En geometría , el seno polar generaliza la función seno del ángulo al ángulo del vértice de un politopo . Se denota por psin .
n vectores en el espacio n -dimensional
Las interpretaciones de volúmenes
3d para la
izquierda: un
paralelepípedo (Ω en la definición del seno polar) y la
derecha: un
cuboide (Π en la definición). La interpretación es similar en dimensiones superiores.
Sean v 1 , ..., v n , para n ≥ 2, vectores euclidianos distintos de cero en el espacio n -dimensional (ℝ n ) que se dirigen desde un vértice de un paraleloótopo , formando las aristas del paraleloótopo. El seno polar del ángulo del vértice es:
donde el numerador es el determinante
igual a la hiper volumen de la paralelotopo con bordes vector [1]
y en el denominador el producto de n veces
de las magnitudes || v i || de los vectores es igual al hipervolumen del hiperrectángulo n - dimensional , con aristas iguales a las magnitudes de los vectores || v 1 ||, || v 2 ||, ... || v n || (no los propios vectores). También vea Ericksson. [2]
El paralelootopo es como un "hiperrectángulo aplastado", por lo que tiene menos hipervolumen que el hiperrectángulo, lo que significa (ver imagen para el caso 3d):
y dado que esta razón puede ser negativa, psin siempre está acotada entre -1 y +1 por las desigualdades :
en cuanto al seno ordinario, con cualquiera de los límites solo se alcanza en caso de que todos los vectores sean mutuamente ortogonales .
En el caso de n = 2, el seno polar es el seno ordinario del ángulo entre los dos vectores.
n vectores en elespacio m -dimensional para m ≥ n
Existe una versión no negativa del seno polar, que funciona en cualquier espacio m -dimensional para m ≥ n . En este caso, el numerador en la definición se da como
donde el superíndice T indica la transposición de la matriz . En el caso de que m = n , el valor de Ω para esta definición no negativa del seno polar es el valor absoluto del Ω de la versión con signo del seno polar dado anteriormente.
Intercambio de vectores
Si la dimensión del espacio es mayor que n, entonces el seno polar no es negativo y no cambia cuando se intercambian dos de los vectores v j y v k . De lo contrario, cambia de signo cada vez que se intercambian dos vectores, debido a la antisimetría del intercambio de filas en el determinante:
El seno polar no cambia si todos los vectores v 1 , ..., v n se multiplican por constantes positivas c i , debido a la factorización :
Si un número impar de estas constantes es negativo, entonces el signo del seno polar cambiará; sin embargo, su valor absoluto permanecerá sin cambios.
Desaparece con dependencias lineales
Si los vectores no son linealmente independientes , el seno polar será cero. Esto siempre será así en el caso degenerado en que el número de dimensiones m sea estrictamente menor que el número de vectores n .
Relación con los cosenos por pares
El coseno del ángulo entre dos vectores distintos de cero está dado por
utilizando el producto escalar vectorial . La comparación de esta expresión con la definición del valor absoluto del seno polar como se indica arriba da:
En particular, para n = 2 , esto es equivalente a
que es el teorema de Pitágoras .
Los senos polares fueron investigados por Euler en el siglo XVIII. [3]