En matemáticas, los polinomios de Macdonald P λ ( x ; t , q ) son una familia de polinomios simétricos ortogonales en varias variables, introducidos por Macdonald en 1987. Posteriormente introdujo una generalización no simétrica en 1995. Macdonald originalmente asoció sus polinomios con pesos λ de sistemas de raíces finitas y usó solo una variable t , pero luego se dio cuenta de que es más natural asociarlos con sistemas de raíces afines en lugar de sistemas de raíces finitos, en cuyo caso la variable t puede ser reemplazada por varias variables diferentes t = ( t1 , ..., t k ), uno para cada una de las k órbitas de las raíces en el sistema de raíces afines. Los polinomios de Macdonald son polinomios en n variables x = ( x 1 , ..., x n ), donde n es el rango del sistema de raíces afines. Generalizan muchas otras familias de polinomios ortogonales, como los polinomios de Jack y los polinomios de Hall-Littlewood y los polinomios de Askey-Wilson , que a su vez incluyen la mayoría de los polinomios ortogonales de una variable nombrados como casos especiales. Los polinomios de Koornwinder son polinomios de Macdonald de ciertos sistemas de raíces no reducidos. Tienen relaciones profundas con álgebras afines de Hecke y esquemas de Hilbert , que se utilizaron para probar varias conjeturas hechas por Macdonald sobre ellos.
Definición
Primero arregle alguna notación:
- R es un finito sistema de raíces en un espacio vectorial real V .
- R + es una elección de raíces positivas , a las que corresponde una cámara de Weyl positiva .
- W es el grupo de Weyl de R .
- Q es el enrejado de la raíz de R (el enrejado atravesado por las raíces).
- P es la red de pesos de R (que contiene Q ).
- Un pedido sobre los pesos : si y solo si es una combinación lineal no negativa de raíces simples .
- P + es el conjunto de pesos dominantes: los elementos de P en la cámara de Weyl positiva.
- ρ es el vector de Weyl : la mitad de la suma de las raíces positivas; este es un elemento especial de P + en el interior de la cámara Weyl positiva.
- F es un campo de característica 0, generalmente los números racionales.
- A = F ( P ) es el álgebra de grupo de P , con una base de elementos escritos e λ para λ ∈ P .
- Si f = e λ , entonces f significa e −λ , y esto se extiende por linealidad a todo el álgebra de grupos.
- m μ = Σ λ ∈ W μ e λ es una suma de órbitas; estos elementos forman una base para el subálgebra A W de elementos fijados por W .
- , el símbolo infinito q-Pochhammer .
- es el producto interno de dos elementos de A , al menos cuando t es una potencia entera positiva de q .
Los polinomios de Macdonald P λ para λ ∈ P + están definidos de forma única por las siguientes dos condiciones:
- donde u λμ es una función racional de q y t con u λλ = 1;
- P λ y P μ son ortogonales si λ <μ.
En otras palabras, los polinomios Macdonald se obtienen mediante la ortogonalización de la base obvia para A W . La existencia de polinomios con estas propiedades es fácil de mostrar (para cualquier producto interno). Una propiedad clave de los polinomios de Macdonald es que son ortogonales : 〈P λ , P μ〉 = 0 siempre que λ ≠ μ. Esta no es una consecuencia trivial de la definición porque P + no está totalmente ordenado y, por lo tanto, tiene muchos elementos que son incomparables. Por tanto, hay que comprobar que los polinomios correspondientes siguen siendo ortogonales. La ortogonalidad se puede demostrar mostrando que los polinomios de Macdonald son vectores propios para un álgebra de operadores autoadjuntos conmutados con espacios propios unidimensionales, y utilizando el hecho de que los espacios propios para diferentes valores propios deben ser ortogonales.
En el caso de sistemas de raíces que no son simplemente entrelazados (B, C, F, G), el parámetro t puede elegirse para variar con la longitud de la raíz, dando una familia de tres parámetros de polinomios de Macdonald. También se puede extender la definición al sistema de raíces no reducido BC, en cuyo caso se obtiene una familia de seis parámetros (una t por cada órbita de raíces, más q ) conocida como polinomios de Koornwinder . A veces es mejor considerar que los polinomios de Macdonald dependen de un sistema de raíces afines posiblemente no reducido. En este caso, hay un parámetro t asociado a cada órbita de raíces en el sistema de raíces afines, más un parámetro q . El número de órbitas de las raíces puede variar de 1 a 5.
