- Consulte la Lista de cosas que llevan el nombre de Gottfried Leibniz para ver otras fórmulas conocidas con el mismo nombre.
En matemáticas , la fórmula de Leibniz para π , que lleva el nombre de Gottfried Leibniz , establece que
una serie alterna . También se llama serie Madhava-Leibniz , ya que es un caso especial de una expansión de series más general para la función de tangente inversa , descubierta por primera vez por el matemático indio Madhava de Sangamagrama en el siglo XIV, el caso específico publicado por primera vez por Leibniz alrededor de 1676. . [1] La serie para la función de tangente inversa , que también se conoce como serie de Gregory , puede estar dada por:
La fórmula de Leibniz para π/4se puede obtener poniendo x = 1 en esta serie. [2]
También es la serie L de Dirichlet del carácter Dirichlet no principal de módulo 4 evaluado en s = 1 , y por lo tanto el valor β (1) de la función beta de Dirichlet .
Prueba
Prueba 1
Considerando solo la integral en el último término, tenemos:
Por lo tanto, por el teorema de la compresión , como n → ∞ nos quedamos con la serie de Leibniz:
Prueba 2
Cuándo , converge uniformemente, por lo tanto
Si enfoques para que sea continuo y converja uniformemente, la demostración es completa. De la prueba de Leibniz , converge, también enfoques desde dentro del ángulo de Stolz, por lo que desde el teorema de Abel esto es correcto.
Convergencia
La fórmula de Leibniz converge extremadamente lentamente: exhibe convergencia sublineal . Calcular π a 10 lugares decimales correctos usando la suma directa de la serie requiere alrededor de cinco mil millones de términos porque4/2 k + 1<10 −10 para k > 2 × 10 10 - 1/2.
Sin embargo, la fórmula de Leibniz se puede usar para calcular π con alta precisión (cientos de dígitos o más) usando varias técnicas de aceleración de convergencia . Por ejemplo, la transformación Shanks , Euler transformar o transformación Van Wijngaarden , que son métodos generales para serie alternante, se puede aplicar eficazmente a las sumas parciales de la serie Leibniz. Además, la combinación de términos por pares da la serie no alterna
que se puede evaluar con alta precisión a partir de un pequeño número de términos utilizando la extrapolación de Richardson o la fórmula de Euler-Maclaurin . Esta serie también puede transformarse en integral mediante la fórmula de Abel-Plana y evaluarse mediante técnicas de integración numérica .
Comportamiento inusual
Si la serie se trunca en el momento adecuado, la expansión decimal de la aproximación coincidirá con la de π para muchos más dígitos, excepto para dígitos aislados o grupos de dígitos. Por ejemplo, tomando cinco millones de términos se obtienen
donde los dígitos subrayados son incorrectos. De hecho, los errores pueden predecirse; son generados por los números de Euler E n según la fórmula asintótica
donde N es un número entero divisible por 4. Si N se elige como una potencia de diez, cada término en la suma de la derecha se convierte en una fracción decimal finita. La fórmula es un caso especial de la fórmula de suma de Boole para series alternas, que proporciona otro ejemplo más de una técnica de aceleración de convergencia que se puede aplicar a la serie de Leibniz. En 1992, Jonathan Borwein y Mark Limber usaron los primeros mil números de Euler para calcular π con 5263 lugares decimales con la fórmula de Leibniz. [3]
Producto Euler
La fórmula de Leibniz se puede interpretar como una serie de Dirichlet utilizando el único carácter de Dirichlet no principal módulo 4. Al igual que con otras series de Dirichlet, esto permite convertir la suma infinita en un producto infinito con un término para cada número primo . Este producto se denomina producto de Euler . Es:
En este producto, cada término es una razón superparticular , cada numerador es un número primo impar y cada denominador es el múltiplo de 4 más cercano al numerador. [4]
Ver también
Referencias
- ^ Edwards, Charles Henry (1994), El desarrollo histórico del cálculo , Springer Study Edition Series (3 ed.), Springer, p. 247, ISBN 978-0-387-94313-8
- ^ Andrews, George E .; Askey, Richard; Roy, Ranjan (1999), Funciones especiales , Cambridge University Press , p. 58, ISBN 0-521-78988-5
- ^ Borwein, Jonathan ; Bailey, David ; Girgensohn, Roland (2004), "1.8.1: Gregory's Series Reexamined" , Experimentación en matemáticas: caminos computacionales hacia el descubrimiento , AK Peters, pp. 28-30, ISBN 1-56881-136-5, Señor 2051473
- ^ Debnath, Lokenath (2010), El legado de Leonhard Euler: Un tributo tricentenario , World Scientific, p. 214, ISBN 9781848165267.
enlaces externos
- Fórmula Leibniz en C, ensamblaje x86 FPU, ensamblaje x86-64 SSE3 y ensamblaje DEC Alpha