Leyes de Kepler del movimiento planetario

Leyes científicas que describen el movimiento de los planetas alrededor del Sol.

Para un enfoque histórico más preciso, véanse en particular los artículos Astronomia nova y Epitome Astronomiae Copernicanae .

Figura 1: Ilustración de las tres leyes de Kepler con dos órbitas planetarias.

1. Las órbitas son elipses, con puntos focales F ₁ y F ₂ para el primer planeta y F ₁ y F ₃ para el segundo planeta. El Sol se coloca en el punto focal F ₁ .
2. Los dos sectores sombreados A ₁ y A ₂ tienen la misma superficie y el tiempo que tarda el planeta 1 en cubrir el segmento A ₁ es igual al tiempo que tarda en cubrir el segmento A ₂ .
3. Los tiempos totales de órbita para el planeta 1 y el planeta 2 tienen una proporción .${\textstyle \left({\frac {a_{1}}{a_{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}}$

Parte de una serie sobre
Astrodinámica
Mecánica orbital
Elementos orbitales Ápside Argumento de periapsis Excentricidad Inclinación Anomalía media Ganglios orbitarios Semieje mayor Verdadera anomalía
Tipos de órbitas de dos cuerpos , por excentricidad Órbita circular Órbita elíptica Transferencia de órbita ( Órbita de transferencia de Hohmann Órbita de transferencia bielíptica ) Órbita parabólica Órbita hiperbólica Órbita radial Órbita decadente
Ecuaciones Fricción dinámica Velocidad de escape Ecuación de Kepler Leyes de Kepler del movimiento planetario Periodo orbital Velocidad orbital Gravedad superficial Energía orbital específica Ecuación vis-viva
Mecánica celeste
Influencias gravitacionales Baricentro Esfera de la colina Perturbaciones Esfera de influencia
Órbitas de N cuerpos Puntos lagrangianos ( Órbitas de halo ) Órbitas de Lissajous Órbitas de Lyapunov
Ingeniería y eficiencia
Ingeniería previa al vuelo Relación de masa Fracción de carga útil Fracción de masa de propulsor Ecuación del cohete Tsiolkovsky
Medidas de eficiencia Asistencia de gravedad Efecto Oberth
v t mi

En astronomía , las leyes del movimiento planetario de Kepler , publicadas por Johannes Kepler entre 1609 y 1619, describen las órbitas de los planetas alrededor del Sol . Las leyes modificaron la teoría heliocéntrica de Nicolás Copérnico , reemplazando sus órbitas circulares y epiciclos con trayectorias elípticas y explicando cómo varían las velocidades planetarias. Las tres leyes establecen que:

1. La órbita de un planeta es una elipse con el Sol en uno de los dos focos.
2. Un segmento de línea que une un planeta y el Sol barre áreas iguales durante intervalos de tiempo iguales.
3. El cuadrado del período orbital de un planeta es proporcional al cubo de la longitud del semieje mayor de su órbita.

Las órbitas elípticas de los planetas se indicaron mediante cálculos de la órbita de Marte . A partir de esto, Kepler infirió que otros cuerpos del Sistema Solar , incluidos los más alejados del Sol, también tienen órbitas elípticas. La segunda ley ayuda a establecer que cuando un planeta está más cerca del Sol, viaja más rápido. La tercera ley expresa que cuanto más lejos está un planeta del Sol, más lenta es su velocidad orbital y viceversa.

Isaac Newton demostró en 1687 que relaciones como la de Kepler se aplicarían en el Sistema Solar como consecuencia de sus propias leyes de movimiento y la ley de gravitación universal .

Comparación con Copérnico

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Las leyes de Johannes Kepler mejoraron el modelo de Copérnico. Si las excentricidades de las órbitas planetarias se toman como cero, entonces Kepler básicamente estuvo de acuerdo con Copérnico:

1. La órbita planetaria es un círculo con epiciclos.
2. El Sol está aproximadamente en el centro de la órbita.
3. La velocidad del planeta en la órbita principal es constante.

Las excentricidades de las órbitas de esos planetas conocidos por Copérnico y Kepler son pequeñas, por lo que las reglas anteriores dan aproximaciones justas del movimiento planetario, pero las leyes de Kepler se ajustan a las observaciones mejor que el modelo propuesto por Copérnico. Las correcciones de Kepler son:

1. La órbita planetaria no es un círculo con epiciclos, sino una elipse .
2. El Sol no está cerca del centro sino en un punto focal de la órbita elíptica.
3. Ni la velocidad lineal ni la velocidad angular del planeta en la órbita son constantes, pero la velocidad del área (estrechamente vinculada históricamente con el concepto de momento angular ) es constante.

La excentricidad de la órbita de la Tierra hace que el tiempo desde el equinoccio de marzo al equinoccio de septiembre , alrededor de 186 días, sea desigual al tiempo desde el equinoccio de septiembre al equinoccio de marzo, alrededor de 179 días. Un diámetro cortaría la órbita en partes iguales, pero el plano a través del Sol paralelo al ecuador de la Tierra corta la órbita en dos partes con áreas en una proporción de 186 a 179, por lo que la excentricidad de la órbita de la Tierra es aproximadamente

${\displaystyle e\approx {\frac {\pi }{4}}{\frac {186-179}{186+179}}\approx 0.015,}$

que está cerca del valor correcto (0.016710218). La precisión de este cálculo requiere que las dos fechas elegidas estén a lo largo del eje menor de la órbita elíptica y los puntos medios de cada mitad estén a lo largo del eje mayor. Como las dos fechas elegidas aquí son equinoccios, esto será correcto cuando el perihelio , la fecha en la que la Tierra está más cerca del Sol, cae en un solsticio . El perihelio actual, cerca del 4 de enero, está bastante cerca del solsticio del 21 o 22 de diciembre.

Nomenclatura

Se necesitaron casi dos siglos para que la formulación actual del trabajo de Kepler tomara su forma establecida. Los Eléments de la philosophie de Newton ( Elementos de la filosofía de Newton ) de Voltaire de 1738 fue la primera publicación en utilizar la terminología de "leyes". ^{[1] [2]} La Enciclopedia Biográfica de Astrónomos en su artículo sobre Kepler (p. 620) afirma que la terminología de las leyes científicas para estos descubrimientos era actual al menos desde la época de Joseph de Lalande . ^[3] Fue la exposición de Robert Small , en Un relato de los descubrimientos astronómicos de Kepler(1814) que componía el conjunto de tres leyes, añadiendo la tercera. ^[4] Small también afirmó, contra la historia, que se trataba de leyes empíricas , basadas en el razonamiento inductivo . ^{[2] [5]}

Además, el uso actual de la "Segunda Ley de Kepler" es un nombre poco apropiado. Kepler tenía dos versiones, relacionadas en un sentido cualitativo: la "ley de la distancia" y la "ley del área". La "ley del área" es lo que se convirtió en la Segunda Ley en el conjunto de tres; pero el mismo Kepler no lo privilegió de esa manera. ^[6]

Historia

Kepler publicó sus dos primeras leyes sobre el movimiento planetario en 1609, ^[7] después de haberlas encontrado analizando las observaciones astronómicas de Tycho Brahe . ^{[8] [9] [10]} La tercera ley de Kepler fue publicada en 1619. ^{[11] [9]} Kepler había creído en el modelo copernicano del Sistema Solar, que requería órbitas circulares, pero no pudo reconciliar las observaciones altamente precisas de Brahe. con un ajuste circular a la órbita de Marte - Marte casualmente tiene la excentricidad más alta de todos los planetas excepto Mercurio. ^[12] Su primera ley reflejó este descubrimiento.

