentos de línea para una partición regular dea medida que el número de segmentos se acerca al infinito. Esto significa
dónde por Esta definición es equivalente a la definición estándar de longitud de arco como integral:
La última igualdad anterior es verdadera debido a lo siguiente: (i) por el teorema del valor medio , dónde [ dudoso ] . (ii) la funciónes continuo, por lo que es uniformemente continuo , por lo que hay una función real positiva de real positivo tal que implica Esto significa
tiene un valor absoluto menor que por Esto significa que en el límite el término de la izquierda de arriba es igual al término de la derecha, que es solo la integral de Riemann de en Esta definición de longitud de arco muestra que la longitud de una curva continuamente diferenciable en siempre es finito. En otras palabras, la curva siempre es rectificable.
La definición de longitud de arco de una curva suave como la integral de la norma de la derivada es equivalente a la definición
donde el supremo se hace cargo de todas las particiones posibles de [2] Esta definición también es válida si es meramente continuo, no diferenciable.
Una curva se puede parametrizar de infinitas formas. Dejarser cualquier biyección continuamente diferenciable . Luego es otra parametrización continuamente diferenciable de la curva originalmente definida por La longitud del arco de la curva es la misma independientemente de la parametrización utilizada para definir la curva:
Encontrar longitudes de arco integrando
Si una curva plana en está definido por la ecuación dónde es continuamente diferenciable , entonces es simplemente un caso especial de una ecuación paramétrica donde y La longitud del arco viene dada por:
Las curvas con soluciones de forma cerrada para la longitud del arco incluyen la catenaria , el círculo , la cicloide , la espiral logarítmica , la parábola , la parábola semicúbica y la línea recta . La falta de una solución de forma cerrada para la longitud del arco de un arco elíptico e hiperbólico condujo al desarrollo de las integrales elípticas .
Integracion numerica
En la mayoría de los casos, incluidas incluso las curvas simples, no existen soluciones de forma cerrada para la longitud del arco y es necesaria la integración numérica . La integración numérica de la integral de la longitud del arco suele ser muy eficiente. Por ejemplo, considere el problema de encontrar la longitud de un cuarto del círculo unitario integrando numéricamente la integral de la longitud del arco. La mitad superior del círculo unitario se puede parametrizar como El intervalo corresponde a un cuarto del círculo. Desde y la longitud de un cuarto del círculo unitario es
La estimación de la regla de Gauss-Kronrod de 15 puntos para esta integral de1.570 796 326 808 177 difiere de la longitud real de
por 1.3 × 10 −11 y la estimación de la regla de cuadratura gaussiana de 16 puntos de1.570 796 326 794 727 difiere de la verdadera longitud sólo1,7 × 10 −13 . Esto significa que es posible evaluar esta integral con casi precisión de máquina con solo 16 evaluaciones de integrando.
Curva sobre una superficie
Dejar ser un mapeo de superficie y dejar ser una curva en esta superficie. El integrando de la integral de longitud de arco esLa evaluación de la derivada requiere la regla de la cadena para campos vectoriales:
La norma al cuadrado de este vector es (dónde es el primer coeficiente de forma fundamental ), por lo que el integrando de la integral de longitud de arco se puede escribir como (dónde y ).
Otros sistemas de coordenadas
Dejar ser una curva expresada en coordenadas polares. El mapeo que se transforma de coordenadas polares a coordenadas rectangulares es
El integrando de la integral de longitud de arco es La regla de la cadena para campos vectoriales muestra que Entonces, el integrando al cuadrado de la integral de longitud de arco es
Entonces, para una curva expresada en coordenadas polares, la longitud del arco es
Ahora deja ser una curva expresada en coordenadas esféricas donde es el ángulo polar medido desde el positivo -eje y es el ángulo azimutal. El mapeo que se transforma de coordenadas esféricas a coordenadas rectangulares es
Usar la regla de la cadena nuevamente muestra que Todos los productos punto dónde y difieren son cero, por lo que la norma al cuadrado de este vector es
Entonces, para una curva expresada en coordenadas esféricas, la longitud del arco es
Un cálculo muy similar muestra que la longitud de arco de una curva expresada en coordenadas cilíndricas es
Casos sencillos
Arcos de círculos
Las longitudes de arco se indican mediante s , ya que la palabra latina para longitud (o tamaño) es Spatium .
En las siguientes líneas, representa el radio de un círculo ,es su diámetro ,es su circunferencia , es la longitud de un arco del círculo, y es el ángulo que subtiende el arco en el centro del círculo. Las distancias y se expresan en las mismas unidades.
