En matemáticas , la teoría ideal es la teoría de los ideales en anillos conmutativos ; y es el nombre precursor de la asignatura contemporánea de álgebra conmutativa . El nombre surgió de las consideraciones centrales, como el teorema de Lasker-Noether en geometría algebraica , y el grupo de clases ideal en la teoría algebraica de números , del álgebra conmutativa del primer cuarto del siglo XX. Se utilizó en el influyente texto de van der Waerden sobre álgebra abstracta de alrededor de 1930.
La teoría ideal en cuestión se había basado en la teoría de la eliminación , pero de acuerdo con el gusto de David Hilbert se alejó de los métodos algorítmicos . La teoría de la base de Gröbner ahora ha revertido la tendencia del álgebra computacional .
La importancia de la idea de un módulo , más general que un ideal , probablemente llevó a la percepción de que la teoría ideal era una descripción demasiado estrecha. La teoría de la valoración también fue una extensión técnica importante y fue utilizada por Helmut Hasse y Oscar Zariski . Bourbaki usó álgebra conmutativa ; a veces, el álgebra local se aplica a la teoría de los anillos locales . La Cambridge Tract Ideal Theory de Douglas Northcott de 1953 (reeditada en 2004 con el mismo título) fue una de las últimas apariciones del nombre.
Topología determinada por un ideal
Sea R un anillo y M un módulo R. Entonces cada idealde R determina una topología en M llamada-topología ádica tal que un subconjunto U de M está abierto si y solo si para cada x en U existe un entero positivo n tal que
Con respecto a esto -topología ádica, es una base de barrios de y hace que las operaciones del módulo sean continuas; En particular,es un grupo topológico posiblemente ajeno a Hausdorff . Además, M es un espacio topológico de Hausdorff si y solo si Además, cuando es Hausdorff, la topología es la misma que la topología espacial métrica dada al definir la función de distancia: por , dónde es un número entero tal que .
Dado un submódulo N de M , el-el cierre de N en M es igual a, como se muestra fácilmente.
Ahora, a priori , en un submódulo N de M , hay dos-topologías: la topología subespacial inducida por la -topología ádica en M y eltopología -adic en N . Sin embargo cuando es Noetherian y es finito sobre él, esas dos topologías coinciden como consecuencia del lema de Artin-Rees .
Cuándo es Hausdorff, se puede completar como un espacio métrico; el espacio resultante se denota pory tiene la estructura del módulo obtenida al extender las operaciones del módulo por continuidad. También es lo mismo que (o canónicamente isomórfico a):
donde el lado derecho es la finalización del módulo con respecto a .
Ejemplo : Let ser un anillo polinomial sobre un campo y el ideal máximo. Luegoes un anillo formal de la serie Power .
R se llama anillo de Zariski con respecto asi todo ideal en R es-cerrado. Hay una caracterización:
- R es un anillo de Zariski con respecto a si y solo si está contenido en el radical Jacobson de R .
En particular, un anillo local noetheriano es un anillo Zariski con respecto al ideal máximo.
Sistema de parámetros
Un sistema de parámetros para un anillo local noetheriano de dimensión d de Krull con m ideal máximo es un conjunto de elementos x 1 , ..., x d que satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:
- m es un primo mínimo sobre ( x 1 , ..., x d ).
- El radical de ( x 1 , ..., x d ) es m .
- Alguna potencia de m está contenida en ( x 1 , ..., x d ).
- ( x 1 , ..., x d ) es m -primario .
Cada anillo noetheriano local admite un sistema de parámetros.
No es posible que menos de d elementos generen un ideal cuyo radical sea m porque entonces la dimensión de R sería menor que d .
Si M es un módulo k- dimensional sobre un anillo local, entonces x 1 , ..., x k es un sistema de parámetros para M si la longitud de M / ( x 1 , ..., x k ) M es finita .
Teoría de la reducción
La teoría de la reducción se remonta al influyente artículo de 1954 de Northcott y Rees, el artículo que introdujo las nociones básicas. En geometría algebraica, la teoría se encuentra entre las herramientas esenciales para extraer información detallada sobre los comportamientos de las explosiones .
Dados los ideales J ⊂ I en un anillo R , se dice que el ideal J es una reducción de I si hay algún entero m > 0 tal que. [1] Para tales ideales, inmediatamente de la definición, se cumple lo siguiente:
- Para cualquier k ,.
- J y yo tenemos el mismo radical y el mismo conjunto de ideales primos mínimos sobre ellos [2] (lo contrario es falso).
Si R es un anillo noetheriano, entonces J es una reducción de I si y solo si el álgebra de Rees R [ It ] es finito sobre R [ Jt ]. [3] (Esta es la razón de la relación con una explosión).
Una noción estrechamente relacionada es la de difusión analítica . Por definición, el anillo de cono de fibra de un anillo local noetheriano ( R ,) a lo largo de un ideal yo es
- .
La dimensión Krull dese llama la propagación analítica de I . Dada una reducción, El número mínimo de generadores de J es al menos la extensión analítica de I . [4] Además, un inverso parcial es válido para campos infinitos: si es infinito y si el entero es la extensión analítica de I , entonces cada reducción de I contiene una reducción generada porelementos. [5]
Cohomología local en teoría ideal
A veces se puede utilizar la cohomología local para obtener información sobre un ideal. Esta sección asume cierta familiaridad con la teoría de gavillas y la teoría de esquemas.
Dejar ser un módulo sobre un anillo y Un ideal. Luego determina la gavilla en (la restricción a Y de la gavilla asociada a M ). Desenrollando la definición, se ve:
- .
Aquí, se llama la transformada ideal de con respecto a . [6]
Referencias
- ^ Huneke y Swanson 2006 , definición 1.2.1
- ^ Huneke y Swanson 2006 , Lema 8.1.10
- ^ Huneke y Swanson 2006 , Teorema 8.2.1.
- ^ Huneke y Swanson 2006 , Corolario 8.2.5.
- ^ Huneke y Swanson 2006 , Proposición 8.3.7
- ^ Eisenbud 2005 , Apéndice 10B.
- Atiyah, Michael Francis ; Macdonald, IG (1969), Introducción al álgebra conmutativa , Westview Press, ISBN 978-0-201-40751-8
- Eisenbud, David , Álgebra conmutativa con miras a la geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas, 150, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94268-8 .
- Huneke, Craig; Swanson, Irena (2006), Cierre integral de ideales, anillos y módulos , London Mathematical Society Lecture Note Series, 336 , Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-68860-4, MR 2266432