En 1621, Kepler notó que su tercera ley se aplica a las cuatro lunas más brillantes de Júpiter . ^{[Nb 1]} Godefroy Wendelin también hizo esta observación en 1643. ^{[Nb 2]} La segunda ley, en la forma de "ley de área", fue impugnada por Nicolaus Mercator en un libro de 1664, pero en 1670 sus Philosophical Transactions estaban a su favor. . ^{[13] [14]} A medida que avanzaba el siglo, se hizo más aceptado. ^[15] La recepción en Alemania cambió notablemente entre 1688, año en el que se publicaron los Principia de Newton y se consideró básicamente copernicano, y 1690, momento en el que el trabajo deSe había publicado Gottfried Leibniz sobre Kepler. ^[dieciséis]

A Newton se le atribuyó la comprensión de que la segunda ley no es especial de la ley de la gravitación del inverso del cuadrado, ya que es una consecuencia justamente de la naturaleza radial de esa ley; mientras que las otras leyes dependen de la forma del cuadrado inverso de la atracción. Carl Runge y Wilhelm Lenz identificaron mucho más tarde un principio de simetría en el espacio de fase del movimiento planetario (el grupo ortogonal O (4) actuando) que explica la primera y tercera leyes en el caso de la gravitación newtoniana, como lo hace la conservación del momento angular a través de simetría rotacional para la segunda ley. ^[17]

Formulario

El modelo matemático de la cinemática de un planeta sujeto a las leyes permite una amplia gama de cálculos adicionales.

Primera ley

La órbita de cada planeta es una elipse con el Sol en uno de los dos focos .

Figura 2: Primera ley de Kepler que coloca al Sol en el foco de una órbita elíptica

Figura 4: Sistema de coordenadas heliocéntrico ( r , θ ) para elipse. También se muestran: semi-eje mayor a , semi-eje menor by semi-latus recto p ; centro de la elipse y sus dos focos marcados por puntos grandes. Para θ = 0 ° , r = r _min y para θ = 180 ° , r = r _max . 

Matemáticamente, una elipse se puede representar mediante la fórmula:

${\displaystyle r={\frac {p}{1+\varepsilon \,\cos \theta }},}$

donde está el recto semi-latus , ε es la excentricidad de la elipse, r es la distancia del Sol al planeta y θ es el ángulo a la posición actual del planeta desde su aproximación más cercana, visto desde el Sol. Entonces ( r ,  θ ) son coordenadas polares .${\displaystyle p}$

Para una elipse 0 <  ε  <1; en el caso límite ε = 0, la órbita es un círculo con el Sol en el centro (es decir, donde no hay excentricidad cero).

En θ = 0 °, perihelio , la distancia es mínima

${\displaystyle r_{\min }={\frac {p}{1+\varepsilon }}}$

En θ = 90 ° y en θ = 270 ° la distancia es igual a .${\displaystyle p}$

En θ = 180 °, afelio , la distancia es máxima (por definición, afelio es, invariablemente, perihelio más 180 °)

${\displaystyle r_{\max }={\frac {p}{1-\varepsilon }}}$

El semieje mayor a es la media aritmética entre r _min y r _max :

${\displaystyle {\begin{aligned}r_{\max }-a&=a-r_{\min }\\[3pt]a&={\frac {p}{1-\varepsilon ^{2}}}\end{aligned}}}$

El eje semi-menor b es la media geométrica entre r _min y r _max :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {r_{\max }}{b}}&={\frac {b}{r_{\min }}}\\[3pt]b&={\frac {p}{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}}\end{aligned}}}$

El recto semilato p es la media armónica entre r _min y r _max :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{r_{\min }}}-{\frac {1}{p}}&={\frac {1}{p}}-{\frac {1}{r_{\max }}}\\[3pt]pa&=r_{\max }r_{\min }=b^{2}\,\end{aligned}}}$

La excentricidad ε es el coeficiente de variación entre r _min y r _max :

${\displaystyle \varepsilon ={\frac {r_{\max }-r_{\min }}{r_{\max }+r_{\min }}}.}$

El área de la elipse es

${\displaystyle A=\pi ab\,.}$

El caso especial de un círculo es ε = 0, lo que resulta en r = p = r _min = r _max = un = b y A = πr ² .

Segunda ley

Una línea que une un planeta y el Sol barre áreas iguales durante intervalos de tiempo iguales. ^[18]

La misma área (azul) se barre en un período de tiempo fijo. La flecha verde es la velocidad. La flecha violeta dirigida hacia el Sol es la aceleración. Las otras dos flechas violetas son componentes de aceleración paralelos y perpendiculares a la velocidad.

El radio orbital y la velocidad angular del planeta en la órbita elíptica variarán. Esto se muestra en la animación: el planeta viaja más rápido cuando está más cerca del Sol, luego más lento cuando está más lejos del Sol. La segunda ley de Kepler establece que el sector azul tiene un área constante.

En poco tiempo, el planeta barre un pequeño triángulo que tiene una línea de base, una altura y un área , por lo que la velocidad de área constante es${\displaystyle dt\,}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r\,d\theta }$${\displaystyle dA={\frac {1}{2}}\cdot r\cdot r\,d\theta }$${\displaystyle {\frac {dA}{dt}}={\frac {r^{2}}{2}}{\frac {d\theta }{dt}}.}$

El área encerrada por la órbita elíptica es Entonces el período satisface${\displaystyle \pi ab.\,}$${\displaystyle P}$

${\displaystyle P\cdot {\frac {r^{2}}{2}}{\frac {d\theta }{dt}}=\pi ab}$

y el movimiento medio del planeta alrededor del Sol

${\displaystyle n={\frac {2\pi }{P}}}$

satisface

${\displaystyle r^{2}\,d\theta =abn\,dt.}$

Tercera ley

La razón del cuadrado del período orbital de un objeto con el cubo del semieje mayor de su órbita es la misma para todos los objetos que orbitan el mismo primario.

Esto captura la relación entre la distancia de los planetas al Sol y sus períodos orbitales.

