Dodecadodecaedro | |
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Tipo | Poliedro estrella uniforme |
Elementos | F = 24, E = 60 V = 30 (χ = −6) |
Caras por lados | 12 {5} +12 {5/2} |
Símbolo de Wythoff | 2 | 5 5/2 2 | 5 5/3 2 | 5/2 5/4 2 | 5/3 5/4 |
Grupo de simetría | Yo h , [5,3], * 532 |
Referencias de índice | U 36 , C 45 , W 73 |
Poliedro doble | Triacontaedro rómbico medial |
Figura de vértice | 5.5 / 2.5.5 / 2 |
Acrónimo de Bowers | Hizo |
En geometría , el dodecadodecaedro es un poliedro uniforme no convexo , indexado como U 36 . [1] Es la rectificación del gran dodecaedro (y la de su dual, el pequeño dodecaedro estrellado ). Fue descubierto de forma independiente por Hess ( 1878 ), Badoureau ( 1881 ) y Pitsch ( 1882 ).
Los bordes de este modelo forman 10 hexágonos centrales , y estos, proyectados sobre una esfera , se convierten en 10 grandes círculos . Estos 10, junto con los grandes círculos de las proyecciones de otros dos poliedros, forman los 31 grandes círculos del icosaedro esférico utilizado en la construcción de cúpulas geodésicas .
Construcciones Wythoff
Tiene cuatro construcciones Wythoff entre cuatro familias de triángulos de Schwarz : 2 | 5 5/2 , 2 | 5 5/3 , 2 | 5/2 5/4 , 2 | 5/3 5/4 , pero representan resultados idénticos. De manera similar, se le pueden dar cuatro símbolos de Schläfli extendidos : r {5 / 2,5}, r {5 / 3,5}, r {5 / 2,5 / 4} y r {5 / 3,5 / 4} o como diagramas de Coxeter-Dynkin :, , , y .
Neto
Se puede construir una forma con la misma apariencia exterior que el dodecadodecaedro doblando estas redes:
Son necesarios 12 pentagramas y 20 racimos rómbicos . Sin embargo, esta construcción reemplaza las caras pentagonales que se cruzan del dodecadodecaedro con conjuntos de rombos que no se cruzan, por lo que no produce la misma estructura interna.
Poliedros relacionados
Su casco convexo es el icosidodecaedro . También comparte su disposición de borde con el pequeño dodecahemicosaedro (que tiene las caras pentagrammicas en común) y con el gran dodecahemicosaedro (que tiene las caras pentagonales en común).
Dodecadodecaedro | Pequeño dodecahemicosaedro |
Gran dodecahemicosaedro | Icosidodecaedro ( casco convexo ) |
Este poliedro puede considerarse un gran dodecaedro rectificado . Es el centro de una secuencia de truncamiento entre un pequeño dodecaedro estrellado y un gran dodecaedro :
El pequeño dodecaedro estrellado truncado parece un dodecaedro en la superficie, pero tiene 24 caras: 12 pentágonos de los vértices truncados y 12 superpuestos como (pentagramas truncados). El truncamiento del dodecadodecaedro en sí no es uniforme e intentar hacerlo uniforme da como resultado un poliedro degenerado (que parece un pequeño rombidodecaedro con {10/2} polígonos que llenan el conjunto de agujeros del dodecaedro), pero tiene una cuasitruncación uniforme, el dodecadodecaedro truncado .
Nombre | Pequeño dodecaedro estrellado | Dodecaedro estrellado pequeño truncado | Dodecadodecaedro | Gran dodecaedro truncado | Gran dodecaedro |
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Diagrama de Coxeter-Dynkin | |||||
Imagen |
Es topológicamente equivalente a un espacio cociente del mosaico pentagonal hiperbólico de orden 4 , al distorsionar los pentagramas de nuevo en pentágonos regulares . Como tal, es topológicamente un poliedro regular de índice dos: [2] [3]
Los colores en la imagen de arriba corresponden a los pentagramas rojos y amarillos del dodecadodecaedro en la parte superior de este artículo.
Triacontaedro rómbico medial
Triacontaedro rómbico medial | |
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Tipo | Poliedro estrella |
Cara | |
Elementos | F = 30, E = 60 V = 24 (χ = −6) |
Grupo de simetría | Yo h , [5,3], * 532 |
Referencias de índice | DU 36 |
poliedro dual | Dodecadodecaedro |
El medial rómbica triacontaedro es un no convexo isohedral poliedro . Es el dual del dodecadodecaedro. Tiene 30 caras rómbicas que se cruzan .
También se le puede llamar pequeño triacontaedro estrellado.
Stelación
El triacontaedro rómbico medial es una estelación del triacontaedro rómbico , que es el dual del icosidodecaedro, el casco convexo del dodecadodecaedro (dual al triacontaedro rómbico medial original).
Mosaico hiperbólico relacionado
Es topológicamente equivalente a un espacio cociente del mosaico cuadrado hiperbólico de orden 5 , al distorsionar los rombos en cuadrados . Como tal, es topológicamente un poliedro regular de índice dos: [4]
Tenga en cuenta que el mosaico cuadrado de orden 5 es dual al mosaico pentagonal de orden 4 , y un espacio de cociente del mosaico pentagonal de orden 4 es topológicamente equivalente al dual del triacontaedro rómbico medial, el dodecadodecaedro.
Ver también
- Lista de poliedros uniformes
Referencias
- ^ Maeder, Roman. "36: dodecadodecaedro" . www.mathconsult.ch . Consultado el 3 de febrero de 2020 .
- ^ Los poliedros regulares (del índice dos) , David A. Richter
- ^ El código Golay en el dodecadodecaedro , David A. Richter
- ^ Los poliedros regulares (del índice dos) , David A. Richter
- Badoureau (1881), "Mémoire sur les figures isoscèles", Journal de l'École Polytechnique , 49 : 47–172
- Hess, Edmund (1878), Vier archimedeische Polyeder höherer Art , Cassel. Th. Kay, JFM 10.0346.03
- Pitsch (1882), "Über halbreguläre Sternpolyheder", Zeitschrift für das Realschulwesen , 7 , JFM 14.0448.01
- Wenninger, Magnus (1983), Modelos duales , Cambridge University Press , doi : 10.1017 / CBO9780511569371 , ISBN 978-0-521-54325-5, MR 0730208
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Dodecadodecahedron" . MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Triacontaedro rómbico medial" . MathWorld .
- Poliedros uniformes y duales