En topología , un espacio topológico se llama simplemente conectado (o 1-conectado , o 1-simplemente conectado [1] ) si está conectado a una ruta y cada ruta entre dos puntos se puede transformar continuamente (intuitivamente para espacios incrustados, permaneciendo dentro de la space) en cualquier otra ruta de este tipo conservando los dos puntos finales en cuestión. El grupo fundamental de un espacio topológico es un indicador del fracaso de que el espacio esté simplemente conectado: un espacio topológico conectado por caminos está simplemente conectado si y solo si su grupo fundamental es trivial.
Definición y formulaciones equivalentes
Un espacio topológico se llama simplemente conectado si está conectado a una ruta y cualquier bucle en definido por puede contraerse a un punto: existe un mapa continuo tal que restringido a S 1 es Aquí, ydenota el círculo unitario y el disco unitario cerrado en el plano euclidiano, respectivamente.
Una formulación equivalente es esta: está simplemente conectado si y solo si está conectado a una ruta, y siempre que y son dos rutas (es decir, mapas continuos) con el mismo punto de inicio y final (), luego puede deformarse continuamente en manteniendo ambos extremos fijos. Explícitamente, existe una homotopía tal que y
Un espacio topológico está simplemente conectado si y solo si está conectado con el camino y el grupo fundamental deen cada punto es trivial, es decir, consta únicamente del elemento de identidad . Similar, está simplemente conectado si y solo si para todos los puntos el conjunto de morfismos en el grupo fundamental detiene un solo elemento. [2]
En análisis complejo : un subconjunto abierto está simplemente conectado si y solo si ambos y su complemento en la esfera de Riemann están conectados. El conjunto de números complejos con una parte imaginaria estrictamente mayor que cero y menor que uno, proporciona un buen ejemplo de un subconjunto ilimitado, conectado y abierto del plano cuyo complemento no está conectado. Sin embargo, está simplemente conectado. También podría valer la pena señalar que una relajación del requisito de queestar conectado conduce a una exploración interesante de subconjuntos abiertos del plano con complemento extendido conectado. Por ejemplo, un conjunto abierto (no necesariamente conectado) tiene un complemento extendido conectado exactamente cuando cada uno de sus componentes conectados está simplemente conectado.
Discusión informal
De manera informal, un objeto en nuestro espacio está simplemente conectado si consta de una sola pieza y no tiene ningún "agujero" que lo atraviese por completo. Por ejemplo, ni una rosquilla ni una taza de café (con asa) simplemente se conectan, sino que simplemente se conecta una bola de goma hueca. En dos dimensiones, un círculo no está simplemente conectado, sino que un disco y una línea lo están. Los espacios que están conectados pero no simplemente conectados se denominan no simplemente conectados o conectados de forma múltiple .
La definición excluye solo los agujeros con forma de asa . Una esfera (o, de manera equivalente, una pelota de goma con un centro hueco) simplemente se conecta, porque cualquier bucle en la superficie de una esfera puede contraerse hasta un punto aunque tenga un "agujero" en el centro hueco. La condición más fuerte, que el objeto no tiene agujeros de ninguna dimensión, se llama contractibilidad .
Ejemplos de
- El plano euclidiano está simplemente conectado, pero menos el origen no es. Si entonces ambos y menos el origen están simplemente conectados.
- Análogamente: la esfera n- dimensional está simplemente conectado si y solo si
- Cada subconjunto convexo de está simplemente conectado.
- Un toro , el cilindro (elíptico) , la tira de Möbius , el plano proyectivo y la botella de Klein no están simplemente conectados.
- Cada espacio vectorial topológico está simplemente conectado; esto incluye los espacios de Banach y los espacios de Hilbert .
- Para el grupo ortogonal especial no está simplemente conectado y el grupo unitario especial está simplemente conectado.
- La compactificación de un punto de no está simplemente conectado (aunque está simplemente conectado).
- La larga cola está simplemente conectado, pero su compactación, la línea larga extendida no lo es (ya que ni siquiera está conectado a una ruta).
Propiedades
Una superficie ( variedad topológica bidimensional ) se conecta simplemente si y solo si está conectada y su género (el número de asas de la superficie) es 0.
Una funda universal para cualquier espacio (adecuado) es un espacio simplemente conectado que se asigna a a través de un mapa de cobertura .
Si y son homotopía equivalente y está simplemente conectado, entonces también lo está
La imagen de un aparato simplemente conectado bajo una función continua no necesita estar simplemente conectado. Tomemos, por ejemplo, el plano complejo debajo del mapa exponencial: la imagen es que no está simplemente conectado.
La noción de conectividad simple es importante en el análisis complejo debido a los siguientes hechos:
- El teorema integral de Cauchy establece que sies un subconjunto abierto simplemente conectado del plano complejo y es una función holomórfica , entoncestiene una antiderivada en y el valor de cada línea integral en con integrando depende solo de los puntos finales y de la ruta, y se puede calcular como Por tanto, la integral no depende del camino particular que conecta y
- El teorema de mapeo de Riemann establece que cualquier subconjunto abierto no vacío simplemente conectado de (excepto por sí mismo) es conforme a la unidad de disco .
La noción de conexión simple también es una condición crucial en la conjetura de Poincaré .
Ver también
- Grupo fundamental - Grupo matemático de las clases de homotopía de bucles en un espacio topológico.
- Retraer la deformación
- espacio n-conectado
- Conectado a la ruta
- Espacio unicoherente
Referencias
- ^ "espacio n-conectado en nLab" . ncatlab.org . Consultado el 17 de septiembre de 2017 .
- ^ Ronald, Brown (junio de 2006). Topología y Groupoids . Búsqueda académica completa. North Charleston: CreateSpace. ISBN 1419627228. OCLC 712629429 .
- Spanier, Edwin (diciembre de 1994). Topología algebraica . Saltador. ISBN 0-387-94426-5.
- Conway, John (1986). Funciones de una variable compleja I . Saltador. ISBN 0-387-90328-3.
- Bourbaki, Nicolas (2005). Grupos de mentiras y álgebras de mentiras . Saltador. ISBN 3-540-43405-4.
- Gamelin, Theodore (enero de 2001). Análisis complejo . Saltador. ISBN 0-387-95069-9.
- Joshi, Kapli (agosto de 1983). Introducción a la topología general . Editores de la Nueva Era. ISBN 0-85226-444-5.