- que es lo mismo que Esta ecuación es una definición de π . {\ Displaystyle \ pi.}
- Si el arco es un semicírculo , entonces
- Para un arco circular arbitrario:
- Si está en radianes entonces Ésta es una definición del radián.
- Si está en grados , entonces que es lo mismo que
- Si está en grados (100 grados, o grados, o los graduados son un ángulo recto ), entonces que es lo mismo que
- Si es por turnos (un giro es una rotación completa, o 360 °, o 400 grados, o radianes), entonces .
Arcos de grandes círculos en la Tierra
Dos unidades de longitud, la milla náutica y el metro (o kilómetro), se definieron originalmente para que las longitudes de los arcos de los grandes círculos en la superficie de la Tierra estuvieran simplemente relacionadas numéricamente con los ángulos que subtienden en su centro. La ecuación simple se aplica en las siguientes circunstancias:
- Si está en millas náuticas, y está en minutos de arco ( 1 ⁄ 60 grados), o
- Si está en kilómetros, y está en centígrados 1 ⁄ 100 grad ).
Las longitudes de las unidades de distancia se eligieron para hacer que la circunferencia de la Tierra sea igual 40 000 kilómetros, o21 600 millas náuticas. Esos son los números de las unidades angulares correspondientes en una vuelta completa.
Esas definiciones del metro y la milla náutica han sido reemplazadas por otras más precisas, pero las definiciones originales siguen siendo lo suficientemente precisas para fines conceptuales y algunos cálculos. Por ejemplo, implican que un kilómetro son exactamente 0,54 millas náuticas. Usando definiciones modernas oficiales, una milla náutica es exactamente 1.852 kilómetros, [3] lo que implica que 1 kilómetro es aproximadamente0.539 956 80 millas náuticas. [4] Esta relación moderna difiere de la calculada a partir de las definiciones originales en menos de una parte en 10.000.
Longitud de un arco de una parábola
Métodos históricos
Antigüedad
Durante gran parte de la historia de las matemáticas , incluso los más grandes pensadores consideraron imposible calcular la longitud de un arco irregular. Aunque Arquímedes había sido pionero en una forma de encontrar el área debajo de una curva con su " método de agotamiento ", pocos creían que era posible que las curvas tuvieran longitudes definidas, al igual que las líneas rectas. El primer terreno se abrió en este campo, como ha sucedido a menudo en el cálculo , por aproximación . La gente comenzó a inscribir polígonos dentro de las curvas y a calcular la longitud de los lados para obtener una medida algo precisa de la longitud. Al usar más segmentos y al disminuir la longitud de cada segmento, pudieron obtener una aproximación cada vez más precisa. En particular, al inscribir un polígono de muchos lados en un círculo, pudieron encontrar valores aproximados de π . [5] [6]
siglo 17
En el siglo XVII, el método de agotamiento llevó a la rectificación por métodos geométricos de varias curvas trascendentales : la espiral logarítmica de Evangelista Torricelli en 1645 (algunas fuentes dicen John Wallis en la década de 1650), la cicloide de Christopher Wren en 1658 y catenaria de Gottfried Leibniz en 1691.
En 1659, Wallis atribuyó el mérito al descubrimiento de William Neile de la primera rectificación de una curva algebraica no trivial , la parábola semicúbica . [7] Las figuras adjuntas aparecen en la página 145. En la página 91, William Neile se menciona como Gulielmus Nelius .
Forma integral
Antes del desarrollo formal completo del cálculo, la base de la forma integral moderna para la longitud del arco fue descubierta independientemente por Hendrik van Heuraet y Pierre de Fermat .
En 1659, van Heuraet publicó una construcción que mostraba que el problema de determinar la longitud del arco podía transformarse en el problema de determinar el área bajo una curva (es decir, una integral). Como ejemplo de su método, determinó la longitud del arco de una parábola semicúbica, lo que requería encontrar el área debajo de una parábola . [8] En 1660, Fermat publicó una teoría más general que contenía el mismo resultado en su De linearum curvarum cum lineis rectis comparatione dissertatio geometrica (Disertación geométrica sobre líneas curvas en comparación con líneas rectas). [9]
Sobre la base de su trabajo anterior con tangentes, Fermat utilizó la curva
cuya tangente en x = a tenía una pendiente de
entonces la recta tangente tendría la ecuación
A continuación, se aumentó una por una pequeña cantidad para un + ε , haciendo segmento AC una relativamente buena aproximación para la longitud de la curva de A a D . Para encontrar la longitud del segmento AC , usó el teorema de Pitágoras :
que, cuando se resuelve, produce
Para aproximar la longitud, Fermat resumiría una secuencia de segmentos cortos.
