3 21 | 2 31 | 1 32 | |||
Rectificado 3 21 | birectificado 3 21 | ||||
Rectificado 2 31 | Rectificado 1 32 | ||||
Proyecciones ortogonales en el plano de Coxeter E 7 |
---|
En geometría de 7 dimensiones , el politopo 3 21 es un 7-politopo uniforme , construido dentro de la simetría del grupo E 7 . Fue descubierto por Thorold Gosset , publicado en su artículo de 1900. Lo llamó una figura semirregular de 7 ic . [1]
Su símbolo de Coxeter es 3 21 , que describe su diagrama de Coxeter-Dynkin bifurcado , con un solo anillo al final de una de las secuencias de 3 nodos.
El 3 21 rectificado está construido por puntos en los bordes medios del 3 21 . El 3 21 birectificado está construido por puntos en los centros de las caras del triángulo del 3 21 . El 3 21 trirectificado está construido por puntos en los centros tetraédricos del 3 21 , y es el mismo que el 1 32 rectificado .
Estos politopos son parte de una familia de 127 (2 7 -1) convexas politopos uniformes en 7-dimensiones , hechas de uniforme 6-polytope facetas y figura de vértice , definido por todas las permutaciones de los anillos en este diagrama de Coxeter-Dynkin :.
3 21 politopo
3 21 politopo | |
---|---|
Tipo | 7 politopos uniformes |
Familia | k 21 politopo |
Símbolo de Schläfli | {3,3,3,3 2,1 } |
Símbolo de coxeter | 3 21 |
Diagrama de Coxeter | |
6 caras | 702 en total: 126 3 11 576 {3 5 } |
5 caras | 6048: 4032 {3 4 } 2016 {3 4 } |
4 caras | 12096 {3 3 } |
Células | 10080 {3,3} |
Caras | 4032 {3} |
Bordes | 756 |
Vértices | 56 |
Figura de vértice | 2 21 politopo |
Polígono de Petrie | octadecágono |
Grupo Coxeter | E 7 , [3 3,2,1 ], pedido 2903040 |
Propiedades | convexo |
En geometría de 7 dimensiones , el 3 21 es un politopo uniforme . Tiene 56 vértices y 702 facetas: 126 3 11 y 576 6 simplex .
Para la visualización, este politopo de 7 dimensiones a menudo se muestra en una dirección de proyección ortográfica sesgada especial que se ajusta a sus 56 vértices dentro de un polígono regular de 18 gonales (llamado polígono de Petrie ). Sus 756 aristas están dibujadas entre 3 anillos de 18 vértices y 2 vértices en el centro. En esta proyección también se pueden extraer y dibujar elementos superiores específicos (caras, celdas, etc.).
El esqueleto 1 del politopo 3 21 es el gráfico de Gosset .
Este politopo, junto con el 7-simplex , puede teselar el espacio de 7 dimensiones, representado por 3 31 y el diagrama de Coxeter-Dynkin:.
Nombres Alternativos
- También se le llama politopo de Hess por Edmund Hess, quien lo descubrió por primera vez.
- Thorold Gosset lo enumeró en su artículo de 1900. Lo llamó una figura semirregular de 7 ic . [1]
- EL Elte lo nombró V 56 (por sus 56 vértices) en su lista de politopos semirregulares de 1912. [2]
- HSM Coxeter lo llamó 3 21 debido a su diagrama de Coxeter-Dynkin bifurcado , que tiene 3 ramas de longitud 3, 2 y 1, y tiene un solo anillo en el nodo final de la rama 3.
- Hecatonicosihexa-pentacosiheptacontihexa-exón (acrónimo Naq) - 126-576 poliexón facetado (Jonathan Bowers) [3]
Coordenadas
Los 56 vértices se pueden representar de manera más simple en un espacio de 8 dimensiones, obtenido por las 28 permutaciones de las coordenadas y su opuesto:
- ± (-3, -3, 1, 1, 1, 1, 1, 1)
Construcción
Su construcción se basa en el grupo E7 . Coxeter lo nombró como 3 21 por su diagrama de Coxeter-Dynkin bifurcado , con un solo anillo al final de la secuencia de 3 nodos.
