Hay muchas relaciones entre los poliedros uniformes . La construcción de Wythoff es capaz de construir casi todos los poliedros uniformes a partir de los triángulos de Schwarz agudos y obtusos . Los números que se pueden usar para los lados de un triángulo de Schwarz agudo u obtuso no diedro que no conduce necesariamente a poliedros uniformes degenerados son 2, 3, 3/2, 4, 4/3, 5, 5/2, 5/3 y 5/4 (pero los números con numerador 4 y aquellos con numerador 5 pueden no aparecer juntos). (También se puede usar 4/2, pero solo conduce a poliedros uniformes degenerados, ya que 4 y 2 tienen un factor común). Hay 44 triángulos de Schwarz de este tipo (5 con simetría tetraédrica , 7 con simetría octaédrica y 32 consimetría icosaédrica ), que, junto con la familia infinita de triángulos diedros de Schwarz, pueden formar casi todos los poliedros uniformes no degenerados . Muchos poliedros uniformes degenerados, con vértices, aristas o caras completamente coincidentes, también pueden ser generados por la construcción de Wythoff, y los que surgen de triángulos de Schwarz que no usan 4/2 también se dan en las tablas a continuación junto con sus contrapartes no degeneradas. . Los triángulos reflejos de Schwarz no se han incluido, ya que simplemente crean duplicados o degenerados; sin embargo, algunos se mencionan fuera de las tablas debido a su aplicación a tres de los poliedros chatos .
Hay algunos poliedros uniformes no Wythoffianos, que no pueden generar triángulos de Schwarz; sin embargo, la mayoría de ellos se pueden generar usando la construcción Wythoff como cubiertas dobles (el poliedro no Wythoffiano se cubre dos veces en lugar de una) o con varias caras adicionales coincidentes que deben descartarse para dejar no más de dos caras en cada borde (ver Poliedro omnitruncado # Otros poliedros no convexos de lados pares ). Dichos poliedros están marcados con un asterisco en esta lista. Los únicos poliedros uniformes que aún no han sido generados por la construcción de Wythoff son el gran dirhombicosidodecaedro y el gran dirhombidodecaedro disnub .
Cada mosaico de triángulos de Schwarz en una esfera puede cubrir la esfera solo una vez, o en su lugar puede enrollar la esfera un número entero de veces, cruzándose en el proceso. El número de veces que el mosaico gira alrededor de la esfera es la densidad del mosaico y se denota μ.
Los nombres cortos de Jonathan Bowers para los poliedros, conocidos como siglas de Bowers, se utilizan en lugar de los nombres completos de los poliedros para ahorrar espacio. También se proporciona el índice de Maeder. A excepción de los triángulos diedros de Schwarz, los triángulos de Schwarz están ordenados por sus densidades.
Triángulos de Möbius y Schwarz
Hay 4 triángulos esféricos con ángulos π / p, π / q, π / r, donde (pqr) son números enteros: ( Coxeter , "Poliedros uniformes", 1954)
- (2 2 r) - diedro
- (2 3 3) - Tetraédrico
- (2 3 4) - Octaédrico
- (2 3 5) - Icosaédrico
Estos se llaman triángulos de Möbius.
Además, los triángulos de Schwarz consideran (pqr) cuáles son números racionales. Cada uno de estos se puede clasificar en uno de los 4 conjuntos anteriores.
Densidad (μ) | Diedro | Tetraédrico | Octaédrico | Icosaédrico |
---|---|---|---|---|
D | (2 2 n / d ) | |||
1 | (2 3 3) | (2 3 4) | (2 3 5) | |
2 | (3/2 3 3) | (3/2 4 4) | (3/2 5 5), (5/2 3 3) | |
3 | (2 3/2 3) | (2 5/2 5) | ||
4 | (3 4/3 4) | (3 5/3 5) | ||
5 | (2 3/2 3/2) | (2 3/2 4) | ||
6 | (3/2 3/2 3/2) | (5/2 5/2 5/2), (3/2 3 5), (5/4 5 5) | ||
7 | (2 3 4/3) | (2 3 5/2) | ||
8 | (3/2 5/2 5) | |||
9 | (2 5/3 5) | |||
10 | (3 5/3 5/2), (3 5/4 5) | |||
11 | (2 3/2 4/3) | (2 3/2 5) | ||
13 | (2 3 5/3) | |||
14 | (3/2 4/3 4/3) | (3/2 5/2 5/2), (3 3 5/4) | ||
dieciséis | (3 5/4 5/2) | |||
17 | (2 3/2 5/2) | |||
18 | (3/2 3 5/3), (5/3 5/3 5/2) | |||
19 | (2 3 5/4) | |||
21 | (2 5/4 5/2) | |||
22 | (3/2 3/2 5/2) | |||
23 | (2 3/2 5/3) | |||
26 | (3/2 5/3 5/3) | |||
27 | (2 5/4 5/3) | |||
29 | (2 3/2 5/4) | |||
32 | (3/2 5/4 5/3) | |||
34 | (3/2 3/2 5/4) | |||
38 | (3/2 5/4 5/4) | |||
42 | (5/4 5/4 5/4) |
Aunque un poliedro generalmente tiene la misma densidad que el triángulo de Schwarz a partir del cual se genera, no siempre es así. En primer lugar, los poliedros que tienen caras que pasan por el centro del modelo (incluido el hemipoliedro , el gran dirhombicosidodecaedro y el gran dirhombidodecaedro disnub ) no tienen una densidad bien definida. En segundo lugar, la distorsión necesaria para recuperar la uniformidad al cambiar un poliedro esférico a su contraparte plana puede empujar caras a través del centro del poliedro y retroceder por el otro lado, cambiando la densidad. Esto sucede en los siguientes casos:
- El gran cuboctaedro truncado , 2 3 4/3 |. Mientras que el triángulo de Schwarz (2 3 4/3) tiene densidad 7, la recuperación de la uniformidad empuja los ocho hexágonos a través del centro, dando como resultado la densidad | 7 - 8 | = 1, el mismo que el del triángulo colunar de Schwarz (2 3 4) que comparte los mismos círculos máximos.