Ejemplos de
- Si q = t los polinomios Macdonald se convierten en los caracteres Weyl de las representaciones del grupo compacto del sistema de raíces, o las funciones de Schur en el caso de los sistemas de raíces de tipo A .
- Si q polinomios = 0 El Macdonald se convierten en los (reajustarán) funciones esféricas zonales para un semisimple p grupo -adic, o los polinomios de Hall-Littlewood cuando el sistema de raíz tiene tipo A .
- Si t = 1 los polinomios Macdonald se convierten en las sumas sobre W órbitas, que son las funciones simétricas monomios cuando el sistema de raíz tiene tipo A .
- Si ponemos t = q α y dejamos que q tienda a 1, los polinomios de Macdonald se convierten en polinomios de Jack cuando el sistema de raíces es de tipo A , y polinomios de Heckman-Opdam para sistemas de raíces más generales.
- Para el sistema de raíces afines A 1 , los polinomios de Macdonald son los polinomios de Rogers .
- Para el sistema de raíces afines de rango 1 no reducido de tipo ( C∨
1, C 1 ), los polinomios de Macdonald son los polinomios de Askey-Wilson , que a su vez incluyen como casos especiales la mayoría de las familias nombradas de polinomios ortogonales en 1 variable. - Para el sistema radicular afín no reducido de tipo ( C∨
n, C n ), los polinomios de Macdonald son los polinomios de Koornwinder .
La conjetura del término constante de Macdonald
Si t = q k para algún entero positivo k , entonces la norma de los polinomios de Macdonald viene dada por
Esto fue conjeturado por Macdonald (1982) como una generalización de la conjetura de Dyson , y Cherednik (1995) demostró para todos los sistemas de raíces (reducidos) usando propiedades de álgebras de Hecke doble afines . La conjetura había sido previamente probada caso por caso para todos los sistemas radiculares excepto los del tipo E n por varios autores.
Hay otras dos conjeturas que, junto con la conjetura de la norma, se denominan colectivamente conjeturas de Macdonald en este contexto: además de la fórmula de la norma, Macdonald conjeturó una fórmula para el valor de P λ en el punto t ρ , y una simetría
Una vez más, Cherednik ( 1995 ) demostró estos valores para sistemas de raíces reducidos generales , utilizando álgebras de Hecke afines dobles , y la extensión al caso BC siguió poco después a través del trabajo de van Diejen, Noumi y Sahi.
La conjetura de la positividad de Macdonald
En el caso de las raíces de los sistemas de tipo A n -1 los polinomios Macdonald son polinomios simplemente simétricas en n variables con coeficientes que son funciones racionales de q y t . Una cierta versión transformadade los polinomios de Macdonald (ver la fórmula combinatoria a continuación) forman una base ortogonal del espacio de funciones simétricas sobre, y por lo tanto se puede expresar en términos de funciones de Schur . Los coeficientes K λμ ( q , t ) de estas relaciones se denominan coeficientes de Kostka-Macdonald o coeficientes qt -Kostka . Macdonald conjeturó que los coeficientes Kostka-Macdonald eran polinomios en q y t con coeficientes enteros no negativos. Estas conjeturas están ahora probadas; el paso más difícil y final fue probar la positividad, que fue realizada por Mark Haiman (2001), al probar la n ! conjetura .
Todavía es un problema central abierto en la combinatoria algebraica encontrar una fórmula combinatoria para los coeficientes qt- Kostka.
¡norte! conjetura
¡La n ! La conjetura de Adriano Garsia y Mark Haiman establece que para cada partición μ de n el espacio
abarcado por todas las derivadas parciales superiores de
tiene dimensión n !, donde ( p j , q j ) recorre los n elementos del diagrama de la partición μ, considerada como un subconjunto de los pares de enteros no negativos. Por ejemplo, si μ es la partición 3 = 2 + 1 de n = 3, entonces los pares ( p j , q j ) son (0, 0), (0, 1), (1, 0) y el espacio D μ está dividido por
que tiene dimensión 6 = 3 !.