Kepler enunció en 1619 ^[11] esta tercera ley en un laborioso intento de determinar lo que él veía como la " música de las esferas " de acuerdo con leyes precisas, y expresarlo en términos de notación musical. ^[19] Por lo tanto, se conocía como la ley armónica . ^[20]

Usando la ley de gravitación de Newton (publicada en 1687), esta relación se puede encontrar en el caso de una órbita circular estableciendo la fuerza centrípeta igual a la fuerza gravitacional:

${\displaystyle mr\omega ^{2}=G{\frac {mM}{r^{2}}}}$

Luego, expresando la velocidad angular en términos del período orbital y luego reordenando, encontramos la Tercera Ley de Kepler:

${\displaystyle mr\left({\frac {2\pi }{T}}\right)^{2}=G{\frac {mM}{r^{2}}}\rightarrow T^{2}=\left({\frac {4\pi ^{2}}{GM}}\right)r^{3}\rightarrow T^{2}\propto r^{3}}$

Se puede hacer una derivación más detallada con órbitas elípticas generales, en lugar de círculos, así como orbitando el centro de masa, en lugar de solo la gran masa. Esto da como resultado la sustitución de un radio circular , con el semieje mayor , del movimiento relativo elíptico de una masa con respecto a la otra, así como la sustitución de la masa grande por . Sin embargo, dado que las masas de los planetas son mucho más pequeñas que el Sol, esta corrección a menudo se ignora. La fórmula correspondiente completa es:${\displaystyle r}$${\displaystyle a}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M+m}$

${\displaystyle {\frac {a^{3}}{T^{2}}}={\frac {G(M+m)}{4\pi ^{2}}}\approx {\frac {GM}{4\pi ^{2}}}\approx 7.496\cdot 10^{-6}\left({\frac {{\text{AU}}^{3}}{{\text{days}}^{2}}}\right){\text{ is constant}}}$

donde es la masa del Sol , es la masa del planeta, es la constante gravitacional , es el período orbital y es el eje elíptico semi-mayor, y es la Unidad Astronómica , la distancia promedio de la Tierra al Sol.${\displaystyle M}$${\displaystyle m}$${\displaystyle G}$${\displaystyle T}$${\displaystyle a}$${\displaystyle {\text{AU}}}$

La siguiente tabla muestra los datos utilizados por Kepler para derivar empíricamente su ley:

Datos utilizados por Kepler (1618)

Planeta	Distancia media al sol (AU)	Periodo (días)	${\textstyle {\frac {R^{3}}{T^{2}}}}$ ( 10-6  AU 3 / día 2 )
Mercurio	0.389	87,77	7,64
Venus	0,724	224,70	7.52
tierra	1	365,25	7,50
Marte	1.524	686,95	7,50
Júpiter	5,20	4332.62	7,49
Saturno	9.510	10759.2	7,43

Al encontrar este patrón, Kepler escribió: ^[21]

Primero creí que estaba soñando ... Pero es absolutamente cierto y exacto que la relación que existe entre los períodos de tiempo de dos planetas cualesquiera es precisamente la relación de la potencia 3/2 de la distancia media.

-  traducido de Harmonies of the World por Kepler (1619)

Gráfico logarítmico del período T frente al semieje mayor a (promedio de afelio y perihelio) de algunas órbitas del Sistema Solar (cruces que denotan los valores de Kepler) que muestra que a ³ / T ² es constante (línea verde)

A modo de comparación, aquí hay estimaciones modernas:

Datos modernos (Wolfram Alpha Knowledgebase 2018)

Planeta	Semieje mayor (AU)	Periodo (días)	${\textstyle {\frac {R^{3}}{T^{2}}}}$ ( 10-6  AU 3 / día 2 )
Mercurio	0.38710	87.9693	7.496
Venus	0,72333	224.7008	7.496
tierra	1	365.2564	7.496
Marte	1.52366	686.9796	7.495
Júpiter	5.20336	4332.8201	7.504
Saturno	9.53707	10775.599	7.498
Urano	19.1913	30687.153	7.506
Neptuno	30.0690	60190.03	7.504

Aceleración planetaria

Isaac Newton calculó en su Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica la aceleración de un planeta que se mueve de acuerdo con la primera y segunda ley de Kepler.

1. La dirección de la aceleración es hacia el Sol.
2. La magnitud de la aceleración es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia del planeta al Sol (la ley del cuadrado inverso ).

Esto implica que el Sol puede ser la causa física de la aceleración de los planetas. Sin embargo, Newton afirma en sus Principia que considera las fuerzas desde un punto de vista matemático, no físico, por lo que adopta un punto de vista instrumentalista. ^[22] Además, no asigna una causa a la gravedad. ^[23]

Newton definió la fuerza que actúa sobre un planeta como el producto de su masa y la aceleración (consulte las leyes del movimiento de Newton ). Entonces:

1. Todos los planetas se sienten atraídos por el sol.
2. La fuerza que actúa sobre un planeta es directamente proporcional a la masa del planeta e inversamente proporcional al cuadrado de su distancia al Sol.

El Sol juega un papel asimétrico, lo cual no está justificado. Así que asumió, en la ley de gravitación universal de Newton :

1. Todos los cuerpos del Sistema Solar se atraen entre sí.
2. La fuerza entre dos cuerpos es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellos.

Como los planetas tienen masas pequeñas en comparación con la del Sol, las órbitas se ajustan aproximadamente a las leyes de Kepler. El modelo de Newton mejora el modelo de Kepler y se ajusta a las observaciones reales con mayor precisión. (Ver problema de dos cuerpos ).

A continuación se muestra el cálculo detallado de la aceleración de un planeta que se mueve de acuerdo con la primera y segunda leyes de Kepler.

Vector de aceleración

Ver también: Coordenada polar § Cálculo de vectores y Mecánica del movimiento de partículas planas

Desde el punto de vista heliocéntrico , considere el vector al planeta donde está la distancia al planeta y es un vector unitario que apunta hacia el planeta.${\displaystyle \mathbf {r} =r{\hat {\mathbf {r} }}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$

${\displaystyle {\frac {d{\hat {\mathbf {r} }}}{dt}}={\dot {\hat {\mathbf {r} }}}={\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}},\qquad {\frac {d{\hat {\boldsymbol {\theta }}}}{dt}}={\dot {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}=-{\dot {\theta }}{\hat {\mathbf {r} }}}$

donde es el vector unitario cuya dirección es 90 grados en sentido antihorario de , y es el ángulo polar, y donde un punto encima de la variable significa diferenciación con respecto al tiempo.${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$${\displaystyle \theta }$

Diferenciar el vector de posición dos veces para obtener el vector de velocidad y el vector de aceleración:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {r} }}&={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\dot {\hat {\mathbf {r} }}}={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}},\\{\ddot {\mathbf {r} }}&=\left({\ddot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+{\dot {r}}{\dot {\hat {\mathbf {r} }}}\right)+\left({\dot {r}}{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+r{\ddot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+r{\dot {\theta }}{\dot {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}\right)=\left({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}\right){\hat {\mathbf {r} }}+\left(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}\right){\hat {\boldsymbol {\theta }}}.\end{aligned}}}$

Entonces

${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}=a_{r}{\hat {\boldsymbol {r}}}+a_{\theta }{\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$

donde la aceleración radial es

${\displaystyle a_{r}={\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}}$

y la aceleración transversal es

${\displaystyle a_{\theta }=r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}.}$

Ley del cuadrado inverso

La segunda ley de Kepler dice que

${\displaystyle r^{2}{\dot {\theta }}=nab}$

es constante.

La aceleración transversal es cero:${\displaystyle a_{\theta }}$

${\displaystyle {\frac {d\left(r^{2}{\dot {\theta }}\right)}{dt}}=r\left(2{\dot {r}}{\dot {\theta }}+r{\ddot {\theta }}\right)=ra_{\theta }=0.}$

Entonces, la aceleración de un planeta que obedece la segunda ley de Kepler se dirige hacia el Sol.