- El dodecadodecaedro truncado , 2 5/3 5 |. Mientras que el triángulo de Schwarz (2 5/3 5) tiene densidad 9, la recuperación de la uniformidad empuja los doce decagones a través del centro, dando como resultado la densidad | 9 - 12 | = 3, el mismo que el del triángulo colunar de Schwarz (2 5/2 5) que comparte los mismos grandes círculos.
- Tres poliedros chatos: el gran icosaedro | 2 3/2 3/2, el pequeño icosicosidodecaedro retrosnub | 3/2 3/2 5/2, y el gran icosidodecaedro retrosnub | 2 3/2 5/3. Aquí las figuras de vértice se han distorsionado en pentagramas o hexagramas en lugar de pentágonos o hexágonos, empujando todos los triángulos chatos a través del centro y produciendo densidades de | 5 - 12 | = 7, | 22 - 60 | = 38, y | 23 - 60 | = 37 respectivamente. Estas densidades son las mismas que las de los triángulos de Schwarz en ángulo de reflejo colunar que no se incluyen arriba. Por lo tanto, se puede considerar que el gran icosaedro proviene de (2/3 3 3) o (2 3 3/4), el pequeño icosicosidodecaedro retrosnub de (3 3 5/8) o (3 3/4 5/3), y el gran icosidodecaedro retrosnub de (2/3 3 5/2), (2 3/4 5/3), o (2 3 5/7). (Coxeter, "Poliedros uniformes", 1954)
Tabla de resumen
Hay siete puntos generadores con cada conjunto de p, q, r (y algunas formas especiales):
General | Triángulo rectángulo (r = 2) | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Descripción | Símbolo de Wythoff | Configuración de vértice | Diagrama de Coxeter | Símbolo de Wythoff | Configuración de vértice | Símbolo de Schläfli | Diagrama de Coxeter |
regular y cuasirregular | q | pr | (pr) q | q | p 2 | p q | {p, q} | ||
p | qr | (qr) p | p | q 2 | q p | {q, p} | |||
r | pq | (qp) r | 2 | pq | (qp) ² | t 1 {p, q} | |||
truncado y expandido | qr | pag | q.2p.r.2p | q 2 | pag | q.2p.2p | t 0,1 {p, q} | ||
pr | q | p.2q.r.2q | p 2 | q | pag. 2q.2q | t 0,1 {q, p} | |||
pq | r | 2r.q.2r.p | pq | 2 | 4.q.4.p | t 0,2 {p, q} | |||
ecuánime | pqr | | 2r.2q.2p | pq 2 | | 4.2q.2p | t 0,1,2 {p, q} | ||
pq r s | | 2p.2q.-2p.-2q | - | p 2 r s | | 2p.4.-2p. 4 / 3 | - | ||
desaire | | pqr | 3.r.3.q.3.p | | pq 2 | 3.3.q.3.p | sr {p, q} | ||
| pqrs | (4.p.4.q.4.r.4.s) / 2 | - | - | - | - |
Hay cuatro casos especiales:
- pq r
s| - Esta es una mezcla de pqr | y pqs | . Ambos símbolos pqr | y pqs | generar un poliedro de base común con algunas caras adicionales. La notación pqr
s| luego representa el poliedro base, formado por las caras comunes a pqr | y pqs | . - | pqr - Las formas de desaire (alternadas) reciben este símbolo que de otro modo no se usa.
- | pqrs : una forma de desaire única para U75 que no se puede construir con Wythoff utilizando dominios fundamentales triangulares. Se incluyen cuatro números en este símbolo de Wythoff ya que este poliedro tiene un dominio fundamental esférico tetragonal.
- | (p) q (r) s : una forma de desaire única para la figura de Skilling que no se puede construir con Wythoff.
Esta tabla de conversión del símbolo de Wythoff a la configuración de vértice falla para los cinco poliedros excepcionales enumerados anteriormente cuyas densidades no coinciden con las densidades de sus teselaciones de triángulos de Schwarz generadores. En estos casos la figura del vértice está muy distorsionada para lograr uniformidad con caras planas: en los dos primeros casos es un triángulo obtuso en lugar de un triángulo agudo, y en los últimos tres es un pentagrama o hexagrama en lugar de un pentágono o hexágono, dando vueltas alrededor del centro dos veces. Esto da como resultado que algunas caras atraviesen el poliedro en comparación con las formas topológicamente equivalentes sin la distorsión de la figura del vértice y que salgan retrógradas del otro lado. [1]
Diedro (prismático)
En los triángulos diedros de Schwarz, dos de los números son 2 y el tercero puede ser cualquier número racional estrictamente mayor que 1.
- (2 2 n / d ) - degenerado si mcd ( n , d )> 1.
Muchos de los poliedros con simetría diedro tienen caras de digón que los hacen poliedros degenerados (por ejemplo, dihedra y hosohedra ). No se incluyen las columnas de la tabla que solo dan poliedros uniformes degenerados: los casos degenerados especiales (solo en el (2 2 2) triángulo de Schwarz) están marcados con una gran cruz. Antiprismas cruzados uniformes con una base { p } donde p <3/2 no puede existir ya que sus figuras de vértice violarían la desigualdad triangular ; estos también están marcados con una gran cruz. El antiprisma cruzado 3/2 (trirp) es degenerado, plano en el espacio euclidiano, y también está marcado con una gran cruz. Los triángulos de Schwarz (2 2 n / d ) se enumeran aquí solo cuando mcd ( n , d ) = 1, ya que de lo contrario solo dan como resultado poliedros uniformes degenerados.
La siguiente lista da todos los casos posibles donde n ≤ 6.
