En la teoría de la representación y la teoría algebraica de números , el programa Langlands es una red de conjeturas influyentes y de gran alcance sobre las conexiones entre la teoría de números y la geometría . Propuesto por Robert Langlands ( 1967 , 1970 ), busca relacionar los grupos de Galois en la teoría algebraica de números con las formas automórficas y la teoría de la representación de grupos algebraicos sobre campos locales y adeles .. Considerado ampliamente como el proyecto más grande en la investigación matemática moderna, el programa Langlands ha sido descrito por Edward Frenkel como "una especie de gran teoría unificada de las matemáticas". [1]
El programa Langlands consta de algunas abstracciones teóricas muy complicadas, que pueden ser difíciles de comprender incluso para los matemáticos especialistas. Para simplificar demasiado, el lema fundamental del proyecto postula una conexión directa entre la representación fundamental generalizada de un campo finito con su extensión grupal a las formas automórficas bajo las cuales es invariante . Esto se logra a través de la abstracción a la integración dimensional superior , por una equivalencia a un determinado grupo analítico como una extensión absoluta de su álgebra . En consecuencia, esto permite unaconstrucción funcional analítica de poderosas transformaciones de invariancia para un campo numérico a su propia estructura algebraica .
El significado de tal construcción está matizado, pero sus soluciones y generalizaciones específicas son muy poderosas. La consecuencia de la prueba de la existencia de tales objetos teóricos implica un método analítico para construir el mapeo categórico de estructuras fundamentales para prácticamente cualquier campo numérico . Como analogía a la posible distribución exacta de números primos , el programa Langlands permite una potencial herramienta general para la resolución de la invariancia a nivel de estructuras algebraicas generalizadas . Esto, a su vez, permite un análisis algo unificado de los objetos aritméticos a través de sus funciones automórficas.. En pocas palabras, la filosofía de Langlands permite un análisis general de la estructuración de las abstracciones de los números. Naturalmente, esta descripción es a la vez una reducción y una sobregeneralización de los teoremas propios del programa, pero estos análogos matemáticos proporcionan la base de su conceptualización.
En un contexto muy amplio, el programa se basó en ideas existentes: la filosofía de las formas de las cúspides formulada unos años antes por Harish-Chandra y Gelfand ( 1963 ), el trabajo y el enfoque de Harish-Chandra sobre los grupos de Lie semisimples y, en términos técnicos, la fórmula de trazas de Selberg y otros.
Lo que inicialmente fue muy nuevo en el trabajo de Langlands, además de la profundidad técnica, fue la conexión directa propuesta con la teoría de números, junto con la rica estructura organizativa hipotetizada (la llamada funcionalidad ).
Por ejemplo, en el trabajo de Harish-Chandra se encuentra el principio de que lo que se puede hacer por un grupo de Lie semisimple (o reductivo) , debe hacerse por todos. Por lo tanto, una vez que se reconoció el papel de algunos grupos de Lie de baja dimensión como GL(2) en la teoría de las formas modulares, y en retrospectiva GL(1) en la teoría de campos de clases , el camino estaba abierto al menos a la especulación sobre GL ( n ) para general n > 2.