La aceleración radial es${\displaystyle a_{\text{r}}}$

${\displaystyle a_{\text{r}}={\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}={\ddot {r}}-r\left({\frac {nab}{r^{2}}}\right)^{2}={\ddot {r}}-{\frac {n^{2}a^{2}b^{2}}{r^{3}}}.}$

La primera ley de Kepler establece que la órbita se describe mediante la ecuación:

${\displaystyle {\frac {p}{r}}=1+\varepsilon \cos(\theta ).}$

Diferenciando respecto al tiempo

${\displaystyle -{\frac {p{\dot {r}}}{r^{2}}}=-\varepsilon \sin(\theta )\,{\dot {\theta }}}$

o

${\displaystyle p{\dot {r}}=nab\,\varepsilon \sin(\theta ).}$

Diferenciando una vez más

${\displaystyle p{\ddot {r}}=nab\varepsilon \cos(\theta )\,{\dot {\theta }}=nab\varepsilon \cos(\theta )\,{\frac {nab}{r^{2}}}={\frac {n^{2}a^{2}b^{2}}{r^{2}}}\varepsilon \cos(\theta ).}$

La aceleración radial satisface${\displaystyle a_{\text{r}}}$

${\displaystyle pa_{\text{r}}={\frac {n^{2}a^{2}b^{2}}{r^{2}}}\varepsilon \cos(\theta )-p{\frac {n^{2}a^{2}b^{2}}{r^{3}}}={\frac {n^{2}a^{2}b^{2}}{r^{2}}}\left(\varepsilon \cos(\theta )-{\frac {p}{r}}\right).}$

Sustituyendo la ecuación de la elipse se obtiene

${\displaystyle pa_{\text{r}}={\frac {n^{2}a^{2}b^{2}}{r^{2}}}\left({\frac {p}{r}}-1-{\frac {p}{r}}\right)=-{\frac {n^{2}a^{2}}{r^{2}}}b^{2}.}$

La relación da el resultado final simple${\displaystyle b^{2}=pa}$

${\displaystyle a_{\text{r}}=-{\frac {n^{2}a^{3}}{r^{2}}}.}$

Esto significa que el vector de aceleración de cualquier planeta que obedezca la primera y segunda ley de Kepler satisface la ley del cuadrado inverso.${\displaystyle \mathbf {\ddot {r}} }$

${\displaystyle \mathbf {\ddot {r}} =-{\frac {\alpha }{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}}$

donde

${\displaystyle \alpha =n^{2}a^{3}\,}$

es una constante, y es el vector unitario que apunta desde el Sol hacia el planeta, y es la distancia entre el planeta y el Sol.${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$${\displaystyle r\,}$

Dado que el movimiento medio donde es el período, según la tercera ley de Kepler, tiene el mismo valor para todos los planetas. Entonces, la ley del cuadrado inverso para las aceleraciones planetarias se aplica en todo el Sistema Solar.${\displaystyle n={\frac {2\pi }{T}}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \alpha }$

La ley del cuadrado inverso es una ecuación diferencial . Las soluciones a esta ecuación diferencial incluyen los movimientos keplerianos, como se muestra, pero también incluyen movimientos donde la órbita es una hipérbola o parábola o una línea recta . (Ver la órbita de Kepler ).

Ley de gravitación de Newton

Según la segunda ley de Newton , la fuerza gravitacional que actúa sobre el planeta es:

${\displaystyle \mathbf {F} =m_{\text{planet}}\mathbf {\ddot {r}} =-m_{\text{planet}}\alpha r^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}}$

donde es la masa del planeta y tiene el mismo valor para todos los planetas del Sistema Solar. Según la tercera ley de Newton , el Sol es atraído hacia el planeta por una fuerza de la misma magnitud. Puesto que la fuerza es proporcional a la masa del planeta, bajo la consideración simétrica, sino que también debe ser proporcional a la masa del Sol, . Entonces${\displaystyle m_{\text{planet}}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle m_{\text{Sun}}}$

${\displaystyle \alpha =Gm_{\text{Sun}}}$

donde es la constante gravitacional .${\displaystyle G}$

La aceleración del cuerpo número i del sistema solar es, según las leyes de Newton:

${\displaystyle \mathbf {\ddot {r}} _{i}=G\sum _{j\neq i}m_{j}r_{ij}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{ij}}$

donde es la masa del cuerpo j , es la distancia entre el cuerpo i y el cuerpo j , es el vector unitario desde el cuerpo i hacia el cuerpo j , y la suma vectorial es sobre todos los cuerpos del Sistema Solar, además del propio i .${\displaystyle m_{j}}$${\displaystyle r_{ij}}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}_{ij}}$

En el caso especial en el que solo hay dos cuerpos en el Sistema Solar, la Tierra y el Sol, la aceleración se vuelve

${\displaystyle \mathbf {\ddot {r}} _{\text{Earth}}=Gm_{\text{Sun}}r_{{\text{Earth}},{\text{Sun}}}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{{\text{Earth}},{\text{Sun}}}}$

que es la aceleración del movimiento de Kepler. Entonces, esta Tierra se mueve alrededor del Sol de acuerdo con las leyes de Kepler.

Si los dos cuerpos del Sistema Solar son la Luna y la Tierra, la aceleración de la Luna se vuelve

${\displaystyle \mathbf {\ddot {r}} _{\text{Moon}}=Gm_{\text{Earth}}r_{{\text{Moon}},{\text{Earth}}}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{{\text{Moon}},{\text{Earth}}}}$

Entonces, en esta aproximación, la Luna se mueve alrededor de la Tierra de acuerdo con las leyes de Kepler.

En el caso de tres cuerpos, las aceleraciones son

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\ddot {r}} _{\text{Sun}}&=Gm_{\text{Earth}}r_{{\text{Sun}},{\text{Earth}}}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{{\text{Sun}},{\text{Earth}}}+Gm_{\text{Moon}}r_{{\text{Sun}},{\text{Moon}}}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{{\text{Sun}},{\text{Moon}}}\\\mathbf {\ddot {r}} _{\text{Earth}}&=Gm_{\text{Sun}}r_{{\text{Earth}},{\text{Sun}}}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{{\text{Earth}},{\text{Sun}}}+Gm_{\text{Moon}}r_{{\text{Earth}},{\text{Moon}}}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{{\text{Earth}},{\text{Moon}}}\\\mathbf {\ddot {r}} _{\text{Moon}}&=Gm_{\text{Sun}}r_{{\text{Moon}},{\text{Sun}}}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{{\text{Moon}},{\text{Sun}}}+Gm_{\text{Earth}}r_{{\text{Moon}},{\text{Earth}}}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{{\text{Moon}},{\text{Earth}}}\end{aligned}}}$

Estas aceleraciones no son las de las órbitas de Kepler y el problema de los tres cuerpos es complicado. Pero la aproximación kepleriana es la base para los cálculos de perturbación . (Ver teoría lunar ).