(p q r) | qr | p q.2p.r.2p | pr | q p. 2q.r.2q | pqr | 2r.2q.2p | | pqr 3.r.3.q.3.p |
---|---|---|---|---|
(2 2 2) (μ = 1) | 4.4.4 cubo 4-p | 3.3.3 tet 2-ap | ||
(2 2 3) (μ = 1) | 4.3.4 viaje 3-p | 4.3.4 viaje 3-p | 6.4.4 cadera 6-p | 3.3.3.3 oct 3-ap |
(2 2 3/2) (μ = 2) | 4.3.4 viaje 3-p | 4.3.4 viaje 3-p | 6 / 2.4.4 2 viajes 6/2-p | |
(2 2 4) (μ = 1) | 4.4.4 cubo 4-p | 4.4.4 cubo 4-p | 8.4.4 op 8-p | 3.4.3.3 squap 4-ap |
(2 2 4/3) (μ = 3) | 4.4.4 cubo 4-p | 4.4.4 cubo 4-p | 8 / 3.4.4 parada 8/3-p | |
(2 2 5) (μ = 1) | 4.5.4 pip 5-p | 4.5.4 pip 5-p | 10.4.4 inmersión 10-p | 3.5.3.3 pap 5-ap |
(2 2 5/2) (μ = 2) | 4.5 / 2.4 stip 5/2-p | 4.5 / 2.4 stip 5/2-p | 10 / 2.4.4 2pip 10/2-p | 3.5 / 2.3.3 stap 5/2-ap |
(2 2 5/3) (μ = 3) | 4.5 / 2.4 stip 5/2-p | 4.5 / 2.4 stip 5/2-p | 10 / 3.4.4 stiddip 10/3-p | 3.5 / 3.3.3 starp 5/3-ap |
(2 2 5/4) (μ = 4) | 4.5.4 pip 5-p | 4.5.4 pip 5-p | 10 / 4.4.4 - 10/4-p | |
(2 2 6) (μ = 1) | 4.6.4 cadera 6-p | 4.6.4 cadera 6-p | 12.4.4 twip 12-p | 3.6.3.3 hap 6-ap |
(2 2 6/5) (μ = 5) | 4.6.4 cadera 6-p | 4.6.4 cadera 6-p | 12 / 5.4.4 stwip 12/5-p | |
(2 2 n ) (μ = 1) | 4. n. 4 n -p | 4. n. 4 n -p | 2 n. 4,4 2 n -p | 3. n .3.3 n -ap |
(2 2 n / d ) (μ = d ) | 4. n / d .4 n / d -p | 4. n / d .4 n / d -p | 2 n / d .4,4 2 n / d -p | 3. n / d .3,3 n / d -ap |
Tetraédrico
En triángulos tetraédricos de Schwarz, el numerador máximo permitido es 3.
# | (p q r) | q | pr (pr) q | p | qr (qr) p | r | pq (qp) r | qr | p q.2p.r.2p | pr | q p. 2q.r.2q | pq | r 2r.q.2r.p | pqr | 2r.2q.2p | | pqr 3.r.3.q.3.p |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | (3 3 2) (µ = 1) | 3.3.3 tet U1 | 3.3.3 tet U1 | 3.3.3.3 oct U5 | 3.6.6 tut U2 | 3.6.6 tut U2 | 4.3.4.3 co U7 | 4.6.6 dedo del pie U8 | 3.3.3.3.3 ike U22 |
2 | (3 3 3/2) (µ = 2) | (3.3.3.3.3.3) / 2 2tet - | (3.3.3.3.3.3) / 2 2tet - | (3.3.3.3.3.3) / 2 2tet - | 3.6.3 / 2.6 oho U3 | 3.6.3 / 2.6 oho U3 | 2 (6 / 2.3.6 / 2.3) 2oct - | 2 (6 / 2.6.6) 2tut - | 2 (3.3 / 2.3.3.3.3) 2oct + 8 {3} - |
3 | (3 2 3/2) (µ = 3) | 3.3.3.3 oct U5 | 3.3.3 tet U1 | 3.3.3 tet U1 | 3.6.6 tut U2 | 2 (3 / 2.4.3.4) 2thah U4 * | 3 (3.6 / 2.6 / 2) 3tet - | 2 (6 / 2.4.6) cho + 4 {6/2} U15 * | 3 (3.3.3) 3tet - |
4 | (2 3/2 3/2) (µ = 5) | 3.3.3 tet U1 | 3.3.3.3 oct U5 | 3.3.3 tet U1 | 3.4.3.4 co U7 | 3 (6 / 2.3.6 / 2) 3tet - | 3 (6 / 2.3.6 / 2) 3tet - | 4 (6 / 2.6 / 2.4) 2oct + 6 {4} - | (3.3.3.3.3) / 2 gike U53 |
5 | (3/2 3/2 3/2) (µ = 6) | (3.3.3.3.3.3) / 2 2tet - | (3.3.3.3.3.3) / 2 2tet - | (3.3.3.3.3.3) / 2 2tet - | 2 (6 / 2.3.6 / 2.3) 2oct - | 2 (6 / 2.3.6 / 2.3) 2oct - | 2 (6 / 2.3.6 / 2.3) 2oct - | 6 (6 / 2.6 / 2.6 / 2) 6tet - |
Octaédrico
En los triángulos octaédricos de Schwarz, el numerador máximo permitido es 4. También existen triángulos octaédricos de Schwarz que usan 4/2 como número, pero estos solo conducen a poliedros uniformes degenerados, ya que 4 y 2 tienen un factor común .