La prueba de Haiman de la conjetura de positividad de Macdonald y la n ! La conjetura implicaba mostrar que el esquema de Hilbert isospectral de n puntos en un plano era Cohen-Macaulay (e incluso Gorenstein ). Los resultados anteriores de Haiman y Garsia ya habían demostrado que esto implicaba la n ! conjetura, y que el n ! La conjetura implicaba que los coeficientes de Kostka-Macdonald eran multiplicidades de caracteres graduados para los módulos D μ . Esto implica inmediatamente la conjetura de positividad de Macdonald porque las multiplicidades de caracteres deben ser enteros no negativos.
Ian Grojnowski y Mark Haiman encontraron otra prueba de la conjetura de positividad de Macdonald al demostrar una conjetura de positividad para polinomios LLT .
Fórmula combinatoria para los polinomios de Macdonald
En 2005, J. Haglund, M. Haiman y N. Loehr [1] dieron la primera prueba de una interpretación combinatoria de los polinomios de Macdonald. Si bien es muy útil para el cálculo e interesante por derecho propio, esta fórmula combinatoria no implica de inmediato la positividad de los coeficientes de Kostka-Macdonald ya que da la descomposición de los polinomios de Macdonald en funciones simétricas monomiales en lugar de funciones de Schur.
La fórmula, que involucra los polinomios de Macdonald transformados en lugar de lo habitual , se da como
donde σ es un relleno del diagrama de Young de forma μ, inv y maj son ciertas estadísticas combinatorias (funciones) definidas en el relleno σ. Esta fórmula expresa los polinomios de Macdonald en infinitas variables. Para obtener los polinomios en n variables, simplemente restrinja la fórmula a rellenos que solo usen los números enteros 1, 2, ..., n . El término x σ debe interpretarse comodonde σ i es el número de casillas en el llenado de μ con contenido i .
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/c/cf/ArmLeg.jpg)
Los polinomios de Macdonald transformados en la fórmula anterior están relacionados con los polinomios clásicos de Macdonald a través de una secuencia de transformaciones. Primero, la forma integral de los polinomios de Macdonald, denotada, es un cambio de escala de que borra los denominadores de los coeficientes:
dónde es la colección de cuadrados en el diagrama de Young de , y y denotar el brazo y la pierna del cuadrado, como se muestra en la figura. Nota: La figura de la derecha usa la notación francesa para tableau, que está invertida verticalmente de la notación en inglés usada en la página de Wikipedia para diagramas de Young. La notación francesa se usa más comúnmente en el estudio de polinomios de Macdonald.
Los polinomios de Macdonald transformados luego puede definirse en términos de la 's. Tenemos
dónde
La notación de corchetes anterior denota sustitución pletística .
Esta fórmula se puede utilizar para probar la fórmula de Knop y Sahi para los polinomios de Jack .
Polinomios de Macdonald no simétricos
En 1995, Macdonald introdujo un análogo no simétrico de los polinomios simétricos de Macdonald, y los polinomios simétricos de Macdonald se pueden recuperar fácilmente de la contraparte no simétrica. En su definición original, muestra que los polinomios de Macdonald no simétricos son una familia única de polinomios ortogonales a un determinado producto interno, además de satisfacer una propiedad de triangularidad cuando se expanden en la base monomial.
En 2007, Haglund, Haiman y Loehr dieron una fórmula combinatoria para los polinomios no simétricos de Macdonald.
Los polinomios de Macdonald no simétricos se especializan en caracteres Demazure tomando q = t = 0, y en polinomios clave cuando q = t = ∞.
Fórmulas combinatorias basadas en el proceso de exclusión
En 2018, S. Corteel , O. Mandelshtam y L. Williams utilizaron el proceso de exclusión para dar una caracterización combinatoria directa de polinomios de Macdonald simétricos y no simétricos. [2] Sus resultados difieren del trabajo anterior de Haglund en parte porque dan una fórmula directamente para los polinomios de Macdonald en lugar de una transformación de los mismos. Desarrollan el concepto de cola multilínea, que es una matriz que contiene bolas o celdas vacías junto con un mapeo entre las bolas y sus vecinas y un mecanismo de etiquetado combinatorio. El polinomio asimétrico de Macdonald entonces satisface:
donde la suma está por encima de todo colas multilínea de tipo y es una función de ponderación que asigna esas colas a polinomios específicos. El polinomio simétrico de Macdonald satisface:
donde la suma externa está sobre todas las composiciones distintas que son permutaciones de , y la suma interna es como antes.
