En la teoría de grupos , la restricción forma una representación de un subgrupo utilizando una representación conocida de todo el grupo . La restricción es una construcción fundamental en la teoría de la representación de grupos. A menudo, la representación restringida es más sencilla de entender. Las reglas para descomponer la restricción de una representación irreductible en representaciones irreductibles del subgrupo se denominan reglas de ramificación y tienen aplicaciones importantes en física . Por ejemplo, en caso de ruptura explícita de la simetría , el grupo de simetría del problema se reduce de todo el grupo a uno de sus subgrupos. EnEn la mecánica cuántica , esta reducción en la simetría aparece como una división de niveles de energía degenerados en multipletes , como en el efecto Stark o Zeeman .
La representación inducida es una operación relacionada que forma una representación de todo el grupo a partir de una representación de un subgrupo. La relación entre restricción e inducción se describe mediante la reciprocidad de Frobenius y el teorema de Mackey. La restricción a un subgrupo normal se comporta particularmente bien y a menudo se le llama teoría de Clifford por el teorema de AH Clifford. [1] La restricción se puede generalizar a otros homomorfismos de grupo y a otros anillos .
Para cualquier grupo G , su subgrupo H , y una representación lineal ρ de G , la restricción de ρ a H , denotada
Las reglas de ramificación clásicas describen la restricción de una representación compleja irreductible ( π , V ) de un grupo clásico G a un subgrupo clásico H , es decir, la multiplicidad con la que se produce una representación irreducible ( σ , W ) de H en π . Por reciprocidad de Frobenius para grupos compactos , esto equivale a encontrar la multiplicidad de π en la representación unitaria inducida por σ. Las reglas de ramificación para los grupos clásicos fueron determinadas por
Los resultados generalmente se expresan gráficamente usando diagramas de Young para codificar las firmas usadas clásicamente para etiquetar representaciones irreducibles, familiares de la teoría invariante clásica . Hermann Weyl y Richard Brauer descubrieron un método sistemático para determinar la regla de ramificación cuando los grupos G y H comparten un toro máximo común : en este caso, el grupo Weyl de H es un subgrupo del de G , por lo que la regla se puede deducir de la fórmula del carácter de Weyl . [2] [3]Howe (1995) ha dado una interpretación moderna sistemática en el contexto de su teoría de los pares duales . El caso especial donde σ es la representación trivial de H fue utilizado por primera vez ampliamente por Hua en su trabajo sobre los núcleos Szegő de dominios simétricos acotados en varias variables complejas , donde el límite de Shilov tiene la forma G / H. [4] [5] De manera más general, el teorema de Cartan-Helgason da la descomposición cuando G / Hes un espacio simétrico compacto, en cuyo caso todas las multiplicidades son una; [6] Desde entonces, Kostant (2004) ha obtenido una generalización a σ arbitraria . Knapp (2005) también ha utilizado consideraciones geométricas similares para derivar las reglas de Littlewood, que involucran las famosas reglas de Littlewood-Richardson para tensar representaciones irreductibles de los grupos unitarios. Littelmann (1995) ha encontrado generalizaciones de estas reglas a grupos de Lie compactos arbitrarios semisimplejos, utilizando su modelo de trayectoria , un enfoque de la teoría de la representación cercano en espíritu a la teoría de las bases cristalinas de Lusztig y Kashiwara .. Sus métodos producen reglas de ramificación para restricciones a subgrupos que contienen un toro máximo. El estudio de las reglas de ramificación es importante en la teoría invariante clásica y su contraparte moderna, la combinatoria algebraica . [7] [8]
donde f i son números enteros. De hecho, si una matriz unitaria U tiene valores propios z i , entonces el carácter de la representación irreducible correspondiente π f viene dado por