# | (p q r) | q | pr (pr) q | p | qr (qr) p | r | pq (qp) r | qr | p q.2p.r.2p | pr | q p. 2q.r.2q | pq | r 2r.q.2r.p | pqr | 2r.2q.2p | | pqr 3.r.3.q.3.p |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | (4 3 2) (µ = 1) | 4.4.4 cubo U6 | 3.3.3.3 oct U5 | 3.4.3.4 co U7 | 3.8.8 tic U9 | 4.6.6 dedo del pie U8 | 4.3.4.4 sirco U10 | 4.6.8 girco U11 | 3.3.3.3.4 snic U12 |
2 | (4 4 3/2) (µ = 2) | (3 / 2.4) 4 de octubre + 6 {4} - | (3 / 2.4) 4 de octubre + 6 {4} - | (4.4.4.4.4.4) / 2 2cube - | 3 / 2.8.4.8 socco U13 | 3 / 2.8.4.8 socco U13 | 2 (6 / 2.4.6 / 2.4) 2co - | 2 (6 / 2.8.8) 2tic - | |
3 | (4 3 4/3) (µ = 4) | (4.4.4.4.4.4) / 2 2cube - | (3 / 2.4) 4 de octubre + 6 {4} - | (3 / 2.4) 4 de octubre + 6 {4} - | 3 / 2.8.4.8 socco U13 | 2 (4 / 3.6.4.6) 2cho U15 * | 3.8 / 3.4.8 / 3 gocco U14 | 6.8.8 / 3 cotco U16 | |
4 | (4 2 3/2) (µ = 5) | 3.4.3.4 co U7 | 3.3.3.3 oct U5 | 4.4.4 cubo U6 | 3.8.8 tic U9 | 4.4.3 / 2.4 querco U17 | 4 (4,6 / 2,6 / 2) 2oct + 6 {4} - | 2 (4,6 / 2,8) sroh + 8 {6/2} U18 * | |
5 | (3 2 4/3) (µ = 7) | 3.4.3.4 co U7 | 4.4.4 cubo U6 | 3.3.3.3 oct U5 | 4.6.6 dedo del pie U8 | 4.4.3 / 2.4 querco U17 | 3.8 / 3.8 / 3 quith U19 | 4.6 / 5.8 / 3 quitco U20 | |
6 | (2 3/2 4/3) (µ = 11) | 4.4.4 cubo U6 | 3.4.3.4 co U7 | 3.3.3.3 oct U5 | 4.3.4.4 sirco U10 | 4 (4,6 / 2,6 / 2) 2oct + 6 {4} - | 3.8 / 3.8 / 3 quith U19 | 2 (4,6 / 2,8 / 3) ranuras + 8 {6/2} U21 * | |
7 | (3/2 4/3 4/3) (µ = 14) | (3 / 2,4) 4 = (3,4) 4 /3 oct + 6 {4} - | (4.4.4.4.4.4) / 2 2cube - | (3 / 2,4) 4 = (3,4) 4 /3 oct + 6 {4} - | 2 (6 / 2.4.6 / 2.4) 2co - | 3.8 / 3.4.8 / 3 gocco U14 | 3.8 / 3.4.8 / 3 gocco U14 | 2 (6 / 2.8 / 3.8 / 3) 2quith - |
Icosaédrico
En triángulos icosaédricos de Schwarz, el numerador máximo permitido es 5. Además, el numerador 4 no se puede utilizar en absoluto en triángulos icosaédricos de Schwarz, aunque se permiten los numeradores 2 y 3. (Si 4 y 5 pudieran ocurrir juntos en algún triángulo de Schwarz, tendrían que hacerlo también en algún triángulo de Möbius; pero esto es imposible ya que (2 4 5) es un triángulo hiperbólico, no esférico.)
# | (p q r) | q | pr (pr) q | p | qr (qr) p | r | pq (qp) r | qr | p q.2p.r.2p | pr | q p. 2q.r.2q | pq | r 2r.q.2r.p | pqr | 2r.2q.2p | | pqr 3.r.3.q.3.p |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | (5 3 2) (µ = 1) | 5.5.5 cierva U23 | 3.3.3.3.3 ike U22 | 3.5.3.5 identificación U24 | 3.10.10 tid U26 | 5.6.6 ti U25 | 4.3.4.5 srid U27 | 4.6.10 cuadrícula U28 | 3.3.3.3.5 snid U29 |
2 | (3 3 5/2) (µ = 2) | 3.5 / 2.3.5 / 2.3.5 / 2 sidtid U30 | 3.5 / 2.3.5 / 2.3.5 / 2 sidtid U30 | (3 10 ) / 2 2me gusta - | 3.6.5 / 2.6 siid U31 | 3.6.5 / 2.6 siid U31 | 2 (10 / 2.3.10 / 2.3) 2id - | 2 (10 / 2.6.6) 2ti - | 3.5 / 2.3.3.3.3 junto a U32 |
3 | (5 5 3/2) (µ = 2) | (5.3 / 2) 5 cid - | (5.3 / 2) 5 cid - | (5.5.5.5.5.5) / 2 2doe - | 5.10.3 / 2.10 saddid U33 | 5.10.3 / 2.10 saddid U33 | 2 (6 / 2.5.6 / 2.5) 2id - | 2 (6 / 2.10.10) 2tid - | 2 (3.3 / 2.3.5.3.5) 2id + 40 {3} - |
4 | (5 5/2 2) (µ = 3) | (5.5.5.5.5) / 2 GAD U35 | 5 / 2.5 / 2.5 / 2.5 / 2.5 / 2 sissid U34 | 5 / 2.5.5 / 2.5 hizo U36 | 5 / 2.10.10 tigid U37 | 5.10 / 2.10 / 2 3doe - | 4.5 / 2.4.5 raded U38 | 2 (4.10 / 2.10) sird + 12 {10/2} U39 * | 3.3.5 / 2.3.5 siddid U40 |