Referencias
- ↑ Haglund, J .; Haiman, M .; Loehr, N. (2005), "Una fórmula combinatoria para polinomios de Macdonald", Journal of the American Mathematical Society , 18 (3): 735–761, doi : 10.1090 / S0894-0347-05-00485-6 , ISSN 0894- 0347 , MR 2138143
- ^ Corteel, Sylvie; Mandelshtam, Olya; Williams, Lauren (2018), "De las colas de varias líneas a los polinomios de Macdonald mediante el proceso de exclusión", arXiv : 1811.01024 [ math.CO ]
Bibliografía
- Cherednik, Ivan (1995), "Double Affine Hecke Algebras and Macdonald's Conjectures", Annals of Mathematics , Segunda serie, Annals of Mathematics, 141 (1): 191-216, doi : 10.2307 / 2118632 , ISSN 0003-486X , JSTOR 2118632
- Garsia, Adriano; Remmel, Jeffrey B. (15 de marzo de 2005), " Avances en la teoría de los polinomios de Macdonald ", PNAS , 102 (11): 3891–3894, Bibcode : 2005PNAS..102.3891G , doi : 10.1073 / pnas.0409705102 , PMC 554818 , PMID 15753285
- Mark Haiman Combinatoria, funciones simétricas y esquemas de Hilbert Current Developments in Mathematics 2002, no. 1 (2002), 39-111.
- Haiman, Mark Notes sobre polinomios de Macdonald y la geometría de los esquemas de Hilbert. Funciones simétricas 2001: estudios de desarrollos y perspectivas, 1–64, NATO Sci. Ser. II Matemáticas. Phys. Chem., 74, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 2002. MR2059359
- Haiman, Mark (2001), " Esquemas de Hilbert, polígrafos y la conjetura de positividad de Macdonald ", J. Amer. Matemáticas. Soc. , 14 (4): 941–1006, arXiv : math.AG/0010246 , doi : 10.1090 / S0894-0347-01-00373-3 , S2CID 9253880
- Kirillov, AA (1997), "Conferencias sobre álgebras afines de Hecke y conjeturas de Macdonald" , Bull. Amer. Matemáticas. Soc. , 34 (3): 251–292, doi : 10.1090 / S0273-0979-97-00727-1
- Macdonald, IG (1982), "Algunas conjeturas para sistemas de raíces", SIAM Journal on Mathematical Analysis , 13 (6): 988–1007, doi : 10.1137 / 0513070 , ISSN 0036-1410 , MR 0674768
- Macdonald, IG Funciones simétricas y polinomios de Hall. Segunda edicion. Monografías matemáticas de Oxford. Publicaciones científicas de Oxford. The Clarendon Press, Oxford University Press, Nueva York, 1995. x + 475 págs. ISBN 0-19-853489-2 SEÑOR1354144
- Macdonald, IG Funciones simétricas y polinomios ortogonales. Dean Jacqueline B. Lewis Conferencias en memoria presentadas en la Universidad de Rutgers, New Brunswick, Nueva Jersey. Serie de conferencias universitarias, 12. American Mathematical Society, Providence, RI, 1998. xvi + 53 pp. ISBN 0-8218-0770-6 SEÑOR1488699
- Macdonald, IG Álgebras afines de Hecke y polinomios ortogonales. Séminaire Bourbaki 797 (1995).
- Macdonald, IG (2000-2001), "Polinomios ortogonales asociados con sistemas de raíces", Séminaire Lotharingien de Combinatoire , 45 : Art. B45a, arXiv : matemáticas.QA / 0011046 , MR 1817334
- Macdonald, IG (2003), Álgebras de Affine Hecke y polinomios ortogonales , Cambridge Tracts in Mathematics, 157 , Cambridge: Cambridge University Press, págs. X + 175, doi : 10.2277 / 0521824729 , ISBN 978-0-521-82472-9, MR 1976581
enlaces externos
- La página de Mike Zabrocki sobre polinomios de Macdonald .
- Algunos de los artículos de Haiman sobre polinomios de Macdonald.