Posición en función del tiempo

Kepler usó sus dos primeras leyes para calcular la posición de un planeta en función del tiempo. Su método implica la solución de una ecuación trascendental llamada ecuación de Kepler .

El procedimiento para calcular las coordenadas polares heliocéntricas ( r , θ ) de un planeta en función del tiempo t desde el perihelio , consta de los siguientes cinco pasos:

1. Calcule el movimiento medio n  = (2 π radianes) / P , donde P es el período.
2. Calcule la anomalía media M  =  nt , donde t es el tiempo transcurrido desde el peligro.
3. Calcule la anomalía excéntrica E resolviendo la ecuación de Kepler:

   ${\displaystyle M=E-\varepsilon \sin E}$, donde está la excentricidad.${\displaystyle \varepsilon }$

4. Calcule la anomalía verdadera θ resolviendo la ecuación:

   ${\displaystyle (1-\varepsilon )\tan ^{2}{\frac {\theta }{2}}=(1+\varepsilon )\tan ^{2}{\frac {E}{2}}}$

5. Calcule la distancia heliocéntrica r :

   ${\displaystyle r=a(1-\varepsilon \cos E)}$, donde es el semieje mayor.${\displaystyle a}$

El vector de velocidad cartesiano se puede calcular como , donde es el parámetro gravitacional estándar . ^[24]${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {\sqrt {\mu a}}{r}}\left\langle -\sin {E},{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}\cos {E}\right\rangle }$${\displaystyle \mu }$

El caso especial importante de la órbita circular, ε  = 0, da θ  =  E  =  H . Debido a que el movimiento circular uniforme se consideró normal , una desviación de este movimiento se consideró una anomalía .

La prueba de este procedimiento se muestra a continuación.

Anomalía media, M

Artículo principal: anomalía media

Figura 5: Construcción geométrica para el cálculo de θ de Kepler. El Sol (que se encuentra en el foco) se etiqueta S y el planeta P . El círculo auxiliar es una ayuda para el cálculo. Line xd es perpendicular a la base y a través del planeta P . Los sectores sombreados están dispuestos para tener áreas iguales mediante el posicionamiento del punto y .

El problema keplerio asume una órbita elíptica y los cuatro puntos:

s el Sol (en un foco de la elipse);

z el perihelio

c el centro de la elipse

p el planeta

y

${\displaystyle \ a=|cz|,}$distancia entre el centro y el perihelio, el semieje mayor ,

${\displaystyle \ \varepsilon ={|cs| \over a},}$la excentricidad ,

${\displaystyle \ b=a{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}},}$el semieje menor ,

${\displaystyle \ r=|sp|,}$ la distancia entre el Sol y el planeta.

${\displaystyle \theta =\angle zsp,}$la dirección al planeta vista desde el Sol, la verdadera anomalía .

El problema es calcular las coordenadas polares ( r , θ ) del planeta desde el tiempo desde el perihelio ,  t .

Se resuelve por pasos. Kepler consideró el círculo con el eje mayor como un diámetro, y

${\displaystyle \ x,}$ la proyección del planeta al círculo auxiliar

${\displaystyle \ y,}$el punto del círculo de manera que las áreas del sector | zcy | y | zsx | son iguales,

${\displaystyle M=\angle zcy,}$la anomalía media .

Las áreas del sector están relacionadas por ${\displaystyle |zsp|={\frac {b}{a}}\cdot |zsx|.}$

El área del sector circular${\displaystyle |zcy|={\frac {a^{2}M}{2}}.}$

El área barrida desde el perihelio,

${\displaystyle |zsp|={\frac {b}{a}}\cdot |zsx|={\frac {b}{a}}\cdot |zcy|={\frac {b}{a}}\cdot {\frac {a^{2}M}{2}}={\frac {abM}{2}},}$

es según la segunda ley de Kepler proporcional al tiempo transcurrido desde el perihelio. Por tanto, la anomalía media, M , es proporcional al tiempo transcurrido desde el perihelio, t .

${\displaystyle M=nt,\,}$

donde n es el movimiento medio .

Anomalía excéntrica, E

Cuando se calcula la anomalía media M , el objetivo es calcular la anomalía verdadera θ . Sin embargo, la función θ  =  f ( M ) no es elemental. ^[25] La solución de Kepler es utilizar

${\displaystyle E=\angle zcx}$, x visto desde el centro, la anomalía excéntrica

como una variable intermedia, y primero compute E como una función de M mediante la resolución de la ecuación de Kepler a continuación, y luego calcular la anomalía verdadera θ de la anomalía excéntrica E . Aquí están los detalles.

${\displaystyle {\begin{aligned}|zcy|&=|zsx|=|zcx|-|scx|\\{\frac {a^{2}M}{2}}&={\frac {a^{2}E}{2}}-{\frac {a\varepsilon \cdot a\sin E}{2}}\end{aligned}}}$

La división por un ² /2 se presenta la ecuación de Kepler

${\displaystyle M=E-\varepsilon \sin E.}$

Esta ecuación da M como una función de E . Determinar E para un M dado es el problema inverso. Los algoritmos numéricos iterativos se utilizan comúnmente.

Habiendo calculado la anomalía excéntrica E , el siguiente paso es calcular la anomalía verdadera  θ .

Pero tenga en cuenta: las coordenadas de posición cartesianas con referencia al centro de la elipse son ( a  cos  E ,  b  sin  E )

Con referencia al Sol (con coordenadas ( c , 0) = ( ae , 0)), r = ( a  cos  E - ae , b  sin  E )

La verdadera anomalía sería arctan ( r _{y / r} x ), la magnitud de r sería √ r  ·  r .

Verdadera anomalía, θ

Observe en la figura que

${\displaystyle {\overrightarrow {cd}}={\overrightarrow {cs}}+{\overrightarrow {sd}}}$

así que eso

${\displaystyle a\cos E=a\varepsilon +r\cos \theta .}$

Dividiendo e insertando de la primera ley de Kepler${\displaystyle a}$

${\displaystyle {\frac {r}{a}}={\frac {1-\varepsilon ^{2}}{1+\varepsilon \cos \theta }}}$

Llegar

${\displaystyle \cos E=\varepsilon +{\frac {1-\varepsilon ^{2}}{1+\varepsilon \cos \theta }}\cos \theta ={\frac {\varepsilon (1+\varepsilon \cos \theta )+\left(1-\varepsilon ^{2}\right)\cos \theta }{1+\varepsilon \cos \theta }}={\frac {\varepsilon +\cos \theta }{1+\varepsilon \cos \theta }}.}$

El resultado es una relación útil entre la anomalía excéntrica E y la anomalía verdadera  θ .

