Variedad Shimura
En la teoría de números , una variedad de Shimura es un análogo de dimensión superior de una curva modular que surge como una variedad cociente de un espacio simétrico hermitiano por un subgrupo de congruencia de un grupo algebraico reductivo definido sobre Q. Las variedades de Shimura no son variedades algebraicas sino familias de variedades algebraicas. Las curvas de Shimura son las variedades unidimensionales de Shimura. Las superficies modulares Hilbert y las variedades modulares Siegel se encuentran entre las clases más conocidas de variedades Shimura.
Los casos especiales de variedades de Shimura fueron introducidos originalmente por Goro Shimura en el curso de su generalización de la teoría de la multiplicación compleja . Shimura mostró que si bien inicialmente se definen analíticamente, son objetos aritméticos, en el sentido de que admiten modelos definidos sobre un campo numérico , el campo reflejo de la variedad Shimura. En la década de 1970, Pierre Deligne creó un marco axiomático para el trabajo de Shimura. En 1979, Robert Langlands comentó que las variedades de Shimura forman un reino natural de ejemplos para los cuales la equivalencia entre funciones L motívicas y automórficaspostulado en el programa Langlands puede ser probado. Las formas automórficas realizadas en la cohomología de una variedad Shimura son más fáciles de estudiar que las formas automórficas generales; en particular, hay una construcción que les atribuye representaciones de Galois . [1]
Sea S = Res C / R G m la restricción de Weil del grupo multiplicativo de números complejos a números reales . Es un grupo algebraico real , cuyo grupo de R - puntos, S ( R ), es C * y grupo de C - puntos es C * × C * . Un dato de Shimura es un par ( G , X ) que consta de un grupo algebraico reductivo (conectado) Gdefinida sobre el campo Q de números racionales y una clase de conjugación G ( R )- X de homomorfismos h : S → G R que satisfacen los siguientes axiomas:
De estos axiomas se deduce que X tiene una estructura única de una variedad compleja (posiblemente desconectada) tal que para cada representación ρ : G R → GL ( V ), la familia ( V , ρ ⋅ h ) es una familia holomorfa de Hodge estructuras ; además, forma una variación de la estructura de Hodge, y X es una unión finita disjunta de dominios simétricos hermitianos .
Sea A ƒ el anillo de adeles finitos de Q . Para cualquier subgrupo abierto compacto suficientemente pequeño K de G ( A ƒ ), el espacio de doble clase lateral
es una unión disjunta finita de variedades localmente simétricas de la forma , donde el superíndice más indica un componente conectado . Las variedades Sh K ( G , X ) son variedades algebraicas complejas y forman un sistema inverso sobre todos los subgrupos K abiertos compactos suficientemente pequeños . Este sistema inverso