La información de facetas se puede extraer de su diagrama de Coxeter-Dynkin ,.
Quitar el nodo en la rama corta deja el 6-simplex ,.
Quitar el nodo en el extremo de la rama de 2 longitudes deja el 6-ortoplex en su forma alterna: 3 11 ,.
Cada faceta simplex toca una faceta de 6 ortoplex, mientras que las facetas alternas del ortoplex tocan un simplex u otro ortoplex.
La figura del vértice se determina eliminando el nodo anillado y haciendo sonar el nodo vecino. Esto hace 2 21 politopos,.
Visto en una matriz de configuración , los recuentos de elementos se pueden derivar mediante la eliminación de espejos y las proporciones de los pedidos del grupo Coxeter . [4]
E 7 | cara k | f k | f 0 | f 1 | f 2 | f 3 | f 4 | f 5 | f 6 | k -figuras | notas | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
E 6 | () | f 0 | 56 | 27 | 216 | 720 | 1080 | 432 | 216 | 72 | 27 | 2 21 | Mi 7 / Mi 6 = 72x8! / 72x6! = 56 | |
D 5 A 1 | {} | f 1 | 2 | 756 | dieciséis | 80 | 160 | 80 | 40 | dieciséis | 10 | 5-demicubo | Mi 7 / D 5 UNA 1 = 72x8! / 16/5! / 2 = 756 | |
A 4 A 2 | {3} | f 2 | 3 | 3 | 4032 | 10 | 30 | 20 | 10 | 5 | 5 | rectificado de 5 celdas | E 7 / A 4 A 2 = 72x8! / 5! / 2 = 4032 | |
A 3 A 2 A 1 | {3,3} | f 3 | 4 | 6 | 4 | 10080 | 6 | 6 | 3 | 2 | 3 | prisma triangular | E 7 / A 3 A 2 A 1 = 72x8! / 4! / 3! / 2 = 10080 | |
A 4 A 1 | {3,3,3} | f 4 | 5 | 10 | 10 | 5 | 12096 | 2 | 1 | 1 | 2 | triángulo isósceles | E 7 / A 4 A 1 = 72x8! / 5! / 2 = 12096 | |
A 5 A 1 | {3,3,3,3} | f 5 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 4032 | * | 1 | 1 | {} | E 7 / A 5 A 1 = 72x8! / 6! / 2 = 4032 | |
A 5 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | * | 2016 | 0 | 2 | E 7 / A 5 = 72x8! / 6! = 2016 | ||||
A 6 | {3,3,3,3,3} | f 6 | 7 | 21 | 35 | 35 | 21 | 10 | 0 | 576 | * | () | E 7 / A 6 = 72x8! / 7! = 576 | |
D 6 | {3,3,3,3,4} | 12 | 60 | 160 | 240 | 192 | 32 | 32 | * | 126 | Mi 7 / D 6 = 72x8! / 32/6! = 126 |
Imagenes
E7 | E6 / F4 | B7 / A6 |
---|---|---|
[18] | [12] | [7x2] |
A5 | D7 / B6 | D6 / B5 |
[6] | [12/2] | [10] |
D5 / B4 / A4 | D4 / B3 / A2 / G2 | D3 / B2 / A3 |
[8] | [6] | [4] |
Politopos relacionados
El 3 21 es el quinto en una serie dimensional de politopos semirregulares . Cada politopo uniforme progresivo se construye en la figura del vértice del politopo anterior. Thorold Gosset identificó esta serie en 1900 por contener todas las facetas politopicas regulares , conteniendo todos los simplex y ortoplexes .
k 21 cifras en n dimensional | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Espacio | Finito | Euclidiana | Hiperbólico | ||||||||
E n | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |||
Grupo Coxeter | E 3 = UNA 2 UNA 1 | E 4 = A 4 | E 5 = D 5 | E 6 | E 7 | E 8 | E 9 == E 8 + | E 10 == E 8 ++ | |||
Diagrama de Coxeter | |||||||||||
Simetría | [3 −1,2,1 ] | [3 0,2,1 ] | [3 1,2,1 ] | [3 2,2,1 ] | [3 3,2,1 ] | [3 4,2,1 ] | [3 5,2,1 ] | [3 6,2,1 ] | |||
Pedido | 12 | 120 | 1.920 | 51,840 | 2.903.040 | 696,729,600 | ∞ | ||||
Grafico | - | - | |||||||||
Nombre | −1 21 | 0 21 | 1 21 | 2 21 | 3 21 | 4 21 | 5 21 | 6 21 |
Está en una serie dimensional de politopos uniformes y panales, expresada por Coxeter como serie 3 k1 . (Un caso degenerado de 4 dimensiones existe como un mosaico de 3 esferas, un hosoedro tetraédrico ).