5 | (5 3 5/3) (µ = 4) | 5.5 / 3.5.5 / 3.5.5 / 3 ditdid U41 | (3,5 / 3) 5 gácido - | (3.5) 5 /3 cid - | 3.10.5 / 3.10 sidditdid U43 | 5.6.5 / 3.6 ided U44 | 10 / 3.3.10 / 3.5 gidditdid U42 | 10 / 3.6.10 idtid U45 | 3.5 / 3.3.3.3.5 caras U46 |
6 | (5/2 5/2 5/2) (µ = 6) | (5/2) 10 /2 2sissid - | (5/2) 10 /2 2sissid - | (5/2) 10 /2 2sissid - | 2 (5 / 2,10 / 2) 2 2did - | 2 (5 / 2,10 / 2) 2 2did - | 2 (5 / 2,10 / 2) 2 2did - | 6 (10 / 2,10 / 2,10 / 2) 6doe - | 3 (3,5 / 2,3,5 / 2,3,5 / 2) 3sidtid - |
7 | (5 3 3/2) (µ = 6) | (3.5.3.5.3.5) / 2 gidtid U47 | (3 10 ) / 4 2gike - | (3.5.3.5.3.5) / 2 gidtid U47 | 2 (3.10.3 / 2.10) 2seihid U49 * | 5.6.3 / 2.6 giid U48 | 5 (6 / 2.3.6 / 2.5) 3ike + gad - | 2 (6,6 / 2,10) siddy + 20 {6/2} U50 * | 5 (3.3.3.3.3.5) / 2 5ike + gad - |
8 | (5 5 5/4) (µ = 6) | (5 10 ) / 4 2gad - | (5 10 ) / 4 2gad - | (5 10 ) / 4 2gad - | 2 (5.10.5 / 4.10) 2sidhid U51 * | 2 (5.10.5 / 4.10) 2sidhid U51 * | 10 / 4.5.10 / 4.5 2did - | 2 (10 / 4.10.10) 2tigido - | 3 (3.5.3.5.3.5) 3cid - |
9 | (3 5/2 2) (µ = 7) | (3.3.3.3.3) / 2 gike U53 | 5 / 2,5 / 2,5 / 2 gissid U52 | 5 / 2.3.5 / 2.3 gid U54 | 5 / 2.6.6 tiggy U55 | 3,10 / 2,10 / 2 2gad + ike - | 3 (4.5 / 2.4.3) sicdatrid - | 4.10 / 2.6 ri + 12 {10/2} U56 * | 3.3.5 / 2.3.3 gosid U57 |
10 | (5 5/2 3/2) (µ = 8) | (5.3 / 2) 5 cid - | (5 / 3.3) 5 gácido - | 5.5 / 3.5.5 / 3.5.5 / 3 ditdid U41 | 5 / 3.10.3.10 sidditdid U43 | 5 (5.10 / 2.3.10 / 2) ike + 3gad - | 3 (6 / 2.5 / 2.6 / 2.5) sidtid + gidtid - | 4 (6 / 2.10 / 2.10) id + seihid + sidhid - | (3 | 3 5/2) + (3/2 | 3 5) |
11 | (5 2 5/3) (µ = 9) | 5.5 / 2.5.5 / 2 hizo U36 | 5 / 2.5 / 2.5 / 2.5 / 2.5 / 2 sissid U34 | (5.5.5.5.5) / 2 GAD U35 | 5 / 2.10.10 tigid U37 | 3 (5.4.5 / 3.4) cadditradid - | 10 / 3.5.5 salir de sissid U58 | 10 / 3.4.10 / 9 quitdid U59 | 3.5 / 3.3.3.5 isdid U60 |
12 | (3 5/2 5/3) (µ = 10) | (3,5 / 3) 5 gácido - | (5/2) 6 /2 2gissid - | (5 / 2,3) 5 /3 gacid - | 2 (5 / 2.6.5 / 3.6) 2sidhei U62 * | 3 (3,10 / 2,5 / 3,10 / 2) ditdid + gidtid - | 10 / 3.5 / 2.10 / 3.3 gaddid U61 | 10 / 3,10 / 2,6 vertiginoso + 12 {10/2} U63 * | 3.5 / 3.3.5 / 2.3.3 gisdid U64 |
13 | (5 3 5/4) (µ = 10) | (5.5.5.5.5.5) / 2 2doe - | (3 / 2.5) 5 cid - | (3.5) 5 /3 cid - | 3 / 2.10.5.10 saddid U33 | 2 (5,6,5 / 4,6) 2gidhei U65 * | 3 (10 / 4.3.10 / 4.5) sidtid + ditdid - | 2 (10 / 4.6.10) siddy + 12 {10/4} U50 * | |
14 | (5 2 3/2) (µ = 11) | 5.3.5.3 id U24 | 3.3.3.3.3 ike U22 | 5.5.5 cierva U23 | 3.10.10 tid U26 | 3 (5 / 4.4.3 / 2.4) gicdatrid - | 5 (5.6 / 2.6 / 2) 2ike + gad - | 2 (6 / 2.4.10) sird + 20 {6/2} U39 * | 5 (3.3.3.5.3) / 2 4ike + gad - |
15 | (3 2 5/3) (µ = 13) | 3,5 / 2,3,5 / 2 gid U54 | 5 / 2,5 / 2,5 / 2 gissid U52 | (3.3.3.3.3) / 2 gike U53 | 5 / 2.6.6 tiggy U55 | 3.4.5 / 3.4 qrid U67 | 10 / 3.10 / 3.3 salir de gissid U66 | 10 / 3.4.6 gaquatid U68 | 3.5 / 3.3.3.3 gisid U69 |
dieciséis | (5/2 5/2 3/2) (µ = 14) | (5 / 3.3) 5 gácido - | (5 / 3.3) 5 gácido - | (5/2) 6 /2 2gissid - | 3 (5 / 3.10 / 2.3.10 / 2) ditdid + gidtid - | 3 (5 / 3.10 / 2.3.10 / 2) ditdid + gidtid - | 2 (6 / 2.5 / 2.6 / 2.5 / 2) 2gid - | 10 (6 / 2.10 / 2.10 / 2) 2ike + 4gad - | |
17 | (3 3 5/4) (µ = 14) | (3.5.3.5.3.5) / 2 gidtid U47 | (3.5.3.5.3.5) / 2 gidtid U47 | (3) 10 /4 2gike - | 3 / 2.6.5.6 giid U48 | 3 / 2.6.5.6 giid U48 | 2 (10 / 4.3.10 / 4.3) 2gid - | 2 (10 / 4.6.6) 2tiggy - | |