Sigue una forma computacionalmente más conveniente sustituyendo en la identidad trigonométrica :

${\displaystyle \tan ^{2}{\frac {x}{2}}={\frac {1-\cos x}{1+\cos x}}.}$

Obtener

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan ^{2}{\frac {E}{2}}&={\frac {1-\cos E}{1+\cos E}}={\frac {1-{\frac {\varepsilon +\cos \theta }{1+\varepsilon \cos \theta }}}{1+{\frac {\varepsilon +\cos \theta }{1+\varepsilon \cos \theta }}}}\\[8pt]&={\frac {(1+\varepsilon \cos \theta )-(\varepsilon +\cos \theta )}{(1+\varepsilon \cos \theta )+(\varepsilon +\cos \theta )}}={\frac {1-\varepsilon }{1+\varepsilon }}\cdot {\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}={\frac {1-\varepsilon }{1+\varepsilon }}\tan ^{2}{\frac {\theta }{2}}.\end{aligned}}}$

Multiplicar por 1 +  ε da el resultado

${\displaystyle (1-\varepsilon )\tan ^{2}{\frac {\theta }{2}}=(1+\varepsilon )\tan ^{2}{\frac {E}{2}}}$

Este es el tercer paso en la conexión entre el tiempo y la posición en la órbita.

Distancia, r

El cuarto paso es calcular la distancia heliocéntrica r de la anomalía verdadera θ según la primera ley de Kepler:

${\displaystyle r(1+\varepsilon \cos \theta )=a\left(1-\varepsilon ^{2}\right)}$

Usando la relación anterior entre θ y E, la ecuación final para la distancia r es:

${\displaystyle r=a(1-\varepsilon \cos E).}$

Ver también

• Movimiento circular
• Tiempo de caída libre
• Gravedad
• Órbita de Kepler
• Problema de Kepler
• Ecuación de Kepler
• Vector de Laplace-Runge-Lenz
• Momento angular relativo específico , derivación relativamente fácil de las leyes de Kepler comenzando con la conservación del momento angular

Notas

1. En 1621, Johannes Kepler notó que las lunas de Júpiter obedecen (aproximadamente) a su tercera ley en su Epitome Astronomiae Copernicanae [Epitome of Copernican Astronomy] (Linz ("Lentiis ad Danubium"), (Austria): Johann Planck, 1622), libro 4 , parte 2, páginas 554–555 . De las páginas 554–555: "... plane ut est cum sex planet circa Solem, ... prodit Marius in suo mundo Ioviali ista 3.5.8.13 (vel 14. Galilæo) ... Periodica vero tempora prodit idem Marius ... sunt maiora simplis, minora vero duplis . "(… Así como es claramente [cierto] entre los seis planetas alrededor del Sol, así también está entre las cuatro [lunas] de Júpiter, porque alrededor del cuerpo de Júpiter cualquier [satélite] que pueda ir más lejos de él, orbita más lento , e incluso que [el período de la órbita] no está en la misma proporción, sino mayor [que la distancia de Júpiter]; es decir, 3/2 ( sescupla ) de la proporción de cada una de las distancias de Júpiter, que es claramente la misma [proporción] como se usa para los seis planetas anteriores. En su [libro] El mundo de Júpiter [ Mundus Jovialis, 1614], [Simon Mayr o] "Marius" [1573-1624] presenta estas distancias, desde Júpiter, de las cuatro [lunas] de Júpiter: 3, 5, 8, 13 (o 14 [según] Galileo) [ Nota: Las distancias de las lunas de Júpiter a Júpiter se expresan como múltiplos del diámetro de Júpiter.]… Mayr presenta sus períodos de tiempo: 1 día 18 1/2 horas, 3 días 13 1/3 horas, 7 días 2 horas, 16 días 18 horas : para todos [estos datos] la proporción es mayor que el doble, por lo tanto mayor que [la proporción] de las distancias 3, 5, 8, 13 o 14, aunque menor que [la proporción] de los cuadrados, que duplican las proporciones de las distancias, a saber, 9, 25, 64, 169 o 196, al igual que [una potencia de] 3/2 también es mayor que 1 pero menor que 2.)
2. Godefroy Wendelin escribió una carta a Giovanni Battista Riccioli sobre la relación entre las distancias de las lunas jovianas a Júpiter y los períodos de sus órbitas, mostrando que los períodos y distancias se ajustaban a la tercera ley de Kepler. Ver: Joanne Baptista Riccioli, Almagestum novum ... (Bolonia (Bononia), (Italia): Victor Benati, 1651), volumen 1, página 492 Scholia III. En el margen junto al párrafo correspondiente está impreso: Vendelini ingeniosa speculatio circa motus & intervalla satellitum Jovis . (La inteligente especulación de Wendelin sobre el movimiento y las distancias de los satélites de Júpiter.) De la p. 492: "III. Non minus Kepleriana ingeniosa est Vendelini… y D. 7. 164/1000. Pro penextimo, y D. 16. 756/1000.pro extimo ". (No menos inteligente [que] la de Kepler es la investigación del astrónomo más entusiasta Wendelin sobre la proporción de los períodos y distancias de los satélites de Júpiter, que me había comunicado con gran generosidad [en] una carta muy larga y muy erudita. como en [el caso de] los planetas más grandes, las distancias medias de los planetas al Sol están respectivamente en la proporción 3/2 de sus períodos; por lo que las distancias de estos planetas menores de Júpiter a Júpiter (que son 3, 5, 8 , y 14) se encuentran respectivamente en la proporción 3/2 de [sus] períodos (que son 1.769 días para el [Io] más interno, 3.554 días para el [Europa] próximo al más interno, 7.164 días para el [ Ganímedes], y 16.756 días para el exterior [Calisto]).)