Espacio | Finito | Euclidiana | Hiperbólico | |||
---|---|---|---|---|---|---|
norte | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
Grupo Coxeter | A 3 A 1 | A 5 | D 6 | E 7 | = E 7 + | = E 7 ++ |
Diagrama de Coxeter | ||||||
Simetría | [3 −1,3,1 ] | [3 0,3,1 ] | [[3 1,3,1 ]] = [4,3,3,3,3] | [3 2,3,1 ] | [3 3,3,1 ] | [3 4,3,1 ] |
Pedido | 48 | 720 | 46,080 | 2.903.040 | ∞ | |
Grafico | - | - | ||||
Nombre | 3 1, -1 | 3 10 | 3 11 | 3 21 | 3 31 | 3 41 |
Rectificado 3 21 politopo
Rectificado 3 21 politopo | |
---|---|
Tipo | 7 politopos uniformes |
Símbolo de Schläfli | t 1 {3,3,3,3 2,1 } |
Símbolo de coxeter | t 1 (3 21 ) |
Diagrama de Coxeter | |
6 caras | 758 |
5 caras | 44352 |
4 caras | 70560 |
Células | 48384 |
Caras | 11592 |
Bordes | 12096 |
Vértices | 756 |
Figura de vértice | Prisma de 5 semicubos |
Polígono de Petrie | octadecágono |
Grupo Coxeter | E 7 , [3 3,2,1 ], pedido 2903040 |
Propiedades | convexo |
Nombres Alternativos
- Hecatonicosihexa-pentacosiheptacontihexa-exón rectificado como un poliexón facetado 126-576 rectificado (acrónimo ranq) (Jonathan Bowers) [5]
Construcción
Su construcción se basa en el grupo E7 . Coxeter lo nombró como 3 21 por su diagrama de Coxeter-Dynkin bifurcado , con un solo nodo al final de la secuencia de 3 nodos.
La información de facetas se puede extraer de su diagrama de Coxeter-Dynkin ,.
Quitar el nodo en la rama corta deja el 6-simplex ,.
Quitar el nodo en el extremo de la rama de 2 longitudes deja el 6-ortoplex rectificado en su forma alterna: t 1 3 11 ,.
Quitar el nodo en el extremo de la rama de 3 longitudes deja el 2 21 ,.
La figura del vértice se determina eliminando el nodo anillado y haciendo sonar el nodo vecino. Esto hace un prisma de 5 semicubos ,.
Imagenes
E7 | E6 / F4 | B7 / A6 |
---|---|---|
[18] | [12] | [7x2] |
A5 | D7 / B6 | D6 / B5 |
[6] | [12/2] | [10] |
D5 / B4 / A4 | D4 / B3 / A2 / G2 | D3 / B2 / A3 |
[8] | [6] | [4] |
Birectified 3 21 politopo
Birectified 3 21 politopo | |
---|---|
Tipo | 7 politopos uniformes |
Símbolo de Schläfli | t 2 {3,3,3,3 2,1 } |
Símbolo de coxeter | t 2 (3 21 ) |
Diagrama de Coxeter | |
6 caras | 758 |
5 caras | 12348 |
4 caras | 68040 |
Células | 161280 |
Caras | 161280 |
Bordes | 60480 |
Vértices | 4032 |
Figura de vértice | Duoprisma de triángulo de 5 celdas |
Polígono de Petrie | octadecágono |
Grupo Coxeter | E 7 , [3 3,2,1 ], pedido 2903040 |
Propiedades | convexo |
Nombres Alternativos
- Hecatonicosihexa-pentacosiheptacontihexa-exón birectificado como un poliexón birectificado 126-576 facetado (acrónimo branq) (Jonathan Bowers) [6]
Construcción
Su construcción se basa en el grupo E7 . Coxeter lo nombró como 3 21 por su diagrama de Coxeter-Dynkin bifurcado , con un solo nodo al final de la secuencia de 3 nodos.