18 | (3 5/2 5/4) (µ = 16) | (3 / 2.5) 5 cid - | 5 / 3.5.5 / 3.5.5 / 3.5 ditdid U41 | (5 / 2,3) 5 /3 gacid - | 5 / 3.6.5.6 ided U44 | 5 (3 / 2.10 / 2.5.10 / 2) ike + 3gad - | 5 (10 / 4.5 / 2.10 / 4.3) 3sissid + gike - | 4 (10 / 4.10 / 2.6) did + sidhei + gidhei - | |
19 | (5/2 2 3/2) (µ = 17) | 3,5 / 2,3,5 / 2 gid U54 | (3.3.3.3.3) / 2 gike U53 | 5 / 2,5 / 2,5 / 2 gissid U52 | 5 (10 / 2.3.10 / 2) 2gad + ike - | 5 / 3.4.3.4 qrid U67 | 5 (6 / 2.6 / 2.5 / 2) 2gike + sissid - | 6 (6 / 2.4.10 / 2) 2gidtid + rom - | |
20 | (5/2 5/3 5/3) (µ = 18) | (5/2) 10 /2 2sissid - | (5/2) 10 /2 2sissid - | (5/2) 10 /2 2sissid - | 2 (5 / 2,10 / 2) 2 2did - | 2 (5 / 2,10 / 3,5 / 3,10 / 3) 2gidhid U70 * | 2 (5 / 2,10 / 3,5 / 3,10 / 3) 2gidhid U70 * | 2 (10 / 3.10 / 3.10 / 2) 2quitsissid - | |
21 | (3 5/3 3/2) (µ = 18) | (3 10 ) / 2 2me gusta - | 5 / 2.3.5 / 2.3.5 / 2.3 sidtid U30 | 5 / 2.3.5 / 2.3.5 / 2.3 sidtid U30 | 5 / 2.6.3.6 siid U31 | 2 (3,10 / 3,3 / 2,10 / 3) 2geihid U71 * | 5 (6 / 2.5 / 3.6 / 2.3) sissid + 3gike - | 2 (6 / 2.10 / 3.6) mareado + 20 {6/2} U63 * | |
22 | (3 2 5/4) (µ = 19) | 3.5.3.5 identificación U24 | 5.5.5 cierva U23 | 3.3.3.3.3 ike U22 | 5.6.6 ti U25 | 3 (3 / 2.4.5 / 4.4) gicdatrid - | 5 (10 / 4.10 / 4.3) 2sissid + gike - | 2 (10 / 4.4.6) ri + 12 {10/4} U56 * | |
23 | (5/2 2 5/4) (µ = 21) | 5 / 2.5.5 / 2.5 hizo U36 | (5.5.5.5.5) / 2 GAD U35 | 5 / 2.5 / 2.5 / 2.5 / 2.5 / 2 sissid U34 | 3 (10 / 2.5.10 / 2) 3doe - | 3 (5 / 3.4.5.4) cadditradid - | 3 (10 / 4.5 / 2.10 / 4) 3gissid - | 6 (10 / 4.4.10 / 2) 2ditdid + rhom - | |
24 | (5/2 3/2 3/2) (µ = 22) | 5 / 2.3.5 / 2.3.5 / 2.3 sidtid U30 | (3 10 ) / 2 2me gusta - | 5 / 2.3.5 / 2.3.5 / 2.3 sidtid U30 | 2 (3.10 / 2.3.10 / 2) 2id - | 5 (5 / 3.6 / 2.3.6 / 2) sissid + 3gike - | 5 (5 / 3.6 / 2.3.6 / 2) sissid + 3gike - | 10 (6 / 2.6 / 2.10 / 2) 4ike + 2gad - | (3.3.3.3.3.5 / 2) / 2 sirsid U72 |
25 | (2 5/3 3/2) (µ = 23) | (3.3.3.3.3) / 2 gike U53 | 5 / 2.3.5 / 2.3 gid U54 | 5 / 2,5 / 2,5 / 2 gissid U52 | 3 (5 / 2.4.3.4) sicdatrid - | 10 / 3.3.10 / 3 salir de gissid U66 | 5 (6 / 2.5 / 2.6 / 2) 2gike + sissid - | 2 (6 / 2.10 / 3.4) faja + 20 {6/2} U73 * | (3.3.3.5/2.3)/2 girsid U74 |
26 | (5/3 5/3 3/2) (µ = 26) | (5 / 2,3) 5 /3 gacid - | (5 / 2,3) 5 /3 gacid - | (5/2) 6 /2 2gissid - | 5 / 2.10 / 3.3.10 / 3 gaddid U61 | 5 / 2.10 / 3.3.10 / 3 gaddid U61 | 2 (6 / 2.5 / 2.6 / 2.5 / 2) 2gid - | 2 (6 / 2.10 / 3.10 / 3) 2quitgissid - | |
27 | (2 5/3 5/4) (µ = 27) | (5.5.5.5.5) / 2 GAD U35 | 5 / 2.5.5 / 2.5 hizo U36 | 5 / 2.5 / 2.5 / 2.5 / 2.5 / 2 sissid U34 | 5 / 2.4.5.4 con calificación U38 | 10 / 3.5.10 / 3 salir de sissid U58 | 3 (10 / 4.5 / 2.10 / 4) 3gissid - | 2 (10 / 4.10 / 3.4) faja + 12 {10/4} U73 * | |
28 | (2 3/2 5/4) (µ = 29) | 5.5.5 cierva U23 | 3.5.3.5 identificación U24 | 3.3.3.3.3 ike U22 | 3.4.5.4 srid U27 | 2 (6 / 2.5.6 / 2) 2ike + gad - | 5 (10 / 4.3.10 / 4) 2sissid + gike - | 6 (10 / 4.6 / 2.4 / 3) 2sidtid + rhom - | |
29 | (5/3 3/2 5/4) (µ = 32) | 5 / 3.5.5 / 3.5.5 / 3.5 ditdid U41 | (3.5) 5 /3 cid - | (3,5 / 2) 5 /3 gacid - | 3.10 / 3.5.10 / 3 gidditdid U42 | 3 (5 / 2.6 / 2.5.6 / 2) sidtid + gidtid - | 5 (10 / 4.3.10 / 4.5 / 2) 3sissid + gike - | 4 (10 / 4.6 / 2.10 / 3) gid + geihid + gidhid - | |