Curvas con longitud infinita
Como se mencionó anteriormente, algunas curvas no son rectificables. Es decir, no hay límite superior en las longitudes de aproximaciones poligonales; la longitud se puede hacer arbitrariamente grande . De manera informal, se dice que tales curvas tienen una longitud infinita. Hay curvas continuas en las que cada arco (que no sea un arco de un solo punto) tiene una longitud infinita. Un ejemplo de tal curva es la curva de Koch . Otro ejemplo de una curva con longitud infinita es la gráfica de la función definida por f ( x ) = x sin (1 / x ) para cualquier conjunto abierto con 0 como uno de sus delimitadores y f (0) = 0. A veces, el Hausdorff La dimensión y la medida de Hausdorff se utilizan para cuantificar el tamaño de dichas curvas.
Generalización a variedades (pseudo) riemannianas
Dejar ser una variedad (pseudo) riemanniana , una curva en y el tensor (pseudo-) métrico .
El largo de se define como
dónde es el vector tangente de a El signo de la raíz cuadrada se elige una vez para una curva determinada, para garantizar que la raíz cuadrada sea un número real. El signo positivo se elige para curvas espaciales; en una variedad pseudo-Riemanniana, el signo negativo puede elegirse para curvas de tipo temporal. Por tanto, la longitud de una curva es un número real no negativo. Por lo general, no se consideran curvas que sean en parte espaciales y en parte temporales.
En teoría de la relatividad , la longitud del arco de las curvas temporales ( líneas del mundo ) es el tiempo apropiado transcurrido a lo largo de la línea del mundo, y la longitud del arco de una curva espacial es la distancia adecuada a lo largo de la curva.
Ver también
- Arco (geometría)
- Circunferencia
- Fórmula de Crofton
- Integral elíptica
- Geodésicas
- Ecuación intrínseca
- Aproximaciones integrales
- Integral de línea
- Arco meridiano
- Cálculo multivariable
- Sinuosidad
Referencias
- ^ Ahlberg; Nilson (1967). La teoría de spines y sus aplicaciones . Prensa académica. pag. 51 . ISBN 9780080955452.
- ^ Rudin, Walter (1976). Principios del análisis matemático . McGraw-Hill, Inc. págs. 137 . ISBN 978-0-07-054235-8.
- ^ Suplee, Curt (2 de julio de 2009). "Publicación especial 811" . nist.gov .
- ^ Manual CRC de química y física , p. F-254
- ^ Richeson, David (mayo de 2015). "Razonamiento circular: ¿Quién demostró por primera vez que C dividido por d es una constante?". The College Mathematics Journal . 46 (3): 162-171. doi : 10.4169 / college.math.j.46.3.162 . ISSN 0746-8342 . S2CID 123757069 .
- ^ Coolidge, JL (febrero de 1953). "Las longitudes de las curvas". The American Mathematical Monthly . 60 (2): 89–93. doi : 10.2307 / 2308256 . JSTOR 2308256 .
- ^ Wallis, John (1659). Tractatus Duo. Antes, De Cycloide et de Corporibus inde Genitis… . Prensa de la Universidad de Oxford. págs. 91–96.
- ^ van Heuraet, Hendrik (1659). "Epistola de transmutatione curvarum linearum in rectas [Carta sobre la transformación de líneas curvas en rectas]". Renati Des-Cartes Geometria (2ª ed.). Amsterdam: Louis y Daniel Elzevir. págs. 517–520.
- ^ MPEAS (seudónimo de Fermat) (1660). De Linearum Curvarum cum Lineis Rectis Comparatione Dissertatio Geometrica . Toulouse: Arnaud Colomer.
Fuentes
- Farouki, Rida T. (1999). "Curvas de movimiento, movimiento de curvas". En Laurent, P.-J .; Sablonniere, P .; Schumaker, LL (eds.). Diseño de curvas y superficies: Saint-Malo 1999 . Vanderbilt Univ. Prensa. págs. 63–90. ISBN 978-0-8265-1356-4.
enlaces externos
- "Curva rectificable" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- La historia de la curvatura
- Weisstein, Eric W. "Longitud del arco" . MathWorld .
- Longitud del arco por Ed Pegg Jr. , The Wolfram Demonstrations Project , 2007.
- Guía de estudio de cálculo: longitud del arco (rectificación)
- Índice de curvas famosas El archivo MacTutor History of Mathematics
- Aproximación de la longitud del arco por Chad Pierson, Josh Fritz y Angela Sharp, The Wolfram Demonstrations Project .
- Experimento de longitud de una curva Ilustra la solución numérica de encontrar la longitud de una curva.