La información de facetas se puede extraer de su diagrama de Coxeter-Dynkin ,.
La eliminación del nodo en la rama corta deja el 6-simplex birectificado ,.
Quitar el nodo en el extremo de la rama de 2 longitudes deja el 6-ortoplex birectificado en su forma alterna: t 2 (3 11 ) ,.
Quitar el nodo en el extremo de la rama de 3 longitudes deja el politopo 2 21 rectificado en su forma alterna: t 1 (2 21 ) ,.
La figura del vértice se determina eliminando el nodo anillado y haciendo sonar el nodo vecino. Esto hace que el duoprisma rectificado de triángulo de 5 celdas ,.
Imagenes
E7 | E6 / F4 | B7 / A6 |
---|---|---|
[18] | [12] | [7x2] |
A5 | D7 / B6 | D6 / B5 |
[6] | [12/2] | [10] |
D5 / B4 / A4 | D4 / B3 / A2 / G2 | D3 / B2 / A3 |
[8] | [6] | [4] |
Ver también
- Lista de politopos E7
Notas
- ↑ a b Gosset, 1900
- ↑ Elte, 1912
- ^ Klitzing, (o3o3o3o * c3o3o3x - naq)
- ↑ Coxeter, Regular Polytopes, 11,8 figuras de Gossett en seis, siete y ocho dimensiones, p. 202-203
- ^ Klitzing. (o3o3o3o * c3o3x3o - ranq)
- ^ Klitzing, (o3o3o3o * c3x3o3o - branq)
Referencias
- T.Gosset : Sobre las figuras regulares y semirregulares en el espacio de n dimensiones , Messenger of Mathematics, Macmillan, 1900
- Elte, EL (1912), Los politopos semirregulares de los hiperespacios , Groningen: Universidad de Groningen
- HSM Coxeter, Regular Polytopes , 3.a edición, Dover Nueva York, 1973
- Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (Documento 24) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi-regulares III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45] Ver p342 (figura 3.7c) por Peter mcMullen: (gráfico de borde de nodo de 18 gonal de 3 21 )
- Klitzing, Richard. "Politopos uniformes 7D (polyexa)" . o3o3o3o * c3o3o3x - naq, o3o3o3o * c3o3x3o - ranq, o3o3o3o * c3x3o3o - branq
enlaces externos
- Politopos de Gosset en vZome
Familia | Un n | B n | Yo 2 (p) / D n | E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2 | H n | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Polígono regular | Triángulo | Cuadrado | p-gon | Hexágono | Pentágono | |||||||
Poliedro uniforme | Tetraedro | Octaedro • Cubo | Demicubo | Dodecaedro • Icosaedro | ||||||||
Policoron uniforme | 5 celdas | 16 celdas • Tesseract | Demitesseract | 24 celdas | 120 celdas • 600 celdas | |||||||
5 politopos uniformes | 5 simplex | 5-ortoplex • 5-cubo | 5-demicubo | |||||||||
6 politopos uniformes | 6-simplex | 6 ortoplex • 6 cubos | 6-demicubo | 1 22 • 2 21 | ||||||||
7 politopos uniformes | 7-simplex | 7-ortoplex • 7-cubo | 7-demicubo | 1 32 • 2 31 • 3 21 | ||||||||
Politopo uniforme de 8 | 8 simplex | 8 ortoplex • 8 cubos | 8-demicubo | 1 42 • 2 41 • 4 21 | ||||||||
9 politopos uniformes | 9 simplex | 9-ortoplex • 9-cubo | 9-demicubo | |||||||||
Politopo uniforme 10 | 10-simplex | 10-ortoplex • 10-cubo | 10-demicubo | |||||||||
Uniforme n - politopo | n - simplex | n - ortoplejo • n - cubo | n - demicube | 1 k2 • 2 k1 • k 21 | n - politopo pentagonal | |||||||
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