30 | (3/2 3/2 5/4) (µ = 34) | (3.5.3.5.3.5) / 2 gidtid U47 | (3.5.3.5.3.5) / 2 gidtid U47 | (3) 10 /4 2gike - | 5 (3.6 / 2.5.6 / 2) 3ike + gad - | 5 (3.6 / 2.5.6 / 2) 3ike + gad - | 2 (10 / 4.3.10 / 4.3) 2gid - | 10 (10 / 4.6 / 2.6 / 2) 2sissid + 4gike - | |
31 | (3/2 5/4 5/4) (µ = 38) | (3.5) 5 /3 cid - | (5.5.5.5.5.5) / 2 2doe - | (3.5) 5 /3 cid - | 2 (5,6 / 2,5,6 / 2) 2id - | 3 (3,10 / 4,5 / 4,10 / 4) sidtid + ditdid - | 3 (3,10 / 4,5 / 4,10 / 4) sidtid + ditdid - | 10 (10 / 4.10 / 4.6 / 2) 4sissid + 2gike - | 5 (3.3.3.5/4.3.5/4) 4ike + 2gad - |
32 | (5/4 5/4 5/4) (µ = 42) | (5) 10 /4 2gad - | (5) 10 /4 2gad - | (5) 10 /4 2gad - | 2 (5.10 / 4.5.10 / 4) 2did - | 2 (5.10 / 4.5.10 / 4) 2did - | 2 (5.10 / 4.5.10 / 4) 2did - | 6 (10 / 4.10 / 4.10 / 4) 2gissid - | 3 (3 / 2.5.3 / 2.5.3 / 2.5) 3cid - |
No Wythoffian
Formas hemi
Estos poliedros (los hemipolyhedra ) se generan como revestimientos dobles por la construcción de Wythoff. Si una figura generada por la construcción de Wythoff se compone de dos componentes idénticos, el operador "hemi" toma solo uno. El octahemioctaedro se incluye en la tabla para completar, aunque no se genera como una cubierta doble por la construcción de Wythoff.
3 / 2.4.3.4 thah U4 hemi (3 3/2 | 2) | 4 / 3.6.4.6 cho U15 hemi (4 4/3 | 3) | 5 / 4.10.5.10 sidhid U51 hemi (5 5/4 | 5) | 5 / 2.6.5 / 3.6 sidhei U62 hemi (5/2 5/3 | 3) | 5 / 2,10 / 3,5 / 3,10 / 3 gidhid U70 hemi (5/2 5/3 | 5/3) |
3 / 2.6.3.6 oho U3 hemi (?) | 3 / 2.10.3.10 seihid U49 hemi (3 3/2 | 5) | 5.6.5 / 4.6 gidhei U65 hemi (5 5/4 | 3) | 3.10 / 3.3 / 2.10 / 3 geihid U71 hemi (3 3/2 | 5/3) |
Formas reducidas
Estos poliedros se generan con caras adicionales mediante la construcción de Wythoff. Si la construcción de Wythoff genera una figura como compuesta por dos o tres componentes no idénticos, el operador "reducido" elimina las caras adicionales (que deben especificarse) de la figura, dejando solo un componente.
Wythoff | Poliedro | Caras extra | Wythoff | Poliedro | Caras extra | Wythoff | Poliedro | Caras extra | ||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
3 2 3/2 | | 4.6.4 / 3.6 cho U15 | 4 {6/2} | 4 2 3/2 | | 4.8.4 / 3.8 / 7 sroh U18 | 8 {6/2} | 2 3/2 4/3 | | 4.8 / 3.4 / 3.8 / 5 ranuras U21 | 8 {6/2} | ||
5 5/2 2 | | 4.10.4 / 3.10 / 9 sird U39 | 12 {10/2} | 5 3 3/2 | | 10.6.10 / 9.6 / 5 siddy U50 | 20 {6/2} | 3 5/2 2 | | 6.4.6 / 5.4 / 3 ri U56 | 12 {10/2} | ||
5 5/2 3/2 | | 3 / 2.10.3.10 seihid U49 | id + sidhid | 5 5/2 3/2 | | 5 / 4.10.5.10 sidhid U51 | id + seihid | 5 3 5/4 | | 10.6.10 / 9.6 / 5 siddy U50 | 12 {10/4} | ||
3 5/2 5/3 | | 6.10 / 3.6 / 5.10 / 7 vertiginoso U63 | 12 {10/2} | 5 2 3/2 | | 4.10 / 3.4 / 3.10 / 9 sird U39 | 20 {6/2} | 3 5/2 5/4 | | 5.6.5 / 4.6 gidhei U65 | did + sidhei | ||
3 5/2 5/4 | | 5 / 2.6.5 / 3.6 sidhei U62 | did + gidhei | 3 5/3 3/2 | | 6.10 / 3.6 / 5.10 / 7 vertiginoso U63 | 20 {6/2} | 3 2 5/4 | | 6.4.6 / 5.4 / 3 ri U56 | 12 {10/4} | ||
2 5/3 3/2 | | 4,10 / 3,4 / 3,10 / 7 gird U73 | 20 {6/2} | 5/3 3/2 5/4 | | 3.10 / 3.3 / 2.10 / 3 geihid U71 | gid + gidhid | 5/3 3/2 5/4 | | 5 / 2,10 / 3,5 / 3,10 / 3 gidhid U70 | gid + geihid | ||
2 5/3 5/4 | | 4,10 / 3,4 / 3,10 / 7 gird U73 | 12 {10/4} |
El tetrahemihexaedro (thah, U4) es también una versión reducida de la {3/2} - cúpula (cúpula triangular retrógrada, ratricu) por {6/2}. Como tal, también se le puede llamar cuploide triangular cruzado .