Referencias

1. Voltaire, Eléments de la philosophie de Newton [Elementos de la filosofía de Newton ] (Londres, Inglaterra: 1738). Ver, por ejemplo:
   • Desde p. 162: "Par une des grandes loix de Kepler, toute Planete décrit des aires égales en temp égaux: par une autre loi non-moins sûre, chaque Planete fait sa révolution autour du Soleil en telle sort, que si, sa moyenne distancia au Soleil est 10. prenez le cube de ce nombre, ce qui sera 1000., & le tems de la révolution de cette Planete autour du Soleil sera proporcionado a la racine quarrée de ce nombre 1000. " (Por una de las grandes leyes de Kepler, cada planeta describe áreas iguales en tiempos iguales; por otra ley no menos cierta, cada planeta hace su revolución alrededor del sol de tal manera que si su distancia media del sol es 10, tome el cubo de ese número, que será 1000, y el tiempo de la revolución de ese planeta alrededor del sol será proporcional a la raíz cuadrada de ese número 1000.)
   • Desde p. 205: "Il est donc prouvé par la loi de Kepler & par celle de Neuton, que chaque Planete gravite vers le Soleil, ..." (Así queda probado por la ley de Kepler y por la de Newton, que cada planeta gira alrededor del Sol … )
2. Wilson, Curtis (mayo de 1994). "Leyes de Kepler, así llamadas" (PDF) . HAD News (31): 1–2 . Consultado el 27 de diciembre de 2016 .
3. De la Lande, Astronomie , vol. 1 (París, Francia: Desaint & Saillant, 1764). Ver, por ejemplo:
   • A partir de la página 390: "… mais suivant la fameuse loi de Kepler, qui sera expliquée dans le Livre suivant (892), le rapport des temps périodiques est toujours plus grand que celui des distance, une planete cinq fois plus éloignée du soleil, Emploie à faire sa révolution douze fois plus de temps ou environment; ... " (... pero de acuerdo con la famosa ley de Kepler, que se explicará en el siguiente libro [es decir, capítulo] (párrafo 892), la proporción de los períodos es siempre mayor que la de las distancias [de modo que, por ejemplo,] un planeta cinco veces más alejado del sol, requiere alrededor de doce veces más tiempo para hacer su revolución [alrededor del sol];…)
   • Desde la página 429: "Les Quarrés des Temps périodiques sont comme les Cubes des Distances. 892. La plus fameuse loi du mouvement des planetes découverte par Kepler, est celle du repport qu'il ya entre les grandeurs de leurs orbites, & le temps qu 'elles empleient à les parcourir; ... " (Los cuadrados de los períodos son como los cubos de las distancias. 892. La ley más famosa del movimiento de los planetas descubierta por Kepler es la de la relación entre los tamaños de sus órbitas y los tiempos que los [planetas] requieren para atravesarlos;…)
   • De la página 430: "Les Aires sont providenelles au Temps. 895. Cette loi générale du mouvement des planetes devenue si importante dans l'Astronomie, sçavior, que les aires sont providenelles au temps, est encore une des découvertes de Kepler; ..." ( Las áreas son proporcionales a los tiempos. 895. Esta ley general del movimiento de los planetas [que se ha vuelto] tan importante en astronomía, es decir, que las áreas son proporcionales a los tiempos, es uno de los descubrimientos de Kepler; ...)
   • De la página 435: "On a appellé cette loi des aires providenelles aux temps, Loi de Kepler, aussi bien que celle de l'article 892, du nome de ce célebre Inventeur; ..." (Uno llamó a esta ley de áreas proporcionales a los tiempos ( la ley de Kepler) así como la del párrafo 892, con el nombre de ese célebre inventor; ...)
4. Robert Small, Un relato de los descubrimientos astronómicos de Kepler (Londres, Inglaterra: J Mawman, 1804), págs. 298-299.
5. Robert Small, Un relato de los descubrimientos astronómicos de Kepler (Londres, Inglaterra: J. Mawman, 1804).
6. Bruce Stephenson (1994). Astronomía física de Kepler . Prensa de la Universidad de Princeton. pag. 170. ISBN 978-0-691-03652-6.
7. Astronomia nova Aitiologitis, seu Physica Coelestis tradita Commentariis de Motibus stellae Martis ex observaciónibus GV Tychnonis.Prague 1609; Engl. tr. WH Donahue, Cambridge 1992.
8. En su Astronomia nova , Kepler presentó solo una prueba de que la órbita de Marte es elíptica. La evidencia de que las órbitas de los otros planetas conocidos son elípticas se presentó solo en 1621.
   Ver: Johannes Kepler, Astronomia nova … (1609), p. 285. Después de haber rechazado las órbitas circulares y ovaladas, Kepler concluyó que la órbita de Marte debe ser elíptica. Desde la parte superior de la página 285: "Ergo ellipsis est Planetæ iter; ..." (Por lo tanto, una elipse es el camino del planeta [es decir, Marte]; ...) Más adelante en la misma página: "... ut sequenti capite patescet: ubi simul etiam demonstrabitur, nullam Planetæ relinqui figuram Orbitæ, præterquam perfecte ellipticam; ... "(… Como se revelará en el próximo capítulo: donde también se demostrará entonces que cualquier figura de la órbita del planeta debe ser abandonada, excepto una elipse perfecta;…) Y luego: "Caput LIX. Demonstratio, quod orbita Martis,… , fiat perfecta ellipsis:… " (Capítulo 59. Prueba de que la órbita de Marte,…, es una elipse perfecta:…) La prueba geométrica de que la órbita de Marte es una elipse aparece como Protheorema XI en las páginas 289-290.
   Kepler afirmó que cada planeta viaja en órbitas elípticas con el Sol en un foco en: Johannes Kepler, Epitome Astronomiae Copernicanae [Resumen de la astronomía copernicana] (Linz ("Lentiis ad Danubium"), (Austria): Johann Planck, 1622), libro 5, parte 1, III. De Figura Orbitæ (III. En la figura [es decir, la forma] de las órbitas),páginas 658–665.Desde p. 658: "Ellipsin fieri orbitam planetæ ..." (De una elipse se forma la órbita de un planeta ...). Desde p. 659: "... Sole (Foco altero huius ellipsis) ..." (... el Sol (el otro foco de esta elipse) ...).
9. Holton, Gerald James; Pincel, Stephen G. (2001). Physics, the Human Adventure: From Copernicus to Einstein and Beyond (tercera edición de bolsillo). Piscataway, Nueva Jersey: Rutgers University Press. págs. 40–41. ISBN 978-0-8135-2908-0. Consultado el 27 de diciembre de 2009 .
10. En su Astronomia nova ... (1609), Kepler no presentó su segunda ley en su forma moderna. Hizo eso solo en su Epítome de 1621. Además, en 1609, presentó su segunda ley en dos formas diferentes, que los eruditos llaman la "ley de la distancia" y la "ley del área".
    • Su "ley de la distancia" se presenta en: "Caput XXXII. Virtutem quam Planetam movet in circulum attenuari cum discessu a fonte". (Capítulo 32. La fuerza que mueve un planeta circularmente se debilita con la distancia de la fuente.) Ver: Johannes Kepler, Astronomia nova … (1609), pp. 165-167. En la página 167 , Kepler dice: "…, quanto longior est αδ quam αε, tanto diutius moratur Planeta in certo aliquo arcui excentrici apud δ, quam in æquali arcu excentrici apud ε".(…, Como αδ es más largo que αε, tanto más tiempo permanecerá un planeta en un cierto arco de la excéntrica cerca de δ que en un arco igual de la excéntrica cerca de ε.) Es decir, cuanto más lejos esté un planeta del Sol ( en el punto α), más lento se mueve a lo largo de su órbita, por lo que un radio del Sol a un planeta pasa por áreas iguales en tiempos iguales. Sin embargo, como lo presentó Kepler, su argumento es exacto solo para círculos, no para elipses.
    • Su "ley de área" se presenta en: "Caput LIX. Demonstratio, quod orbita Martis, ..., fiat perfecta ellipsis: ..." (Capítulo 59. Prueba de que la órbita de Marte, ..., es una elipse perfecta: ...), Protheorema XIV y XV, págs. 291-295. En la parte superior p. 294, dice: "Arcum ellipseos, cujus moras metitur area AKN, debere terminari in LK, ut sit AM". (El arco de la elipse, cuya duración está delimitada [es decir, medida] por el área AKM, debe terminar en LK, de modo que [es decir, el arco] sea AM.) En otras palabras, el tiempo que Marte requiere moverse a lo largo de un arco AM de su órbita elíptica se mide por el área del segmento AMN de la elipse (donde N es la posición del Sol), que a su vez es proporcional a la sección AKN del círculo que rodea la elipse y eso es tangente a él. Por lo tanto, el área que es barrida por un radio desde el Sol a Marte cuando Marte se mueve a lo largo de un arco de su órbita elíptica es proporcional al tiempo que Marte necesita para moverse a lo largo de ese arco. Por lo tanto, un radio del Sol a Marte barre áreas iguales en tiempos iguales.
    En 1621, Kepler reformuló su segunda ley para cualquier planeta: Johannes Kepler, Epitome Astronomiae Copernicanae [Resumen de la astronomía copernicana] (Linz ("Lentiis ad Danubium"), (Austria): Johann Planck, 1622), libro 5, página 668 . De la página 668: "Dictum quidem est in superioribus, divisa orbita in particulas minutissimas æquales: accrescete iis moras planetæ per eas, in proporione intervallorum inter eas & Solem". (Se ha dicho anteriormente que, si la órbita del planeta se divide en partes iguales más pequeñas, los tiempos del planeta en ellas aumentan en la relación de las distancias entre ellas y el sol). Es decir, la velocidad de un planeta a lo largo de su órbita es inversamente proporcional a su distancia del Sol. (El resto del párrafo deja en claro que Kepler se refería a lo que ahora se llama velocidad angular).
11. Johannes Kepler, Harmonices Mundi [La armonía del mundo] (Linz, (Austria): Johann Planck, 1619), libro 5, capítulo 3, p. 189. Desde la parte inferior de la p. 189: "Sed res est certissima exactissimaque quod proporio qua est inter binorum quorumcunque Planetarum tempora periodica, sit præcise sesquialtera proporciónis mediarum distante, ..." (Pero es absolutamente cierto y exacto que la proporción entre los tiempos periódicos de dos planetas cualesquiera es precisamente la proporción sesquial alternativa [es decir, la relación de 3: 2] de sus distancias medias,… ")
    Una traducción al inglés de Harmonices Mundi de Keplerestá disponible como: Johannes Kepler con EJ Aiton, AM Duncan y JV Field , trad., The Harmony of the World (Filadelfia, Pensilvania: American Philosophical Society, 1997); ver especialmente p. 411 .
12. Asociación Nacional de Profesores de Ciencias de la Tierra (9 de octubre de 2008). "Tabla de datos para planetas y planetas enanos" . Ventanas al Universo . Consultado el 2 de agosto de 2018 .
13. Mercator, Nicolaus (1664). Nicolai Mercatoris Hipótesis astronomica nova, et consenso eius cum observaciónibus [ Nueva hipótesis astronómica de Nicolaus Mercator, y su concordancia con las observaciones ] (en latín). Londres, Inglaterra: Leybourn.
14. Mercator, Nic. (25 de marzo de 1670). "Algunas consideraciones del Sr. Nic. Mercator, sobre el geometrick y método directo del signior Cassini para encontrar los apogeos, excentricidades y anomalías de los planetas;…" . Transacciones filosóficas de la Royal Society de Londres (en latín). 5 (57): 1168-1175. Mercator criticó el método de Cassini para encontrar, a partir de tres observaciones, la línea de ábsides de una órbita. Cassini había asumido (erróneamente) que los planetas se mueven uniformemente a lo largo de sus órbitas elípticas. Desde p. 1174: "Sed cum id Observationibus nequaquam congruere animadverteret, mutavit sententiam, & lineam veri motus Planetæ æqualibus temporibus æquales areas Ellipticas verrere professus est: ..." (Pero cuando notó que no concordaba en absoluto con las observaciones, cambió su forma de pensar , y declaró que una línea [del Sol a un planeta, que denota] el verdadero movimiento de un planeta, barre áreas iguales de una elipse en períodos de tiempo iguales: ... [que es la forma de "área" de la segunda ley de Kepler])
15. Wilbur Applebaum (2000). Enciclopedia de la revolución científica: de Copérnico a Newton . Routledge. pag. 603. bibcode : 2000esrc.book ..... A . ISBN 978-1-135-58255-5.
16. Roy Porter (1992). La revolución científica en el contexto nacional . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 102 . ISBN 978-0-521-39699-8.
17. Víctor Guillemin; Shlomo Sternberg (2006). Variaciones sobre un tema de Kepler . American Mathematical Soc. pag. 5. ISBN 978-0-8218-4184-6.
18. Bryant, Jeff; Pavlyk, Oleksandr. " Segunda Ley de Kepler ", Proyecto de Demostraciones Wolfram . Consultado el 27 de diciembre de 2009.
19. Burtt, Edwin . Los fundamentos metafísicos de la ciencia física moderna . pag. 52.
20. Gerald James Holton, Stephen G. Brush (2001). Física, la aventura humana . Prensa de la Universidad de Rutgers. pag. 45. ISBN 978-0-8135-2908-0.
21. Caspar, Max (1993). Kepler . Nueva York: Dover.
22. I. Newton, Principia , p. 408 en la traducción de IB Cohen y A. Whitman
23. I. Newton, Principia , p. 943 en la traducción de IB Cohen y A. Whitman
24. Schwarz, René. "Memorando № 1: Elementos de la órbita kepleriana → Vectores de estado cartesianos" (PDF) . Consultado el 4 de mayo de 2018 .
25. Müller, M (1995). "Ecuación del tiempo - Problema de astronomía" . Acta Physica Polonica A . Consultado el 23 de febrero de 2013 .