Muchos de los casos anteriores se derivan de poliedros omnitruncados degenerados pqr |. En estos casos, dos casos degenerados distintos pqr | y pqs | se puede generar a partir de la misma pyq; el resultado tiene caras {2p}, {2q} y {2r} coincidentes o {2s} respectivamente. Ambos producen los mismos poliedros uniformes no degenerados cuando se descartan las caras coincidentes, que Coxeter simbolizó pqr
s|. Estos casos se enumeran a continuación:
4.6.4 / 3.6 cho U15 2 33/2 3/2 | | 4.8.4 / 3.8 / 7 sroh U18 2 33/2 4/2 | | 4.10.4 / 3.10 / 9 sird U39 2 33/2 5/2 | | 6,10 / 3,6 / 5,10 / 7 vertiginoso U63 3 5/33/2 5/2 | |
6.4.6 / 5.4 / 3 ri U56 2 35/4 5/2 | | 4.8 / 3.4 / 3.8 / 5 ranuras U21 2 4/33/2 4/2 | | 4,10 / 3,4 / 3,10 / 7 gird U73 2 5/33/2 5/4 | | 10.6.10 / 9.6 / 5 siddy U50 3 53/2 5/4 | |
En los rombihexaedros pequeños y grandes se utiliza la fracción 4/2 a pesar de no estar en los términos más bajos. Mientras que 2 4 2 | y 2 4/3 2 | representan un solo prisma octagonal u octagrammic respectivamente, 2 4 4/2 | y 2 4/3 4/2 | representan tres prismas de este tipo, que comparten algunas de sus caras cuadradas (precisamente las que se doblaron para producir {8/2}). Estos {8/2} aparecen con una simetría rotacional cuádruple y no doble, lo que justifica el uso de 4/2 en lugar de 2. [1]
Otras formas
Estos dos poliedros uniformes no pueden ser generados en absoluto por la construcción de Wythoff. Este es el conjunto de poliedros uniformes comúnmente descritos como los "no Wythoffianos". En lugar de los dominios fundamentales triangulares de los poliedros uniformes Wythoffianos, estos dos poliedros tienen dominios fundamentales tetragonales .
La figura de Skilling no tiene un índice en la lista de Maeder debido a que es un exótico poliedro uniforme, con crestas (bordes en el caso 3D) completamente coincidentes. Esto también es cierto para algunos de los poliedros degenerados incluidos en la lista anterior, como el pequeño complejo icosidodecaedro . Esta interpretación de que las aristas son coincidentes permite que estas figuras tengan dos caras por arista: no doblar las aristas les daría 4, 6, 8, 10 o 12 caras que se unen en una arista, figuras que generalmente se excluyen como poliedros uniformes. La figura de Skilling tiene 4 caras que se encuentran en algunos bordes.
(pqrs) | | pqrs (4.p. 4.q.4.r.4.s) / 2 | | (p) q (r) s (p 3 .4.q.4.r 3 .4.s.4) / 2 |
---|---|---|
(3/2 5/3 3 5/2) | (4.3 / 2.4.5 / 3.4.3.4.5 / 2) / 2 gidrid U75 | (3/2 3 .4.5 / 3.4.3 3 .4.5 / 2,4) / 2 gidisdrid Skilling |
Figura de vértice de | 3 5/3 5/2 | Gran dodecicosidodecaedro chato | Gran dirhombicosidodecaedro | Figura de vértice de | 3/2 5/3 3 5/2 |
Gran disnub dirhombidodecaedro | Compuesto de veinte octaedros | Compuesto de veinte tetrahemihexaedros | Figura de vértice de | (3/2) 5/3 (3) 5/2 |
Ambos poliedros especiales pueden derivarse del gran dodecicosidodecaedro chato , | 3 5/3 5/2 (U64). Este es un poliedro chato quiral, pero sus pentagramas aparecen en pares coplanares. Combinando una copia de este poliedro con su enantiomorfo, los pentagramas coinciden y pueden eliminarse. Como los bordes de la figura del vértice de este poliedro incluyen tres lados de un cuadrado, con el cuarto lado contribuido por su enantiomorfo, vemos que el poliedro resultante es de hecho el compuesto de veinte octaedros . Cada uno de estos octaedros contiene un par de caras paralelas que se derivan de un triángulo completamente simétrico de | 3 5/3 5/2, mientras que los otros tres provienen del original | 3 5/3 5/2 triángulos chatos. Además, cada octaedro puede ser reemplazado por el tetrahemihexaedro con los mismos bordes y vértices. Tomando los triángulos completamente simétricos en el octaedro, los pentagramas coincidentes originales en el gran dodecicosidodecaedro chato y los cuadrados ecuatoriales del tetrahemihexaedro juntos, se obtiene el gran dirhombicosidodecaedro (el monstruo de Miller). [1] Al tomar los triángulos chatos del octaedro, se obtiene el gran dirhombidodecaedro disnub (figura de Skilling). [2]
Referencias
- ↑ a b c Coxeter, 1954
- ^ Habilidad, 1974
- Coxeter, Harold Scott MacDonald ; Longuet-Higgins, MS; Miller, JCP (1954). "Poliedros uniformes". Transacciones filosóficas de la Royal Society de Londres. Serie A. Ciencias Físicas y Matemáticas . La Royal Society. 246 (916): 401–450. doi : 10.1098 / rsta.1954.0003 . ISSN 0080-4614 . JSTOR 91532 . Señor 0062446 . S2CID 202575183 . [1]
- Habilidad, J. (1974). "El conjunto completo de poliedros uniformes". Transacciones filosóficas de la Royal Society de Londres. Serie A. Ciencias Físicas y Matemáticas . La Royal Society. 278 (1278): 111-135. doi : 10.1098 / rsta.1975.0022 . ISSN 1364-503X . S2CID 122634260 . [2]
enlaces externos
Richard Klitzing: poliedros de
- simetría de grupos de puntos
- complejidad
- Triángulos de Schwarz parte 1 , parte 2
Zvi Har'El:
- Solución uniforme para poliedros uniformes