Bibliografía

• La vida de Kepler se resume en las páginas 523–627 y el libro cinco de su obra magna , Harmonice Mundi ( armonías del mundo ), se reimprime en las páginas 635–732 de Sobre los hombros de los gigantes : las grandes obras de la física y la astronomía (obras de Copérnico, Kepler , Galileo , Newton y Einstein ). Stephen Hawking , ed. 2002 ISBN 0-7624-1348-4 
• Una derivación de la tercera ley de movimiento planetario de Kepler es un tema estándar en las clases de ingeniería mecánica. Véanse, por ejemplo, las páginas 161-164 de Meriam, JL (1971) [1966]. Dinámica, 2ª ed . Nueva York: John Wiley. ISBN 978-0-471-59601-1..
• Murray y Dermott, Dinámica del sistema solar, Cambridge University Press 1999, ISBN 0-521-57597-4 
• VI Arnold, Métodos matemáticos de la mecánica clásica, Capítulo 2. Springer 1989, ISBN 0-387-96890-3 

enlaces externos

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con los movimientos de Kepler .

• B.Surendranath Reddy; animación de las leyes de Kepler: applet
• " Derivación de las leyes de Kepler " (de las leyes de Newton) en Physics Stack Exchange .
• Crowell, Benjamin, Light and Matter , un libro en línea que da una prueba de la primera ley sin el uso del cálculo (ver sección 15.7)
• David McNamara y Gianfranco Vidali, Segunda ley de Kepler - Tutorial interactivo de Java , https://web.archive.org/web/20060910225253/http://www.phy.syr.edu/courses/java/mc_html/kepler.html , un subprograma Java interactivo que ayuda a comprender la Segunda Ley de Kepler.
• Audio - Cain / Gay (2010) Elenco de astronomía Johannes Kepler y sus leyes del movimiento planetario
• Departamento de Física y Astronomía de la Universidad de Tennessee: Astronomía 161 página sobre Johannes Kepler: Las leyes del movimiento planetario [1]
• Equant en comparación con Kepler: modelo interactivo [2]
• Tercera ley de Kepler: modelo interactivo [3]
• Simulador del sistema solar ( subprograma interactivo )
• Kepler and His Laws , páginas web educativas de David P. Stern